Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е. каждую линейную комбинацию' .~, ).,х„где х,~А, )„, ЬО для всех ~~Е ), Ф 0 лишь для конеч'йг ного числа индексов ~ и ~'„, Х,= 1). йг 2. Образ и прообраз выпуклого множества при аффинном линейном отображении выпуклы. Произведение и пересечение выпуклых множеств выпуклы. Если А и  — выпуклые множествавЕ, тоаА+рВ 350 сводка ввзкльтлтов выпукло для любой пары скаляров (я, р). Линейное многообразие выпукло; параллелепипед в К" — выпуклый; если р — полунормв на Е, то множество тех х~ Е, лля которых р (х) ( г (соотв. р(х) ( г).
выпукло при каждом г) О. 3. В топологическом векторном пространстве замыкание выпуклого множества выпукло; внугренность А выпуклого множества А выпуклз; если А Ф Я, то А=А и А= А. Замкнутое множество с непустой внутренностью называется випуклым телом. 4. Выпуклой оболочкой множества А ~ Е называется наименьшее выпуклое множество, содержащее А; это — множество центров тяжести всевозможных конечных наборов точек нз А, снзбженных положителыгыми массами.
5. В топологическом векторном пространстве Е замкнутой выпуклой оболочкой множестна А называется замыкание его выпуклой оболочки; это — наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее А. Если Е локально выпукло, то замкнутая выпуклая оболочка множества А есть пересечение содержащих его замкнутых полупространств (гл. П, й 3, следствие 1 предложения 4). 6. Пусть Я и о' — локально выпуклые топологии в Е; если непрерывные линейные формы при обеих этих топологиях одни и те же, то и замкнутые множества одни н те же (гл. !Ч, й 2, предложение 4). Это имеет место, в частности, когда Я' — ослабленная топология.
ассоциированная с топологией уГ. Отделение вагнуклых множеств 7. Пусть Š— топологическос векторное пространство, Ас: Е— выпуклое множество и (г — линейное многообразие в Е, не пересекающееся с А; для существования замкнутой гиперплоскости Н, содержащей (Г и не пересекающейся с А, достаточно выполнения любого из следующих двух условий: а) А открыто (теорема Хана — банаха (геометрическая форма); гл.
П, й 3, теорема 1). б) Е локально выпукло, А компактно и (г замкнуто (гл. П, й 3„ предложение 4). 8. Говорят, что множества А и В в топоюгнческом векторном пространстве Е отделяются (соотв. строго отделяются) замкнутой (вещественной) гиперплоскостью Н, если А содержится в одном 331 6 ь выпкклость из определяемых ею замкнутых (соотв. открытых) полупространств, а  — в другом. Пусть А и  — непустые выпуклые множества в топологическом векторном пространстве Е, причем А открыло и АПВ= Я.
Существует замкнутая гиперплоскость, отделяющая А и В (гл. В, ф 3, предложение 1). Пусть А и  — непустые замкнутые выпуклые множества в локально выпуклом пространстве Е, причем А компактно и АП В.= О. Существует замкнутая гиперплоскость, строго отделяющая А и З (гл. !1, ф 3, предложение 4). 9. В локально выпуклом пространстве каждое замкнутое выпуклое множество есть пересечение содержащих его замкнутых полу- пространств. Каждое замкнутое линейное многообразие есть пересечение содержащих его замкнутых гнперплоскостей, 10. Опорной гпперплоскостью к множеству А в векторном пространстве Е называется каждая гиперплоскость Н такая, что НП А Ф ~ Я и А целиком находится по одну сторону от Н.
В топологнческом (соотв. локально выпуклом) векторном пространстве каждое выпуклое тело А (соотв. каждое непустое компактное выпуклое множество А) есть пересечение содержащих его. замкнутых полупространств. определяемых опорными гиперплоскостями к А (гл. 11, ф 3, следствие предложения 3 и следствие 2.
