Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Предгнльбертовы н гильбертовы пространства е. Эрлеатовав форлеьг. На протяжении всей этой главы К означает тело вещественных нли комплексных чисел; с-+1 означает тождественный автоморфизм тела К, если К=И, и автоморфизн, относящий каждому комплексному числу 1= а+. !З сопряженное комплексное число $ = а — !р, если К= С. Напомним следующее определение (Алгебра, гл. 1Х)г Опгзделгние 1. Пусть Š— векторное пространство над К. Полуторалинейной врмитовой формой (или просто зрмитовой формой, или еще симметричной формой при К=И) на Е)( Е(нли. допуская вольность речи, на Е) называется всякое отображение У произведения Е)( Е в К, удовлетворяющее следующим условиям: Г(х,+-хз, у)=у(хо у) +у(ха, у), з'(х, у,+у,) =-у(х, уг)+у(х, у,), (1) г (Лх, у) =Лг'(х, у), у(х, ру) =р!(х, у), !'(х, у) =) (у, х).
(3) Заметим, что второе условие (1) и второе условие (2) являются следствиями трех остальных. *) Обращаем внимание читателя, интересующегося специально гильбертовыми пространствами, на то, что в этой главе, за исключением пе б б 1, не применяются никакие результаты глав !П и !Ч. Из материала же глав ! и П используются лишь определения выпуклого множества и полуиормы (гл. П, Я 1, 5 и б), а также понятия топологической прямой суммы (гл. 1, б 1), тотального семейства и топологически свободного семейства (гл.
1, $ 2). Все применяемые в пе б б 1 результаты, относящиеся к баиаховским пространствам, изложены в $5 главы !Ч, за исключением характеризации тотального семейства (гл. !Ч, э" 1, следствие 1 предложевия 1). гл, ч,а1 280 ГИЛЬБВРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Из (1) и (2) сразу следует, что ~(~~~)тхр ~~~ ркуа) = ~1)трц/(хр уа). а /,,а (4) В частности, если Е конечномерно и (ег)1кг<и — его базис, то длв и и х=~4 еу и у = ~яьеа имеем 21' Ь=1 У(х, у) = ~етайгчю р., ь где ага =у(ер еа); при этом тождество (3) равносильно условию, что ет» = еае для каждой пары индексов Т', й; из него, в частности, следует, что все а 3 вещественны.
В силу формулы (3), г'(х, х) для каждого х~Е вещественно. При этом, как известно (Алг., гл. 1Х), значения формы У(х, у) определяются значениями Г"(х, х) по формуле 4г(х, у)=т(х+у, х+у) — г'(х — у, х — у), если К=)4, (5) 4у(х, у) =~(х+у, х+у) — ~(х — у. х — у)-+ +(у'(х+гу, х+гу) — Ц(х — гу, х — !у), если К=С. (6) Замечание.
Отметим, что формула (6) справедлива для каждой полуторалинейной формы на Е)с, Е (т. е. каждой функции Г, удовлетворяющей условиям (1) и (2), но не обязательно удовлетворяющей условию (3)). Это показывает, что при К=с полуторалинейиая форма Г", для которой У(х, х) вещественно при всех хРЕ, необходимо эрмитова, ибо форнула (6) дает тогда Г(у, х) =у(х, у), поскольку у+1х = т(х — гу). Из формул (5) и (б) вытекает в частности: Пгидложвнив 1.
Пусть у — эрмитоеа форма на Е и М вЂ” векторное подпространство а Е такое, что У(х, х) = О для всех х~М. Тогда также г'(х. у) =О для каждой пары точек х, у из М. Пусть / — эрмитова форма на Е. Множество А( всех х~Е таких. что У(х, у) = О для каждого у~ Е, есть векторное надпространство в Е. Из формулы (3) следует, что если х,= — х, (щобИ) и ут=уа (гпобА(), то т(х1, у1)=т'(ха, уа); таким образом, положив 2(х, у)=У(х, у) для каждого х~х~Е/Аг и каждого у~у~Е)А). мы получим на факторпростраистве Е1И полуторалинейную формуД а ПРЕДГИЛЬБВРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 28г ясно, что она эрмитова и из отношения „7(х.
у)=0 для каждого у~Е)И" следует х=О в ЕГ)7, иначе говоря (Алг., гл. !Х). что 7 не вырождена. Г" называется невырожденной эрмитовой формой, ассоциированной с у. 2. Положительные зрмиивоваь формаь Опееделение 2. Эрмитова форма г' на Е называется положительной. если 7'(х, х)) 0 длн всех к~Е. Ясно, что эрмитовы формы на векторном пространстве Е образуют векторное пространство над телом ьс (но не над телом С при К=С). Из определения 2 следует, что положительные эрмитовье формы образуют в этом пространстве выстуиаюгций заостренныГе выпуклый конус (гл.
