Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 77
Текст из файла (страница 77)
6. Для того чтобы топологическое векторное пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы оно было отделимо и обладало счетной фундаментальной системой окрестностей нуля. Локалзпо выпуклые пространства 7. Топологнческое векторное пространство Е называется локально выпуклым, если оно обладает фундаментальной системой окрестностей нуля, каждая ив которых выйукла.
Тогда существует фундаментальная система Ж окрестностей нуля, образованная аамкнутыми поглощающими уравновешенными выпуклыми множествами. Если Е метрнзуемо, то Я можно предполагать счетной. Обратно, если Я вЂ” базис фильтра в векторном пространстве Е, инвариантный относительно всех гомотетий с ненулевыми коэффициентами и обрааованный из поглощающих уравновешенных выпуклых множеств, то в Е существует однозначно определенная топология, согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая Я фундаментальной системой окрестностей нуля; наделенное этой топологией, Е локально выпукло. 6.
Полукормой иа векторном пространстве Е называется каждая числовая функция р ~~ О на Е. удовлетворяющая следующим условиям: (Бг),) р (Лх) = / Л / р (х). (3)чп) р(х+у) ( р(х)+ р(у). Если, кроме того, р(х) =О лишь при к= О, то р называется нормой на Е. Множество Г полунорм на Е называется фильтрующимся, если для любых двух пол упор м р, ~ Г и ра ~ Г существуют подув ори а д ~ Г и числа а, > О, аа > О такие, что рь <а,д и р, <азат.
Пусть à — некоторое множество полунорм на Е, Š— множество всех подмножеств из Е. определяемых неравенствами вида р(х) (Л, а ь топологнчпскии виктоянып пгостялнствд 337 где р~Г и ), > О, и Я вЂ” множество пересечений всевоаможных конечных наборов множеств из 9. В Е существует однозначно определенная топология, согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая Я фундаментальной системой окрестностей нуля.
Она называется топологией, определяемой множеством Г полу- норм. Каждая топология, определяемая некоторым множеством полунорм, локально выпукла. Обратно, каждая локально выпуклая топология может быть определена некоторым множеством полунорм, например множеством всех непрерывных полунорм. 9. Пусть Š†локаль выпуклое пространство, топология которого определена семейством Г полунорм. Для того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы отношение „р(х) = 0 для всех р~ Г" влекло х = О. Равномерная структура в Е определяется семейством отклонений р(х — у) (р~ Г); полунормы р~ Г равномерно непрерывны; если Е отделимо, то они продолжаются по непрерывности до полунорм на пополнении Е пространства Е, определяющих топологию в Е. Для того чтобы локально выпуклое пространство Е было метриауемым, необходимо и достаточно, чтобы его топологию можно было определить счетным семейством полунорм.
Нормированное пространство — зто векторное пространство, наделенное нормой и (метризуемой) топологией, определяемой втой нормой. Ограниченные множества 10. Множество в топологическом векторном пространстве называется ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью нуля. Объединение любого конечного'набора ограниченных множеств, каждое подмножество ограниченного множества, образ ограниченного множества при любой гомотетии †ограниченн множества. Фундаментальной системой ограниченных множеств называется всякое множество Я ограниченных множеств такое, что каждое ограниченное множество ив Е содержится в одном из множеств, принадлежащих Я.
В нормированном пространстве шары (~х11 ( и (и — целые ь 1) образуют фундаментальную систему ограниченных множеств. 11. Каждое предкомпактное множество ограниченно. Множество точек последовательности Коши ограниченно. Для того чтобы мно 333 СВОДКА РВЗУЛЬТАТОВ жество А было ограниченным, необходимо п достаточно, чтобы для любой последовательности (х„) элементов из А и любой последовательности скаляров (А„), стремящейся к нулю, последовательность (),„х„) стремилась к нулю. 12. Для того чтобы подмножество А векторного подпространства Е топологического векторного пространства Е было ограниченным в Е, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченно в Е.
Для того чтобы подмножество произведения топологических векторных пространств было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы была ограниченной каждая из его проекций. Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении или произведения ограниченных множеств при непрерывном полилинейном отображении есть ограниченное множество. 13. Пусть Š— локально выпуклое пространство и à — семейство полунорм, определяющее топологию в Е.
Для того чтобы множество Ае=Е было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы на А была ограниченной каждая полунорма р~ Г, и достаточно. чтобы каждая непрерывная линейная форма на Е была ограниченной на А, иначе говоря, чтобы А было ограниченным в ослабленной топологии, соответствующей топологии, заданной на Е (гл. 1Ч, й 2, теорема 3). 14. В локально выпуклом пространстве уравновешенная замкнутая выпуклая оболочка ограниченного множества ограниченна, и'существует фундаментальная система ограниченных множеств, образованная из уравновешенных замкнутых выпуклых множеств. 15.
