Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 73
Текст из файла (страница 73)
420 ИОТОРическиИ ОчеРк к ГлАВАм 1 — У в 1799 году — впрочем, чисто формально — для систем тригонометрических функций и имеющее своим непосредственным следствием .неравенство Бесселя', высказанное последним (все еще для тригонометрических рялов) в 1828 году). Полустолетием позже зти свойства были пополнены работами Грама (!П), который, продолжая исследования Чебышева, выявил связь между разложениями в ряды ортогональных функций и задачей .наилучшего квадратиче.ского приближения* (восхоля»цего непосредственно к гауссовскому „методу наименьших квадратов' в теории ошибок); в этой последней задаче требуется найти для функции у линейную комбинацию ~,'а»(ч заданной конеч- ной последовательности функций (ф»)1<» <„так, чтобы интеграл ь р (у — ~~»'а;ф» )»(х достигал своего минимума.
Эту по существу тривиаль а » .ну".о проблему линейной алгебры Грам решил оригинальным способом, применив к функциям ф; процесс .ортонормализации", описанный в й 2 гл. Ч (и обычно приписываемый Эрхарду Шмидту). Переходя, далее, к случаю бесконечной ортоиормальиой системы (у„), он поставил вопрос, как узнать, когда .наилУчшее квадРатическое пРиближение" Рв фУнкции У линейиымн комбинациями первых и функций этой системы стремится к нулю при неограниченном возрастании и '); таким образом ои подошел к определению поивтия полной ортонормальной системы и знал, что это свойство равносильно .несуществованию ненулевой функции, ортогональной ко всем у„. Ои пытался даже подвергнуть исследованию понятие „сходимости в среднем квадратическом", но до введения основных понятий теории меры мог получить в этом направлении лишь результаты весьма частного характера.
Во второй половине девятнадцатого века основные усилия аналитиков ,были направлены больше в сторону распространения теории Штурма — Лиувилля на функции нескольких переменных, чего особенно требовало исследование уравнений в частных производных эллиптического типа математической физики и естественно связанных с ними краевых задач. Главный интерес сосредоточился иа уравнении „колеблющейся мембраны" ».х (и): — Ьи + Ли = О, (з) для которого разыскивались в достаточно правильной области П решения, обращающиеся в куль на контуре области; и лишь весьма постепенно были преодолены значительные аналитические трудности, заключенные в этой задаче, к которой нельзя было и думать применить методы, оказавшиеся успешными для функций одной переменной.
Напомним основные этапы иа ч) Следует отметить, что в своем исследовании !'рам нигде не ограничивает себя рассмотрением непрерывных функций, подчеркивая зато важа ность условия ~ Р»зпхс +со я ИС1ОРИЧВСКИИ ОЧВРК К ГЛАВАМ 1 — Ч 32! пути к решению: введение .функции Грина' области О, существование которой было доказано Шварцем; также принадлежащее Шварцу доказательство существования наименьшего собственного значения; наконец, в 1894 году А. Пуанкаре в его знаменитом мемуаре (Ча) удалось доказать существование и важнейшие свойства всех собственных значений, рассмотрев, при заданной „правой части' У, решение их уравнения У.з(и) =у, обращающееся в нуль на контуре области, и показав, путем искусного обобнзения метода Шварца, что и, есть мероморфная функция комплексного переменного Х, обладающая лишь простыми вещественными полюсами )ш как раз и являющимися искомыми собственными значениями.
Эти исследования тесно связаны с первыми шагами теории линейных интегральных уравнений, несомненно наиболее способствовавшей воцарению новых идей. Ь)ы ограничимся здесь лишь самым кратким очерком развития этой теории (отсылая за большкми подробностями к Историческим очеркам, которые будут сопровождать главы этого трактата, посвященные спектральной теории). Этот тип функциональных уравнений, сначала лишь спорадически появлявшийся в первой половине девятнадцатого века (Абель, Лиувилль), приобрел важность после того, как Веер и К.
Нейманн свели решение „задачи Лирихле" для достаточно правильной областм б к решению,интегрального уравнения второго рода' Ь и(х)+ ~ А'(х, у) и(у) Фу =у(х) (4) относительно неизвестной функции и, — уравнения, которос К. Нейманиу удалось решить способом .последовательных приближений в 1811 году. Побуждаемый, несомненно, уже упомянутыми алгебраическими аналогиями не в меньшей мере, чем результатами, полученными им для уравнения колеблющейся мембраны, А. Пуанкаре приходит в 1896 году (Чб) к идее введения переменного параметра 1 перед знаком интеграла в предыдущем уравнении и утверждает, что, как и для уравневия колеблющейся мембраны, решение будет тогда мероморфной функцией от 1; но ему не удалось дока- вать этот результат, установленный (для непрерывного .ядра" К и конечного интервала га, Ь)) лишь четырьмя годами позже И.
Фредгольмом (Ч!). Этот последним, быть может, еще более сознательно, чем его предшественники, полностью руководствуется аналогией между уравнением (4) и линейной системой Х 1 (ьрч+ — а ) хя — — ьр (1 <р < и) л (5) 4=1 и получает решение уравнения (4) в виде отношения двух выражений, составленных по образцу определителей, входящих в формулы Крамера. Впрочем, здесь не заключалось новой идеи: с начала девятнадцатого века метод .неопределенных коэффициентов" (состоявший в нахождении неизвестной функцми, пРедполагаемой Разложимой в Рвд ~'снуя по известным фУнкциам чи, 322 истопичнскии очник к глдвдм .1 — ч путем вычисления коэффициентов с„) привел к „линейным системам с бес- конечным числом неизвестных' Ч~~~~ агул) — — (Ч (г = 1, '2, ...
