Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пусть Р— произведение йй Е, векторных пространств Е, (не наделенное топологией), зс« Π— прямая сумма векторных пространств Е„т. е. надпространство в Р, образованное теми точками х=(х,), у которых х, ~ О лишь для конечного числа индексов. Каковы бы ни были точки х=(х,) и у=(у) из 6, сумма,'5',(х,1у,) имеет смысл, поскольку ~сг лишь конечное число ее членов отлично от нуля; обоаиачнм ее (х[у).
Ясно, что (х, у)-ь(х]у) есть армитоаа полуторалияейяая форма ЗО2 гл. ч,аг гнльвп тоны гн остелнствд на 0. При этом (х ~ х) = Я й хД г ь 0 для всех х ~ 0 н ив (х ) х) = О йт следует, что х,=О для всех 1~7, т. е. что х=О. Иными словами, (х~у) есть невырожденная положительная эрмитова форма на 0 и определяет в 0 структуру отделимого предгильбертова пространства. Это пространство вообще не полно. Внешней гильбертоеой суммой семейства гильбертовых пространств (Е,), называется гильбертово пространство О, получающееся путем пополнения отделимого предгильбертова пространства 0; мы будем обозначать его Щ Е,.
'»т Пгвдложинив 1. Пусть (Е,), — семейство гильбертовых пространств и Š— часть векторного пространства Р = Ц Е„ сеХ образованная теми точками х =(х), для которых Х))хДг (+ со, .—,1 Тогда Е есть венгнорное надпространство в Р, семейство ((х,(у,)) для каждой пары точек х=(х,), у=(у,) из Е суммируемо в К и (х ) у) =.~, (х, ~ у,) есть невырожденная положительная эрмиег тово Форма на Е, определяющая е Е структуру гильбертова пространства, при которой Е изоморгрно внешней гильбертовой сумме семейства (Е,) Так как ах,+уДг(2(!)хДг+йуДг), то Š— векторное подпространство в Р. Неравенства ~(х, !у) ~ ( ~~хД ~~уД( —,'(~~хДг+1~уДг) показывают, что семейство ((х,)у,)), суммируемо; так как (х ~х) = =.Я 'ахДг, то (х(х)) 0 и (х)х)=0 равносильно х=О, так что 'Е~ (х)у) есть невырожденная положительная форма на Е. Структура отделимого предгильбертова пространства, определяемая в Е формой (х )у), индуцирует в прямой сумме 0 векторных пространств Е структуру предгильбертова пространства, определенную выше, и ясно, что 0 всюду плотно в предгильбертовом пространстве Е.
Следовятельяо, нужно еще только показать, что Е полно по норме йх(~ =- = р (х )х). Пусть (х„) †последовательнос Коши . по этой норме и х»=(х»,,),~г (х»,,ЕЕ,). По предположению, для каждого г 0 существуетпетакое,что йх — хД'(е', т. е. ~ )(х,— х„Д (ег, мт при всех т> и, и ~ пь. В частности, (х„,)„„прн каждом фикся- и автогонадьныи симинсттьд зоз раввином ь~с1 есть последовательность Коши и, значит, сходится к некоторой точке а,~Е;, устремляя гп к +оо, мы видим, что каково бы ни было конечное подмножество 1 на 1,,~~ 'йа,— х„Д' < ег ~ее для всех и ьля и.
следовательно, также ~.', 'йа,— х„,~~г (гг для вб1 всех и) пв. Это показывает, прежде всего, что точка а — х„, где а=(а,), а значит, и точка а принадлежит Е. и, далее, что последовательность (х„) стремится к и в пространстве Е„тем самым иредложение полностью доказано. Внешнюю гильбертову сумму 9 Е, семейства (Е,), гильберто ~аз вых пространств обычно отождествляют с указанным гильбертовым пространством Е. Пусть 1',— отображение Е, в Е, переводящее з~Е, в элемент (х,)~Е, для которого х„=О при х~ь ь и х,=г; ясно, что 1, есть изоморфизм гильбертова пространства Е, на замкнутое векторное подпространство гильбертова пространства Е.
