Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 67
Текст из файла (страница 67)
ч) ат,г1ат — бивектор, определяемый векторамн ат, ат. — Прям, перев. ГИЛЬВВРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. Т, Эт а) Показать, что если У и я — невырождениые положительные формы, для которых Вус= Вя (что равносильно неравенству Е~(У), то з(у) ~ э(я). [Рассмотреть базис в Е, ортогоиальиый одновременно н отиосительпо У и относительно я.[ б) Пусть А — симметричное ограниченное выпуклое тело в Е. Показать, что среди певырождеииыл положительиыд форм У на Е текил, что А с- ВР существует, и притом только одна, для которой площадь ВГ (отяосительно заданного базиса в Е) принимает ианмеиьшее возможное зиачеиие.
[При доказательстве единственности у принять во виимаиие, что если Ас:.ВГи АсВР, то также Ас=В, .[ (Г-ья) в) Пусть А — симметричное ограиичеииое выпуклое тело в Е и у — иевырожденная положительная форма.такая, что А с= ВГ и ВГ обладает наименьшей возможной площадью относительно заданного базиса в Е. Показать, что в А содержатся по крайней иере две ие симметричные друг другу точки х и у, для которых у (х, х) = у(у, у) = 1. [Отнеся форму у к ортоиормальному базису (ат, ат), рассмотреть для 1 каждого э)0 форму Р,(х, у) = 1 Етят+(1+э)йтчт и припять во виимааие,что, в силУ б), А 1~ Вя,! показать, что множество тех хэйА, которые ие принадлежат Вя, обладает точной прикосновения Ь, отличной от ат и — ат и такой, что у(Ь, Ь) = Ц г) Локазать аналоги утверждений б) и в) для невырожденвыл положительныл форм У такил, что Вус-.А и ВГ имеет наибольшую возможиую площадь (относительно заданного базиса в Е).
*4) а) Пусть Š— вещественное или комплексное нормированное пространство размерности ~ 2, обладающее следующим свойством: если [!х[! = [[у[[, то [[х+у[! + [[х — у[! ~2([[х[!з+ [!у!!э). Показать, что на Е существует иевырождеиная положительная эрмитова форма У(х, у), для которой у(х, х) = [[х[1~. [С помощью упражнений 1 и 2 свестя к случаю, когда Е вещественно и двумерно.
Пусть, в этом случае, А — выпуклое тело, определяемое неравенством [[х[[(1, У вЂ” иевырожденная положительная форма такая, что А с=ВГ и ВГ обладает отиосительно заданиого базиса наименьшей возможиой площадью, далее, (ет, еэ) — ортонормальиый отвосительио у базис и х, у — ие симметричные друг другу точки нз А, для которых У(х, х) =у(у, у) = 1 (упражнение Зв). Показать, что точки пересечеиия окружности У(», «) =! с биссектрисами пары векторов х, у также принадлежат А, и заключить путем повторного применения этого рассуждеиия, что А Вг[ б) Пусть Š— вещественное ялн комплексное иормироваииое простраиство размерности >2, обладающее следующим свойством: из ![х+у[! = [!х — у[! следует ![х+у[[з= [[х[[э+ )у!!э.
Показать, что иа Е существует иевырождеииая положительная эрмитова форма у (х, у), для которои У(х, х) = [[х[[з. [Свести ка).) придгыльвивтовы и гыпьиивтовы пвостндпотпд 29$ в) Доказать аналог предложения а) при предположении, что нз Ц хй Ц уй следует Ц х+ у Ц я+ Ц х — у Ц з ~ 2 (Ц х![а+ Ц у Цг). [Использовать упражнение Зг.] 5) Пусть Š— вещественное илн комплексное векторное пространство размерности» 2. Предположим, что задано его отображение х.«ЦхЦ в (Ц+ такое, что Цдхц [Л] цхц для каждого стсаляра Х, Цхй =О влечет х О н для любых а, Ь, с, »г нз Е имеет место .птолемеево неравенство' ]а в ей ЦЬ вЂ НЦ~Ца Ы!Цс †»(Ц -1- ЦЬ вЂ ей †»(Ц.