предложения 4). Компактные выпуклые множества 11. В отделимом топологическом векторном пространстве Е выпуклая оболочка объединения конечного числа выпуклых компактных множеств компактна. Если Š— отделимое локально выпуклое пространство, то выпуклая оболочка предкомпактпого множества нз Е предкомпактна; если, кроме того, Е квазиполпо, то замкнутаж выпуклая оболочка прсдкомпактного множества компактна. 12. Пусть А — непустое компактное множество и Н вЂ” замкнутая гиперплоскость в отделимом топологическом векторном пространстве Е. Соответственно тому, содержится ли А в гиперплоскости, параллельной Н, или нет, А обладает одной или двумя опорными гиперплоскостями, параллельными Н. 13.
Точка х выпуклого множества А называется его экстре мальной точкой, если в А нет ни одного открытого интервала, со- 352 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ держащего х. Пусть А †компактн выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве. Каждая опорная гиперплоскость множества А содержит его экстремальную точку, и А есть замкнутая выпуклая оболочка множества Е всех своих экстремальных точек (теорема Крейна — Мильмана; гл. !1, й 4, теорема 1); обратно, каждое компактное подмножество в А, имеющее А своей замкнутой выпуклой оболочкой, содержит Г (гл. П, й 4, предложение 4).
луроекг4ия на выпуклое мноакество е вредзильбертовом вространстве 14. Пусть Š— предгильбертово пространство, А — непустое полное отделимое выпуклое множество з Е и х~ Е. Существует однозначно определенная точка у~ А, называемая проекцией х на А, расстояние которой от х равно расстоянию х от А. Эта точка характеризуется также выполнением неравенства И (х †у — у) < 0 для всех г ~ А (гл.
у', Э 1, теорема 1). Прн заданном А проекция х на А есть непрерывная функция от х. 15. Пусть Ф вЂ” фильтрующееся по включению л (соотв. ~) множество, образованное непустыми полными отделимыми выпуклыми подмножествами предгильбертова пространства Е, н М вЂ” пересечение всех множеств А~ Ф, предполагаемое непустым (соотз. замкнутая выпуклая оболочка объединения всех множеств А, предполагаемая отделимой и полной). Проекция каждого х~Е на А~Ф стремится по фильтру сечений множества Ф к проекции х на М.
Вывуклые функции 16. Числовая функция ~, определенная на выпуклом подмножестве А векторного пространства Е, называется выпуклой (соотв. серого выпуклой). если выполнены следующие равносильные условия: а) Йля каждой прямой О в Е сужение У' на отрезок О П А есть выпуклая (соотв. строго выпуклая) функция вещественного переменного. б) Если х~А, у1„-А, х чь у н О <), < 1, то ~(Лх+(! — Л) у) < Лг (х) +(! — Л) г(у) (соотв. г (Лх+(! — Л)у) < Лу(х)+(! — Л)у(у)).
в с ВыпуклОсть 333 в) Каковы бы ни были точки х н у в А, все точки открытого интервала МеМВ (где Мг означает точку (г, 1 (С)) произведения Е )С, )с) находятся под (соотв. строго под) графиком функции 7. Если 7' выпукла (соотв. строго выпукла) и а — центр тяжести попарно различных точек х1 ~ А, снабженных массами >ч ) О, то точка Мв находится под (соотв. строго под) центром тяжести точек М,.; снабженных теми же массами Лн Полунорма есть выпуклая функция. 17. Пусть 7" — выпуклая функция, определенная на открытом выпуклом подмножестве А топологического векторного пространства. Если 7 ограниченна сверху на некотором непустом открытом подмножестве множества А. то 7 непрерывна на всем А.