1, называется канони- ческим отображением. Е, в Е, и Е, чаще всего отождествляется с его образом в Е при этом иаоморфиэме. При этом условии Е, и Е„ ортогональны в Е при ь+ х и Е совпадает с замкнутым векторным подпространством, порожденным объединением всех подпространств Е,. Если 1 конечно, то Е есть прямая сумма векторных пространств Е;, так как канонический проектор Е на Е, непрерывен для каждого ь~ 1, то Е является тогда также топологической прямой суммой прои странств Е, (гл. 1.
$1, предложение 10). При 1=11, п1 вместо Щ Еь с=1 пишут также ЕЯ~Ег~5...ЯЕ„, 2. Гильберигова сумма оригогональных надпространств гильбертова иросивранспгва Опгвдвлвних 1. Гильбертово пространство Е называетск гильбертовой суммой семейства (Ед его замкнутых векторных д р р 1' Е, и Е„ортогональны длн любых двух различных индексов ь и ж 2' замкнутое векторное надпространство, порожденное обэединением всех Е„совпадает с Е. гл. т,аз гильиввтовы пвоствлнствл Теогимь 1. Пусть Š— гильбертово пространство, являющееся гильбертовой суммой семейства (Е,) своих замкнутых векторных подпространств.
Существует однозначно определенный изоморфизм г' пространства Е на внешнюю гильбертову сумму Е' семейства (Е,), сужение которого на Е, есть каноническое отображение У, пространства Е, в Е' для каждого ьЕI. Пусть О~Е' прямая сумма векторных пространств Е, и и — ее линейное отображение (х,), -+~~р~х, в Е. Покажем, что и есть изо~ег морфизм предгильбертова пространства О на (предгильбертово) подпространство д'(О) пространства Е, порожденное объединением всех Е,. Действительно, для любых двух элементов х = (х,), и У = (У,),е, из О имеем (К(~)~ а(у)) =(,:~~~ к, ! ~~'.~у,)= ~~ (» ! у ) Но, по предположению. (х,!у„)=0 при ь + х; следовательно, (д'(х) ~ й (у) ) = ~ (х, ~ у,) = (х ~ у), 'ег и маше утверждение доказано.
Изоморфизм и продолжается до изоморфизма и пополнения Е' пространства О на замыкание и(О) в Е, которым, по предположению, служит Е; ясно, что изоморфизм г, обратный к и, и обладает требуемым свойством. Его единственность вытекает из того, что замкнутое подпространство пространства Е, порожденное объединением всех Е„ есть само Е. Обычно Е отождествляют с внешней гильбертовой суммой Е' его надпространств Е, посредством изоморфизма у' и называют Е' гильбертовой суммой надпространств Ес Следствии 1. Пусть Š— гильбертово пространство, являющееся гильбертовой суммой семейства (Е,) г своих замкнутых ' 'ег векторных подпространств, Р, для каждого ь~l — ортогональный проектор (В 1.
п' 5) Е на Е, и х, =Р,(х) для каждого х~Е. Тогда семейство (()х,!)г) суммируемо в й, семейство (х) суммируемо в Е и 'зхйг=лг'., 'ях,чг, х= Хх,. г . Оитогоылльнын снмвиствл 305 Обратно, если (х,) г — семейслгво элементов из Е такое, что х,~Е, для всех ~~l и,.,'Р~ /)х,йг(+Со, то это семейство сум'Ег мируемо и его сумма есть единственная точка из Е такая, что Р,(х) =-х, для всех ~ЕЕ Наконец, (х ( у) = ~ (Р, (х) ) Р, (у) ) ~Ее для каждой пары точек х, у аз Е. Действительно, зги свойства очевидны для внешней гильбертовой суммы пространств Е, и переносятся на Е по изоморфизму. Следствие 2.