). (6) у=с Фурье, встретившийся с такой системой, .решил ее еще как математик восемнадцатого века: он отбросил все члены с номером 1 или 1, превосходящим и, нашел явное решение получившейся конечной системы яо формулам Крамера и далее, перешел к пределу", устремив в решении и к бесконечности! Хотя позже уже ие удовлетворялнсь подобными фокусами, все же вначале пытались атаковать эту задачу еще с помощью теории определите. лей; начиная с 1886 года (вслед за работой Хилла) А.
Пуанкаре, а затем Х. фон Кох построили теорию „определителей бесконечного порядка", позволившую решить некоторые типы систем (6) по классическому образцу; и если эти результаты и не оказались непосредственно применимыми к задаче, поставленной Фредгольмом, несомненно, по крайней мере, что, в частности, теория Коха послужила ему моделью для образования его .определителей".
В этот момент и выступил Гильберт, дав новый толчок развитию теории (11П). Он начал с дополнения работ Фредгольма фактическим осуществлением предельного перехода, ведущего от решения системы (5) к решению уравнения (4); но он тут же присоединил к этому соответствующий предельный переход для теории вещественкых квадратичных форм, к которому естественно приводили типы интегральных уравнений с симметрическим ядром (т.
е. таким, что К(у, х) = К(х, у)), гораздо более часто встречающиеся в математической физике. Это привело его к фундаментальной формуле, непосредственно обобщающей приведение квадратичной формы к ее осям: ь ь 12 ~ К(з, Г) х (з) л (Г) и'з а( = ~~у — ~ ча (з) х (з) 8з, (7) а а а=т а где ˄— (необходимо вещественные) собственные значения ядра К, у„образуют ортоиормальную систему соответствующих собственных функций, а ряд ь в правой части сходится при /лз(з)г(з<1. Он показал также, что каждан функция, .представимая" в виде у(х) = ~ К(л, у) К(у) Фу,,обладает .раза СО ь ложением" ~)„уа (х) ( Ча (у) у (у) 8у, и, следуя аналогии с классической твоа=с а рией квадратичных форм, указал вариационный метод определения собственных значений Ли, представляющий собой не что иное, как распространение хорошо известных экстремальных свойств осей поверхности второго порялка ((ЪТВ, стп.
1 — 38). 323 исгоричнскии очнрк к Гллвлм г-ч Эти первые результаты Гильберта были почти сразу передоказаны Э, шмидтом в более простой и общей форме, избегающей как введения ,определителей Фредгольма*. так и перехола от конечного к бесконечному, н уже весьма близкой к абстрактному изложению, поскольку в дока. вательствах очевидным образом использовались лишь фундаментальные свойства линейности и положительности интеграла (ЧП1а). Но тем временем Гильберт поднвлся до еще более общих концепций. Все предшествующие работы выявили важность функций с интегрируемым квадратом, а формуда Парсеваля установила тесную связь между этими функциями н последовательностями (с„), для которых ~~~~ с„(+со.
Несомненно, втой идеей руководствовался Гильберт в своих мемуарах 1906 года ((Ч!!), гл. Х! — ХШП, где, оживив старый метод .неопределенных коэффициентов", ои показал, что решение интегрального уравнения (4) равносильно решению бесконечной системы линейных уравнений хр+ ~~~~~ йрчхч Ьр (р 1, 2, ,) (8) ь для „коэффициентов Фурье" хр — — / и(Е)а (Е)г(Е неизвестной функции и О относительно заданной полной ортонормальной системы (ав) (с Ь, ь ь ь = ~ У(Е)ар(Е)яг и Ьрч= ~ ~ К(з, Е)ар(з)ая(Е)азМ), При этом едина а а ственные решения системы (8), которые с этой точки зрения подлежат рас'смотрению, зто те, для которых ~ хз а. +со; н потому именно этим типом решения систематически ограничивается Гнльберт; но зато ои расширяет условия, накладываемые на „бесконечную матрицу" (й ч) (которая в системе (8) такова, что чж Ьр (+со).
С этого момента становится ясным, зь ч что в основе всей теории лежит, хотя и ие введенное явно, „пространство Гильберта" последовательностей (х„) вещественных чисел, для которых ~~~~ ~хэ ч. +со, появляющееся как результат,предельного перехода" от евклидова пространства конечной размерности. Более того, что особенно важно для дальнейшего развития теории, Гильберт пришел к введению в этом пространстве не одного лишь, а двух различных понятий сходимости (соответствующих тому, что !впослелствии было названо слабой и сильной топологиями а), а также „принципа выбора', являющегося не чем иным, как а) Вариациоиное исчисление уже естественно привело к рассмотрению в одном и том же множестве функций различных понятий сходимости (в зависимости от того, требуется ли равномерная сходимость одних только функций или же функций с некоторым числом их производных); но способы сходимости, определенные Гильбертом, были в то время совершенно новы.
324 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — У свойством слабой компактности единичного шара. Новая линейная алгебра, развитая им в связи с решением систем (8), полностью основывалась на этих топологических понятиях: линейные отображения, линейные формы и билинейные формы (ассоциированные с линейнымн отображениями) классифицировались и изучались соответственно их свойствам „непрерывности" *). В частности, Гильберт открыл, что успех метода Фредгольма основывался на понятии .вполне непрерывности", которое он выделил, сформулировав для билинейных форм ав), и подверг глубокому изучению; за дальнейшими подробностями мы отсылаем к той части настоящего трактата, где будут изложены это важное понятие, а также великолепные и глубокие работы Гильберта, в которых он положил начало спектральной теории симметричных билинейных форм (как ограниченных, так и нсограииченных).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
