Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 60
Текст из файла (страница 60)
а) Пусть и — инъективное линейное отображение х -ь(х, х) пространства Е в мо>ителевское пространство Р = Р >( >;>. Показать, что и непрерывно и М = и(Е) замкнуто в Р; вывести отсюда, что ги есть гомоморфизм Р' на 'и(Р') при слабых и сильных топологиях. [Использовать предложение 4 и упражнение Зб.) Показать, что Ф ти(Р') всюду плотно и не замкнуто в Е' как при слабой, так и при сильной топологиях. (Заметить, что ги есть отображение (у', л') -ь у'+ г' произведения Р' Х (,г' в Е'.) б) Вывести нз а), что факторпространство полного пространства Р' (наделенного сильной топологией) по замкнутому подпространству М' не полуполно (гл.
Ш, 6 3, упражнение !О), хотя Р' и является строгим индуктивным пределом последовательности метризуемых монтелевских пространств. в) Показать, что замкнутое подпространство М пространства Р не является ограниченно замкнутым, хотя Р и ограниченно замкнуто. (Доказать, что пространство, сопряженное к М, не полно в сильной топологии.) г) Пусть х' — элемент из Е', не принадлежащий Н = ги (Р'), и лля каждого уЕМ пусть,в(у)=(х, х'), где и(х)=у. Показать, что сужение в на каждое ограниченное множество из М непрерывно в ослабленной топологии, но и не непрерывно в топологии, иидуци- СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 261 — т руемой из Р.
Вывести отсюда, что 5 =о(0) есть векторное 'подпростраистао сопряженного Р к Р', пересечение которого с каждым замкнутым ограниченным (а следовательно, слабо и сильно компактным) множеством из Р замкнуто и которое тем не менее не замкнуто в Р (см. В 2, теорема 5). *11 а) Пусть Š— пространство Фреше, на котором не существует непрерывной нормы. Показать, что в Е содержится бесконечномерное подпространство минимального типа (й 1, упражнение 13), тем самым обладающее топологическим дополнением в Е. ]Пусть ( Ри) — строго убывающая фундаментааьная система окрестностей нуля в Е и (х„)— последовательность точек из Е такая, что х„ ( )'я~т н прямая, проходящая через 0 и х„, содержится в (ги, причем х„ линейно независимы. Показать, что замкнутое векторное подпространство, порожденное точками х„, обладает требуемым свойством.] б) Пусть Š— пространство Фреше, топология которого не может быть определена одной нормой, но определяется возрастающей последовательностью (р„) норм.
Пусть )ги — окрестность нуля, определяея мая неравенством р„(х)<1, и Аи — — )г„— ее поляра в Е'1 можно т превполагать, что А„+, не содержится в векторном подпространстве пространства Е', порожденном множеством А„($2, упражнение 12в). я я г у Пусть (х„) — последовательность точек из Е' такая, что х Р А„и х„ не принадлежит векторному подпространству, порожденному множеством А„,. Показать, что векторное подпространство М', порождена ное последовательностью (х„), слабо замкнуто Ц 2, теорема 5] и не обладает топологическим дополнением в слабом сопряженном к Е. ]Принять во внимание, что если бы существовал, слабо непрерывный проектор н' пространства Е' на М', то и'(А ), в силу теоремы Бара, содержалось бы в одном из множеств М'ДА„, и получить отсюда / противоречие с тем, что А, слабо тотально в Е'.] Вывести отсюда, что подпространство Мгь пространства Е не обладает топологическим дополнением.
в) Пусть Š— пространство Фреше, топология которого ие может быть определена одной нормой. Показать, что если Е не изоморфно произведению банаховскил пространств, то в Е содержится замкнутое векторное подпространство, не обладающее топологическим дополнением. ]Рассуждать от противного. Пусть (рв)в > „— возрастающая последовательность полунорм на Е, определяющая топологию етого — т пространства, Р„= р„(0) и Е„+т — топологическое дополнение к Рич.т относительно Р„(полагаем Е= Ра); используя б), показать, что Ея+т — банаховское пространство и Е изоморфно произведению пространств Е„ (л )~ 1); использовать теорему 1 В 3 гл.
Ц а12) а) Пусть Е и Р†пространст Фреше, й †отделим локально выпуклое пространство, Е', Р' и 6' — ил сопряженные и и — билинейное 262 ГЛ. Пб Е 5 двопствинность отображение Е'ХР' в б', раздельно непрерывное (гл. П!, 84, па 1), когда Е', Р' и 0' наделены слабыми топологиями а(Е', Е), а(Р', Р) на(Сг', 0). Показать, что и есть непрерывное отображение Е'>С Р' в О' при наделении Е', Р' и Са' сильными топологиями. (Полагая (г, и(х', у)) = (и (х'), у'), где лай и п,(х') бР, показать сначала, что множество, пробегаемое и, когда г пробегает ограниченное множество С из О, равностепенно непрерывно при наделении Е' сильной топологией, а Р— исходной; использовать для етого упражнение 8г.
Затем показать, что в Е' существует сильная окрестность нуля ~' такая, что объединение множеств и, ( г"), где г пробегает С, ограниченно в Р' использовать для етого упражнение 5 й 2 гл. ПЦ б) Лать пример нарушения справедливости заключения из а) при предположении Е пространством Фреше, а Р— строгим индуктивным пределом последовательности пространств Фреше. (См.