а) Показать, что Цхй есть норма на Е. [Заменить в птолемеевом неравенстве »( на О н Ь на — а.] б) Показать, что на Е существует невырожденная положительная зрмитова форма У(х, У), для которой у(х, х) = Цхйз. [Вывестн нз птолемеева неравенства неравенство цх+у!! +цх — уцг>4цхц цуц н использовать упражнение 4в.] Обратное предложение. [Показатгь а Ь что если в гильбертовом пространстве а — , Ь' — , то ЦаЦг ЦЬЦ Ца' — Ь'Ц Ца — Ы[ Цай ЦЫ[ *б) Пусть Š— вещественное нлы комплексное нормированное пространство размерности 2, обладающее следующмм свойством: существует вещественное число 1, отличыое от О и ~1, такое„что нз Цх+УЦ Цх — УЦ следует цх-1-туц цх — туЦ. а) Показать, что если цх+уц = цх — уц, то выпуклая фу»живя т(Ц)= Цх+ЦУЦ вещественного переменного Ц не постоянна ни на каком интервале.
[Рассуждая от противного, рассмотреть наибольший интеРвал [«, Ц], на котором у(Ц) постоянна. Приняв во внимание, что нз Ци+ий = Ци — ий следует Ц и+1"иЦ = Ци — 1иоЦ для каждого целого рационального л, показать, что у(з) у(ц) для некотоРого З)Ц, достаточно близкого к Ц.] б) Показать, что если Ц х+ у Ц Ц х — У Ц, то Ц х+ ЦУ Ц Цх — ЦУЦ для всякого вещественного числа В [Основываясь на том. что, в обозначениях вз а), у(1«) у( — ти) для каждого целого Рационального л, показать, что у(ц) достигает в точке ц О относительного минимума; вывестн отсюда, что у(ц) у( — ц) тождественно, заметив, что в противном случае мы имели бы у(1) = у(!») для двух чисел 1 н р таких, что Х+р,+О, н в атом случае у постигало бы отыоснтель- 1 ного минимума в точке — (1+(»),] 2 в) Вывести из б), что на Е существует невырожденыая положительная зрмитова форма у(х, у), для которой у(х, х) цхцг.
[Показать прежде всего, что если Цхй = ЦУ1, то Ц«х+ЦУЦ Црх+«УЦ для каждой пары вещественных чисел «, Ц н что если Цх+УЦ Цх — УЦ» то Ц«х+ЦУЦ=Ц«х — цуц, каковыбы нн были вещественные числа«,Ц. Гл. У, 5 1 ГИЛЬББРТОБЫ ПРОСТРАНСТВА Используя зги результаты, показать, далее, что если 1[х[1 = 11у[1 = 1 и 1[х+у[1 = 1[х — у[1, то 11(ач — йт) х+2айу[1 аз+ба, н вывести отсюда справедливость доказываемого утверждения *).) 7) Пусть Š— вещественное или комплексное нормированное пространство, обладающее следующим свойствам: если х, у, хг, у' — четыре вектора из Е такие, что 1[х[1 = 11х'11, 1[у[1 = 1[у'11 н 1[х+у11 = = 1[х'+у'11, то 1[х — у 11 =11 х' — у'11.
Показать, что на Е существует невырождениая положительная врмитова форма У(х, у), для которой у(х, х) = [[хая. [Использовать упражнение 0.[ *В) Пусть Š— вещественное нормированное пространство размерности ) 3. Предположим, что существует убывающее взаимно однозначное отображение и множества лй всех его замкнутых векторныл подпространствна себя такое, что и(е(М)) =М н МДи(М) (0) для каждого М Е Бй. а) Показать, что существует такое, определенное с точностью до скалярного множителя линейное отображение и пространства Е на его сопряженное Е';что и(М) =(и(М))' для каждого Мс3)с. [Рассматривая случай одномерного М, применить основную теорему проективной геометрии (Алг., гл. П, 2-е нзд., Приложение 1П, упражнение 10 (и)), приняв цо внимание, что тело К обладает единственным — тождественным— автоморфизмом (Общ.
топ., гл. )тг', $3, упражнение 3).[ б) Положив (х[у) = (х, и(у)), показать, что (х[х)фО для каждого х+О и что соотношения (х[у) =0 и (у[х) =0 равносильны. Вывестн отсюда, что (у[х) =(х[у) для всех пар точек х, у нз Е. [Рассмотреть Л б К, для которого (Лх+ у[х) = 0.[ в) Показать, что (х[х) сохраняет постоянный знак для всек х+О, так что, заменяя, если нужно, и на — и, можно считать, что (х[у) есть невырожденная положительная симметричная билинейная форма на ЕХ Е.