Пусть Š— локально выпуклое пространство, являющееся строгим индуктивным пределом последовательности (Е„) локально выпуклых пространств. причем все Е„ замкнуты в Е; для того чтобы множество А~Е было ограннчейным, необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось и было ограниченным з одном из пространств Е„.
16. Топологическое векторное пространство Е называется квази- полным если каждое ограниченное замкнутое множество в Е полно; в кзазиполном пространстве каждая последовательность Коши сходится. Каждое полное топологическое векторное пространство квази- полно и каждое квазиполное метризуемое пространство полно.' Произведение любого семейства квазиполных пространств квази- полно. 5 Е ЛИНВННЫЕ И ПОЛИЛИНЕННЬЩ ОТОБРАЖЕНИЯ 339 ф 2. Линейные и полилинейные отображения Иелрерыиные лимеймые отображения 1. Пусть Е и Š— топологические векторные пространства и и— линейное отображение Е в Е.
Лля того чтобы и было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывно в точке О. причем тогда и равномерно непрерывно. Если топологии в Е и Е определяются семействами Г и Г' полунорм, то необходимо и достаточно, чтобы для каждой полунормы д~ Г' существовали число и ) 0 и конечное семейство полунорм рг ~ Г (1 ( ! ( и) такие. что 9(и(х)) (и зпр рг(х) для всех х~Е.
В частности, если Е и Е— 1~1~я нормированные пространства, то необходимо и достаточно, чтобы существовало а) 0 такое, что )(и(х)В (а ))х!! для всех х~Е. Нижняя грань чисел а, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой отображения и и обозначается ))и(); она определяет в векторном пространстве Е(Е, Е) структуру нормированного векторного пространства; если Š— банаховское пространство, то и Е (Е, Е)— банаховское пространство. 2. )(ля того чтобы линейная форма и на топологическом векторном пространстве Е была непрерывной, необходимо и достаточно, -1 чтобы гнперплоскость и (О) была замкнута в Е (гл.
1, й 2, теорема 1). Если Е локально выпукло, то для этого необходимо н достаточно, чтобы на Е существовала непрерывная полунорма р такая, что ! и (х) ! ( р (х). 3. Пусть Е н Š— топологические векторные пространства, причем Е отделимо, и М вЂ” всюду плотное векторное полпространство в Е. Каждое непрерывное линейное отображение М в Е может быть продолжено до непрерывного линейного отображения Е в Е при выполнении одного из следующих двух условий: а) Е по!Но; б) Е квазиполно и каждая точка пространства Е есть точка прикосновения некоторого ограниченного множества из М.
4. Пусть Š— векторное пространство, р — полунорма на Е, Ъ'— векторное подпространство в Е и / — линейная форма на К такая, '1то 1У(х)( ( р (х) для всех х Е (г. Тогда на Е существует линейная форма 2', продолжающая! и такая, что !г(х)) (р(х) для всех х~е (теорема Хана — Банаха (аналитическая форма); гл. !1, й 5, теорема 1 340 сводка гвзкльтлтов и й б, теорема 1).
Для каждого хе~ Е существует линейная формаЕ на Е такая, что,'д(х) ( < р(х) и д(хе) = р(хе). В частности, всякая непрерывная линейная форма на векторном подпространстве локально выпуклого пространства может быть продолжена (вообще бесконечным множеством способов) до непрерывной линейной формы на всем пространстве.
Если пространство в нормированное, то среди этих продолжений существует имеющее ту же норму, что н заданная линейная форма. 5. Пусть Š— бочечное пространство, Р†отделим локально выпуклое пространство н (и„) — последовательность непрерывных линейных отображений Е в Р. Если последовательность (и„(х)) для каждого х ~ Е стремится к и(х) ~ Е, то и есть непрерывное линейное отображение Е в Р (теорема Банаха — Штейнгауза; гл.
Ш, э 3, следствие теоремы 2). Если Е и Š— банаховские пространства' и (и ) †семейст непрерывных линейных отображений Е в Е такое, что эцр~(и,(хЦ ( +со ~6~ для каждого х~Е, то энр11и,'а с +оо, ~Е1 6. Пусть Е и Р— полные метризуемые векторные пространства и и — линейное отображение Е в Е. Если его график замкнут в ЕХР (т. е. из Иа х„= 0 и 1нпи(х„) =у следует у= О). то и непрерывно Я.Фюэ ч->ж (теорема о замкнутом графике; гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