П, Э 1, п' 4). Певдложенив 2. Если 7 — лоложительнан эрмитова форма„ !У(х у)Р<У(х х)У(у у) каковы бы ни были х и у~Е (неравенство Коши — Буняковского" )). Предположим сначала, что 7(у, у) чь О. Для каждого ~~К ил~ееьг г'(у, у)у(х+~у, к+ау)) 0 или У(х, х)г'(у, у) — (7(х, у) 1а+ + (с 7 (у, у) + 7 (х, у)) Я (у, у) + 7 (х, у)) )~ О. Положив в этом неравенстве с= — ', получим(7). Аналогично У(х, у) У(у, у) ' рассуждаем, если 7(х, х) ~ О. Накоыец, если 7(х, х) =7(у, у) =О, то неравенство 7'(х+су, к+ау))~0, справедливое для всех в~К запишется в виде ьу(х, у) + с7"(х, у) ) О.
Положив в этом неравенстве с = — 7(х, у), получим — 2 ~ 7(х, у) (е)~0 откуда 7(х, у) =0 и, значит, снова верно (7). *) В оригинале: Коши — Шварца.— Прим. перев. ГильвеРтовы пРОстРАиствА гл. ч,эз Слкдствик 1. Если / — положительная эрмитова форма, то множество И всех тех х~Е, для которых у(х, х)=О, совпадает с векторным подпространством всех х~Е таких, что л (х, у)=О для каждого у~Е. Слкдствив 2. Для того чтобы положительная,эрмитова .форма / была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы .для всех х + О выполнялось неравенство у(х, х) ) О. Это непосредственно вытекает из следствия 1.
Ясно, что какова бы ни была положительная эрмитова форма г" ыа Е, ассоциированная с пей невырожденная эрмитова форма у (и'1) является положительной эрмитовой фориой на Е1г). Пгкдложкник 3. Если г' — положительная (соотв. невырожденная положительная) эрмитова форма на Е, то функция ~/у(х, х) есть полунорма (соотв. норма) на Е. Требует доказательства лишь то, что ~/у(х, х) .удовлетворяет аеравенству треугольника.
Но у(х+у, х+у) = у(х, х)+у(у, у)+у(х, у)+/(х, у) и потому, согласно неравенству Коши — Буняковского, ~(х+у, х+у) < у(х, х)+~(у, у)+2~9(х. х)у(у, у)= =(3/у(х х)+ЛЯ у)) . (8) Замечания. 1) Пусть у — невырожденная положительная зрмитова форма и х, у — ненулевые векторы. Доказательство неравенства Коши — Буняковского показывает, что если в (7) имеет место равенство, то существует <каляр Е такой, что у (х + Еу, х+ Еу) = б, так что х+ Еу = б; иначе говоря, .с и у линейно зависимы; обратное очевидно.
Доказательство неравенства (8) показывает тогда, что равенство )гУ(х+ у, х+ у) = у'у(х, х) + тгУ(у, у) иозможно лишь если х и у линейно зависимы; если у = 1х, то ато равенство дает 11+ 1 ~ = 1+11 1, откуда следует, что Л вЂ” положительное вещеспыенмое число. 2) Пусть У вЂ” положительная зрмитоаа форма на Е н У вЂ” ассоциированная с ней неаырожленная положительная эрмитова форма на Е/М. Про.странство, получаемое путем снабжения Е(гг нормой ру(х, у), есть нормированное пространство, ассоциированное с Е, снабженным полунормой ф~у(х, у) (гл. П, й 5, по 5).
ПРЕДГИЛЬВЕРТОНЫ И ГИЛЬВЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 283 З. Предгильбертовы и гильбертовы пространства Опееделение 3. Предгильбертоаым пространством называется множество Е, наделенное структурой, определяемой заданием в Е структуры векторного пространства над К и положительной зрмитовой формы. При К=Й (соотв.
К=С) Е называется вещественным (соотв. комплексным) предгильбертовым пространством. П р и м е р. Пусть 1 — интервал нз и (ограниченный или иет) и Š— множество всех правильных функций на и со значениями а С (Функц. аещ. иерем., гл. П, Е 1, и' 3), обращающихся ка кдая в нуль ане некоторого компактного множества, содержащегося а Е Очевидно, Š— векторное пространство над с. пусть г — полуторалинейная форма (х, у)-ь | х(г) у(г) де Ясно, г что г есть положительная зрмитоаа форма на Е и, значит, определяет в Е структуру предгильбертова пространства. Когда в векторном пространстве Е рассматривается лишь одна структура предгильбертова пространства, значение эрмнтовой формы, определяющей эту структуру, для пары точек (х, у) из Е обозначается (х (у) и называется скалярным произведением х и у (скалярным квадратом х, если у=х).
Векторы х, у называются ортогональными, если (х(у) =О. Функция йхй= )Г (х(х) есть тогда полунорма на векторном пространстве Е(предложение 3); предгильбертово пространство всегда считается снабженным этой полунормой (и, следовательно, наделенным соответствующими топологией и равномерной структурой). При этих обозначениях неравенство Коши †Буняковско в предгильбертовом пространстве Е записывается в виде (9) !(х)у)( ()(хй йуй' и показывает„что скалярное произведение есть непрерывная полуторалинейная форма на Е х( Е (гл. П, 9 б, предложение 8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