г) Пусть Зе — исходная топология пространства Е, Показать, что топология й в Е, определяемая нормой Тг(х[х), мажорирует топологию йь [Принять во внимание, что сопряженное к Е прн й содержит сопряженное Е' к Е при Зо[ д) Показать, что и непрерывно при топологиях а(Е, Е"1 и ч(Е', Е). Вывести отсюда, что если Е полно в ислодной топологии й е, то и непрерывно при 0'а и сильной топологии в Е'. [Принять во внимание, что и преобразует каждое множество, ограниченное в топологии а (Е, Е'), в множество, ограниченное в топологии а(Е', Е).[ Вывести отсюда, что тогда топологии й н уа совпадают н и (М) есть ортогональное дополнение к М прн структуре гильбертова пространства, определяемой в Е формой (х[у). [См.
гл. 1, й 3, теорема Ц е) Показать, что в пространстве Ет(г(), снабженном нормой, нидуцированной из Я'(Ы) = Е ((ч), существует взаимно однозначное ото- *) Этот (неопубликованный) метод сообщнлн нам Е. (.огсй и Е топ Хеишапп. ПРЕДГИЛЬВЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 297 бражеиие М-» е(М) множества 3)1 на себя, обладающее указанными выше свойствамн.
]См. гл. 1Ч, 9 5, упражнение 3.] а9) Пусть Š— бескояечномеряое комплексное нормированное пространство. Предположим, что существует взаимно однозначное отображение е множества 8)) всех его замкнутых векторнык подпространств на себя, обладающее свойствами, указанными в упражнении 8. а) Показать, что существует такое определенное с точностью до скалярного множителя полулинейное (относительно автоморфнзма ч -ь 6 тела С) отображение и пространства Е на его сопряженное Е', что и(М) =(в (М) )' для всех М б Ж ]Рассуждать как в упражнении 8; используя упражнение 20 9 5 гл.
!Ч, показать, что и есть полулннейиое отображение относительно тождественного автоморфизма тела С или автоморфизма $-ь(; наконец, приняв во внимание, что (х, и (х))-,ЬО при хчьО, установить, что первый случай не может иметь места.] б) Положив (х] у) = (х, и (у)), показать, что (у] х) = (х] у) н (х]х) сохраняет постоянный знак для всех хчьО. ]Тот же метод, что н в упражнении 8.] в) Показать, наконец, что топологии 3 в Е, определяемая нормой 'Ьг(х] х), мажорирует исходную топологию 3 а и что зтн две топологии совпадают, если Е в топологии За полно; в атом последнем случае и(М) есть ортогональное дополнение к М в гнльбертовом пространстве Е. *10) Пусть Š— конечномерное вещественное векторное пространство, Т вЂ” взаимно однозначное линейное отображение пространства Е на его сопряженное Еа н А — ограниченное симметричное выпуклое тело в Е, для каждой точки х границы которого гиперплоскость, определяемая уравнением (у — х, Т(х)) О, является опорной к А.
а) Пусть У(х) = ] (х, Т (х)) ] и а — точка, в которой у (х) достигает своего минимума на границе тела А. Показать, что для каждой точки Ь такой, что (Ь, Т(а))=0, также (а, Т(Ь)) =О. [Принять ва внимание, что (х, Р (х)) + 0 при х чь 0 н, следовательно, можно предполагать, что у(х) = (х, Т (х)) ~ О; использовать далее то, что каждая опорная гиперплоскость к А в точке а есть также опорная гиперплоскость к множеству, определяемому неравенством у(х)~У(а) ] б) Показать, что (х, Т(у)) — симметричная билинейная форма и А совпадает с множеством тел точек х, для которык У(х) ~ Т, где Т вЂ” надлежащая постоянная. ]Провести доказательство индукцией по Размерности пространства Е, рассматривая, в обозначениях нз а), гиперплоскость, определяемую уравнением (х, Т(а)) =О.] "11) Пусть Š— конечномерное комплексное векторное пространство, Т вЂ” взаимно однозначное полулинейное (относительно автоморфизма $ -ь 1) отображение пространства Е на его сопряженное Е' и ]]х]] — норма иа Е такая, что ] (х, Т(х)) ]= ]]х]] ]]Т(х)й для всех х бЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