гл. Ш, $4, упражнение 5.1 ф б. Двойственность банаховских пространств Принимая во 'внимание важность банаховских пространств, мы в этом параграфе заново изложим для них результаты, полученные в предыдущих параграфах, и пополним эти результаты некоторыми свойствами, специфичными для банаховских пространств. 1. Слабая а сальная топологии в сонряяненнолв н норлварованному пространству Пусть Š— нормированное пространство и Š— банаховское пространство, получающееся путем его пополнения. Как известно, пространство Е', сопряженное к Е, канонически отождествимо (как не топологическое векторное пространство) с сопряженным к Е; кроме того, сияьная топология в Е' (рассматривается ли оно как сопряженное к Е или к Е) †од и та же и ° определяется нормой ((х')( = зпр ((х, х')! = зпр ~(х, х')( (1) хаев М<з хби', !х!<г (гл.
11!. $3, и' 3). Напротив, при Е Ф Е- слабые топологии а(Е', Е) и а(Е', Е) различны ($ 1. следствие 3 предложения 1). Замечания. 1) Пусть А — всюду плотное подмножество шара 11х!! ~, 1 (относительно исходной топологии пространства Е). Вследствие непрерывности х', из (1) вытекает, что также 11х" 1! = за!з((х, х ) ). хбА ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 263 В частности, в последних двух членах в (1) можно знаки ~ заменить на (. 2) Если Е бесконечиомерно, то слабая топология а(Е', Е) слабее сильной топологии пространства Е'. Действительно, для любой конечной последовательности точек (аг)ткз<я из е существует х'фо в е' такое, что (аь х') =О (!!с„п) (илг., гл.
П, й 4, теорема 1). При атом можно предполагать, что ~1х'11 = 1. Это показывает, что О является в Е' слабой точкой прикосновения к сфере, заданной уравнением ((з'!1 = 1, тогда как зта сфера замкнута в сильной топологии. формула (1) показывает, что ( (х, х') ! ( ) ) х й !, 'х' ! ! (2) для любых х ~ Е, х ~ Е' и, следовательно. каноническая билинейная форма (х, х') -+ (х. х') непрерывна на ЕУ,.Е'. когда Е и Е' наделены своими нормированными топологиями (см. В 3, упражнение 2). 3 а меч а ни я. 1) Так как (Лх, х') = Л(х, х'), то можно также написать йХ й 5ПР ((Х, Хг)! хбе.
(х(-т и )(х, х')( хсе, х~о бх!1 что представляет собой уточнение формулы (2). Точно так же, каково бы ни было множество В, всюду плотное в Е (в исходной топологии) и не содержащее начала, по непрерывности имеем ах~1 = 5пр хбР ~! Ха 2) Если Н вЂ” замкнутая гиперплоскость в Е, определяемая уравнением (х, х') =а (х'+О), то расстояние от О до Н задается формулой и — —— !«1 ~~х'! ' Действительно, в силу формулы (2), для каждого ХОН имеем йх)1~ ;ж —; с другой стороны, для каждого и существует у„такое, что (а! 1~Х'а ' 1! "«». Цуяй =1 и (уя, х') „жйх'1(! — — ); пусть (угьх ) =*Л„их„= —; п)' я тогда хыбН и ~~х„й = — ~( )а! (а) , и наше утверждение ( и)~~ доказано.
264 гл.ш,а з ДВОИСТВЕННОСТЬ Напомним, что в силу метризуемости пространства Е его исходная топология есть топология Макки т(Е, Е') (% 2, предложение 6). Пространство Е', наделенное сильной топологией, будучи метризуемым и квазиполиым, полно (ф 3. предложение 3); иными словами, это — банаховское пространство. Так как полярой в Е' шара !(х)((! простраиства Е служит шар )(х'~((1, то равиостепеиио непрерывные множества в Е' — это сильно ограниченные множества.
Следовательно (9 2, предложеиие 2): Пгедложвииа 1. В пространстве Е", сопряженном к нормированному пространству Е, каждый замкнутый шар компактен в слабой топологии о(Е', Е). Напомним, что метризуемое топологическое пространство называется пространством счетного тапи, если в нем содержится счетное всюду плотное множество (Общ. топ., Рез., 9 1, и' 14). Предложение 3 ф 2 и его следствие показывают.
что: Пгедложвиив 2. В пространстве Е', сопряженном к нормированному пространству Е счетного типа и наделенном слабой топологией е(Е'. Е), каждый замкнутый шар есть метризуемое компактное пространство и содержит всюду плотное счетное множество. Если Š— банаховское пространство, то оио бочечио (гл. Ш, ф1, следствие предложения 1), так что каждое множество в Е', ограниченное в слабой топологии о(Е'. Е), также сильно ограниченно; поэтому можно говорить просто об ограниченных множествах в Е', ие уточияя — в какой топологии. Отметим, что еели Š— ие бочечное нормированное пространство, то в Е' имеются слабо ограниченные множества, ие являющиеся сильно ограниченными (4 2, упражнение 9а).
Пгвдложеиие 3. Пусть Š— банаховское пространство. Для того чтобы векторное надпространство М' сопряженного пространства Е' было замкнутым в топологии в(Е', Е). необходимо и достаточно. чтобы было замкнуто в втой топологии его пересечение с шаром !!х')!(!. двойственность БАндховских пРОстРАнстВ 266 Это в не что иное, как теорема 5 3 2, примененная к банаховскому пространству (поскольку каждое равностепеино непрерывное множество из Е' содержится в некотором гомотетичном образе шара 11х')) ( 1).
Следствие !. Пусть Š— банаховсиое пространство. Для того. чтобы линейная форма и на сопряженном пространстве Е' была непрерывной в слабой топологии е(Е', Е), необходимо и достаточно, чтобы было непрерывно в этой топологии ее сужение на щар 11х'!1~( 1. Следствие 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