Пусть Š— отделимое предгильбертово пространство, (Е,), г — семейство его полных векторных надпространств, в котором Е, и Е„ортогональны для каждой пары различных индексов ~ и я, Ъ' — замкнутое векторное подпространство в Е, порожденное объединением всех Е„Р,— ортогональный проектор Е на Е, и х, = Р,(х). Тогда: 1а ~я чг~~ь Ег 2' Следующие условил равносильны: а) х ~ )г; б),~„)~х,!) г = )~х~)г; ~Ег в) семейство (х,) суммируемо в Е и х=~~'.,х,.
Ег 3' Если (г полно, то семейство (х ) суммируемо в Е и ~~'., х,=Рг(х), ~Ее лч,'ь (~х,~)г=(Рг(х))г, где Рк — ортогональный проектор Е на (г. ° Ет Действительно, пусть Š†гильберто пространство, получающееся путем пополнения отделимого предгильбертова пространства Е, так что Е всюду плотно в Е. Будучи полными, Е, являются замкнутыми подпространствами в Е. Замыкание г' подпространства Ь' в Е есть замкнутое векторное надпространство в Е, порожденное обьединением всех Е,, и Ь' =Т' П Е. Пространство Е есть гильбертова сумма всех Е, и ортогонального дополнения Ж' к (7 в Е'. Пусть х„ †ортогональная проекция х на %'.
Согласно следствию 1. ((х~)г= ((хь~!г+ +~~э ))х,)~г и х= хе+~~'„х, в Е. Отсюда сразу следует неравен'Ег Ег ство 1', а также то, что условия б) и в) из 2' равносильны условию хо=0, т. е. условию х~Г. Наконец, если (г полно, то, положив ГЛ. Ч, В 3 ГИЛЬБНРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА х' = РГ (х), имеем х' — х, = (х — х,) — (х — Рт (х) ), так что х' — х, ортогонально к Е, и. следовательно, х, =-Р,(х') для всех 1~1; тогда достаточно применить 2' к вектору х'.
Замечание. Пусть Š— отделимое предгнльбертово пространство н (У,), г — семейство его векторных надпространств, в котором У, и У„ оргогональны для каждой пары резличнык индексов ь н ж Тогда пересечение надпространства У„ с замкнутым векторным подпрострвнством ЯГ„, порожденным объединением всех У, с индексами ~ чь ж для каждого ъ йу сводится к влементу О. Действительно, векторх, принадлежащий одновременно у„ и Иг„, ортогонален ко всем й; с индексами ~ чь ж а значит, и к йг„; но тогда он ортогонален, в частности, к самому себе н, значит, равен нулю.
Пгкдложенив 2. Пусть Š— гильбертово пространство, (У )„ семейство его замннУтых вектоРных подпРостРанств и ()Р'ьъ) м Ъ Рйм, для каждого ),~Š— семейство замкнутых векторных надпространств в Уь такое, что замкнутое векторное надпространство, порожденное объединением этого семейства, совпадает с Рю Для того чтобы Е было гильбертозой суммой семейства (В'т,)г~г ~м, необходимо и достаточно, чтобы Е было гильбертовой суммой семейства (Уь)„~ь, а Ъю для каждого ).~ Л,— гильбертовой суммой семейства ()р1 ) („ассоциативность гильгймг бертовой суммы"). Чтобы установить необходимость условия, достаточно убедиться з том, что Ь'„ н 'ьгз при и Ф р ортогональны. Но каждый элемент из Тч; (р ~ М„) ортогонален ко всем %'З„(ъ ~ МЗ), а значит, и к порождаемому ими замкнутому векторному подпространству то же самое рассуждение показывает далее, что каждый элемент из Ь'„ будучи ортогонален ко всем Ю', (р ЕМ,), ортогонален к Ъ'„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
