Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Топология ". (Р, 0) называется топологией Макки в Р; зто— сильнейшая из локально выпуклых топологий в Р, согласующихся с двойственностью между Р и О. В Р топология метризуемого или бочечного локально выпуклого пространства, согласующаяся с.двойственностью между Р и О, необходимо совпадает с т(Р, 0); однако, для пары пространств в двойственности Р, 0 топология т(Р, О) не обязательно бочечна или метризуема. 12.
Пусть У вЂ” топология в Р, согласующаяся с двойственностью между Р и О. Для того чтобы множество И~О было равностепеннсь збО СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ непрерывным (при топологии Х в Е), необходимо и достаточно, чтобы № бььто окрестностью нуля для топологии о в )Р; такое множество 1Ч слабо относительно компактно в 0; Х совпадает с С-топологией, где Я вЂ” множество всех таких )Ч (см. п' 11). Предположим, кроме того, что Р, наделенное топологией ят, полно.
Для того чтобы линейная форма на О была слабо непрерывной (иначе говоря, записывалась в виде у -+ (х, у), где хЕЕ), достаточно, чтобы были слабо непрерывны ее сужения на множества из С (гл. 1Ч, й 2, теорема 4). Сильное сопряженное 13. Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство и Е'— его сопряженное. Сильной тополоаией в Е' называется топология равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из Е. Векторное пространство Е', наделенное этой топологией, называется спльныл сопряженным к Е.
Поляры всех ограниченных множеств из Е образуют фундаиентальную систему окрестностей нуля для сильной топологии з Е'. Эта топология зависит лишь от двойственности межау Е и Е'. 14. Каждое равностепенно непрерывное множество из Е' сильно ограниченно, и каждое сильно ограниченное множество слабо ограниченно. Обратно, если Е квазиполно, то каждое слабо ограниченное множество из Е' сильно ограниченно (гл. !Ч, Э 3, предложение 1); если Е бочечно, то каждое слабо ограниченное множество из Е' силыю ограниченно и равностепенно непрерывно (гл.
1Ч, Э 3, предложение 2). 15. Сопряженное к сильному сопряженному Е' к Е называют вторым сопряженным к Е и обозначают Е". х' — «(х, х') для каждого х~Е есть непрерывная линейная форма на Е' и тем самым некоторый элемент г'(х) из Е". Отображение т' пространства Е в Е" взаимно однозначно и линейно, но не обязательно непрерывно. Для того чтобы т' отображало Е на Е", необходимо и достаточно, чтобы каждое ограниченное множество из Е было относительно компактно в топологии а(Е, Е') (гл. 1Ч, Э 3, теорема 1); Е называется тогда полурефлехсивным. Предположим, что это условие выполнено; для того чтобы у было изоморфизмом топологического векторного пространства Е на векторное пространство Е", наделенное сильной топологией (как пространство, сопряженное к сильному а 7.
Основные типы лОкАльнО Вь!пУклых пРОстРАнстВ 36$ сопряженному Е'), необходимо и достаточно, чтобы Е было бочечнсР (гл. !Ч, й 3, теорема 2); Е называется тогда рефлексивным. Сильное сопряженное к рефлексивному пространству рефлексивно. Сопряженное отображение 16. Пусть (Г, 6) и (Ен 6,) — две пары пространств в двойственности и и — линейное отображение Г в Еп Для того чтобы существовало линейное отображение о пространства О„в О такое, что (и (у). а!) = (у.
О (а!)). каковы бы ни были у~Г и а!~07, необходимо и достаточно, чтобы и было слабо непрерывно (т. е. непрерывно при топологиях е(Г, 67 и е(ЕИ 6,) ). Отображение о тогда единственно и является слабо непрерывным (при топологиях е(ОП Е!) и е(О, Е)) линейным отображением; оно называется сопряженным к и и обозначается 'и. Имеем "('и) = и. 17. Ядро отображения 'и ортогонально к и(Г). Для того чтобы и(Г) было слабо плотным в Еп необходимо и достаточно. чтобы 'и было взаимно однозначно. 1(ля того чтобы и было гомоморфизмом Г в Г! (при топологиях а(Е, 0) н з(ЕИ 0,)), необходимо и достаточно, чтобы 'и(0,) было слабо замкнуто в 6 (гл. 1Ч, й 4, предложение 4). 18. Пусть Е и Š— отделимые локально выпуклые пространства н и — линейное отображение Е в Е. Если и слабо непрерывно, то 'и определено и отображает Е' в Е', оно непрерывно, если наделить Е' и Е' одновременно слабой или сильной топологиями.
Если и непрерывно при заданных исходных топологиях в Е и Г,. то оно слабо непрерывно. Обратно, если и слабо непрерывно, тгг оно непрерывно при топологиях Макки -.(Е, Е') и т(Г, Г'); в частности, если Е бочечно или метризуемо, то и непрерывно при заданных исходных топологиях в Е и Г. $ 7. Основные типы локально выпуклых пространств Бочечные пространства 1. Бочкой в локально выпуклом пространстве Е называется каждое поглошающее замкнутое уравновешенное выпуклое множество. Бочка поглощает все полные ограниченные выпуклые множества СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ (гл.
П1, $ 3, лемма 1). Если Е квазиполно, то бочка поглощает все ограниченные множества из Е. 2. Топологическое векторное пространство Е называется бочечным, если оно локально выпукло и каждая бочка в нем является Окрестностью пуля. Локально выпуклое пространство, базисное топологическое пространство которого †баронск (Общ. топ., Рез., 1, п'17; гл. !Х, 3 5, п' 3), бочечно (гл. И!, й 1, предложение П; в частности, пространства Фреше, а тем самым и банаховские пространства бочечны, Монтелевское пространство бочечно по определению.