Конусьс 18. Множество С в векторном пространстве Е называется конусом с вершиной в начале, если оно устойчиво относительно всех гомотетий с положительными коэффициентами. х+С для каждого х~Е называется конусом с вершиной х. Конус с вершиной 0 называется заостренным, если О~С, затупленным, если 0(С, и выступающим, если он не содержит никакой пряной, проходящей через О. 19. Для того чтобы множество Сс=Е было выпуклым конусом с вершиной О, необходимо и достаточно, чтобы С+ Сс=С и ЛСс=С для всех Л ) 0; порождаемое им векторное надпространство есть тогда С вЂ” С; наибольшее векторное подпростраиство, содержащееся в С, есть С П( — С), Пересечение выпуклых конусов с общей вершиной есть выпуклый конус; образ выпуклого конуса при аффинном линейном отображении есть выпуклый конус.
20. Пусть Р— выступающий заостренный выпуклый конус с вершиной 0 в векторном пространстве Е. Отношение у — х~Р есть отношение порядка в Е; обозначим его х ( у. Оно обладает следующими свойствами: (ЕО,) если х.(у, то х+-г (у+в для всех г~Е; (ЕОп) если х)~ О, то Лх)~ 0 длн каждого скаллра Л) О. Обратно, если Е наделено структурой порядка, обладающей свойствами (ЕО ) и (ЕОп), то множество Р всех элементов )~ 0 из 354 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ Е есть выступающий заостренный выпуклый конус с вершиной О; Е, наделенное своими структурами векторного пространства и порядка.
называется тогда упорядоченным векторным пространством. 21, Пусть Р— выпуклый конус с вершиной О; полупрямая сг с началом О, содержащаяся в этом конусе, называется его знстремальнод образующей, если каждый открытый интервал, содержащийся в Р и пересекающийся с О, содержится в О; для этого необходимо и достаточно, чтобы нз х+ у ~ О, х ~ Р, у ~ Р следовало х ~ Е> н уело 22.
В топологическом векторном пространстве внутренность и замыкание выпуклого конуса с вершиной О являются выпуклыми конусами с вершиной О. 23. Пусть Š†отделим локально выпуклое пространство и Р— выступающий заостренный выпуклый конус в Е, имеющий непустую внутренность. Каждая тинейная форма на Е, положительная на Р, непрерывна. Если М вЂ” векторное надпространство в Е, пересекающееся с внутренностью конуса Р. и 1' — линейная форма на М, положительная на Р П М, то на Е существует линейная форма ~.
продолжающая г' и положительная на Р (гл. !1, й 3, предложение 6). $5. Пространства непрерывных линейных отображений В этом параграфе Е и Р†локаль выпуклые пространства, Я вЂ множест ограниченных подмножеств пространства Е и Е (Е, Р)— векторное пространство всех непрерывных линейных отображений Е в Р. Если Р— тело скаляров пространства Е. то Е(Е, Р) называется топологичесним сопряженным (или просто сопряженным) к Е и обозначается Е'. Я-гпополозаи в Е (Е, Р) 1. С-топологией в пространстве Е(Е, Р) всех непрерывных линейных отображений Е в Р называется топология равномерной сходимости на множествах из Ж; эта топология согласуется со структурой векторного пространства в Е(Е, Р) и локально выпукла. Пространство Е (Е, Р), наделенное С-топологией, обозначается Ее(Е, Р). Если обьединение множеств из ю тотально в Е, а Р отделимо.
то 1.в (Е, Р) отделимо. г з. пРОстРАнстВА непРеРыВных линейных ОтОБРАжений 355 2. Наиболее важны следующие С-топологни: а) С вЂ” множество всех конечных подмножеств пространства Е; такая Я-топология называется топологией простой сходимости (или слабой топологией, в случае сопряженного пространства Е'). б) С вЂ” множество всех компактных подмножеств пространства Е; такая Я-топология называетсч топологией номпинтной сходимости. в) С вЂ” множество всех ограниченных подмножеств пространства Е; такая С-топология называется топологией ограниченной сходи- мости (или сильной топологией в случае сопряженного пространства Е'). Каждая нз этих топологий мажорируется следующей. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