Факторпространство, топологическая прямая сумма и индуктивный предел бочечных пространств бочечны. 3. Пусть Š— бочечное пространство и Š†локаль выпуклое ,пространство. Ограниченные множества в Е (Е, Е) †од и те же для всех СО-топологий, где объединением множеств из Я служит .Все Е; они совпадают с равностепенно непрерывными множествами в Е (Е, Е) (гл. И!, й 3, теорема 2).
Если Г отделимо и Ф вЂ” ограниченный или обладающий счетным базисом фильтр в Е(Е, Г), просто сходящийся к некоторому отображению ие пространства Е в Е, то из есть непрерывное линейное отображение и Ф сходится к пе равномерно на каждом пред- компактном множестве из Е (теорема Банаха — Штейнгауза; гл. !И, ~ 3, следствие теоремы 2). Если, кроме того, Г квазиполно и Я покрывает Е, то Ев(Е, Е) квазиполно (гл.
1И, й 3, следствие 2 теоремы 4). 4. Пусть Š— отделимое бочечное пространство и Е' †е сопряженное. Следующие свойства множества М'с-Е' равносильны .(гл. 1Т7. 3 3, предложение 2): а) М' слабо ограниченно. б) М' сильно ограниченно. в) М' относительно слабо компактно. г) М' равностепенно непрерывно.
Пространство Е' квазиполно как в сильной, так и в слабой .Топэлогии. В Е', наделенном слабой топологией, замкнутая выпуклая оболочка компактного множества компактна. 5. Если Š†отделим бочечное пространство, то его топология совпадает с топологией Макки т(Е, Е'). Поляры окрестностей нуля .мз Е (соотв. из сильного сопряженного Е') образуют фундаментальную систему ограниченных множеств в сильном сопряженном Е' $7 ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ 363 1соотв. в Е). Обратно, поляры ограниченных множеств из Е (соотв.
из сильного сопряженного Е') образуют фундаментальную систему Окрестностей нуля в сильном сопряженном Е' (соотв. в Е). 6. Пусть Е, Р, 0 — топологические векторные пространства. Если Г бочечно, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение и произведения Е )( Р в О Я-гипонепрерывно для любого покрытия Я пространства Е ограниченными множествами (гл. Ш, 9 4, предложение 6). Если, кроме того, Е и Р метризуемы, то и непрерывно (гл. Ш, 9 4, предложение 2). Монтелевсние пространства 7. Мзнтелевски.и пространством называется каждое отделимое бочечное пространство, в котором все ограниченные множества относительно компактны. Нормированное монтелевское пространство «онечномерно (гл.
1, З 2, теорема 3). 8, В ограниченном подмножестве монтелевского пространства Ослабленная топология совпадает с первоначально заданной. Каждый ограниченный фильтр илн фильтр со счетным базисом, сходящийся в Ослабленной топологии, сходится н в первоначально заданной топологии. Следующие свойства подмножества Р моителевского пространства равносильны: а) Р ограниченно.
б) Р относительно компактно. в) Р ограниченно в ослабленной топологии. г) Р относительно компактно в ослабленной топологии. 9. Каждое монтелевское пространство рефлексивно. Сильное сопряженное к монтелевскому пространству есть монтелевское пространство (гл. 1Ч, 9 3, предложение 7). Пространства Фрете 10. Пространством Фреше называется каждое полное метризуемое локально выпуклое пространство. Каждое замкнутое векторное подпространство пространства Фреше и каждое факторпространство пространства Фреше по его замкнутому векторному подпростраиству являются пространствами Фреше.
11. Так как пространство Фреше метризуемо и полно, то к нему применима теорема о замкнутом графике (см. 9 2, и'и' 6 и 7; З 3, п' 8). В частностл, пусть вт и аа — две топологии в одном и том же 364 сВОдкА Результатов векторном пространстве Е, в каждой из которых Е есть пространство Фреше; если о, мажорируется топологией Ха, то эти две топологии совпадают.
12. Пространство Фреше бочечно. Поэтому к нему применимы все свойства бочечных пространств и прежде всего теорема Банаха— Штейнгауза (и'и' 1 — 6). Если Š— пространство Фреше и Š— метризуемое топологическое векторное пространство, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение произведения Е Х Е в топо- логическое векторное пространство 0 непрерывно (гл. П1, 3 4, предложение 2).
13. Пусть Š— пространство Фреше и Е' — его сопряженное. Лля того чтобы выпуклое множество А'с=Е' было замкнутым в слабой топологии з(Е', Е), необходимо и достаточно, чтобы А' П 11' было замкнуто в топологии е(Е', Е) для каждой окрестности нуля У из Е (гл. !Ч, $2, теорема 5). Банаховсние еростутанства 14. Банаховским пространством называется каждое полное нормированное пространство. Каждое банаховское пространство есть пространство Фреше (и'и' 10 — 13). Пополнение нормированного пространства есть банаховское пространство. 15.
Если Е и Š— банаховские пространства, то Е(Е, Г), наделенное нормой ()и)! = Ввр )(и(х)!(, есть баиаховское пространство. 1х!! ~ 1 топология которого есть топология ограниченной сходимости. Если Н вЂ” множество в Е(Е, Г) такое, что зпр !!и(х))(<+со хЕВ для каждого х~Е, то знр))и!!<+со, что означает, что Н равнохЕм степенно непрерывно (теорема Банаха — Штейнгауза).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
