Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Пусть à — множество полунорм, определяющее топологию в Р. Для каждого и ЕЕ (Е, Р), М Е Я и рЕ Г положим ри (и) = = апр р(и(х)). Функции рм образуют семейство полунорм, опредеегм ляюших топологию пространства Ее(Е, Р). В частности, если Е н Р— нормированные пространства, то норма ))и!) = Бпр ()и(х)(~ гег а 1 Определяет в Е(Е, Р) топологию ограниченной сходимости. 4.
С-топология не изменяется при замене С множеством образов всех множеств из Я прн всевозможных гомотетиях, или множеством объединений всевозможных конечных наборов множеств из Я, или множеством замкнутых уравновешенных выпуклых оболочек всех множеств из С. 5. Предположим, чго Е и Р отделимы, причем Р полно; пусть Š— пополнение пространства Е и С вЂ” множество замыканий в Е всех множеств из С. Относя каждому элементу нз Е(Е, Р) его продолжение по непрерывности на Е, получаем изоморфизм топологического векторного пространства Ев(Е, Р) на топологическое векторное пространство Е- (Е, Р).
б. Если Е бочечно, Р квазиполно и Ъ, покрывает Е, то Ев(Е, Р) квазиполио (гл. Ш, й 3, теорема 4), Ограниченные множества в Ев(Е, Р) 7. Для того чтобы множество Н в Е(Е, Р) было ограниченным в Я-топологии, необходимо и достаточно, чтобы множество точек и(х) (и~Н, х~М) было ограниченно в Р для каждого М~Я.
8. Если Е и Р отделимы и м — множество всех полных уравновешенных ограниченных выпуклых подмножеств пространства Е. то 356 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ каждое множество из Е(Е, Р), ограниченное в топологии простой сходимости, ограниченно и в 6-топологии (гл. 111, 9 3, теорема 1). 9. Если Е квазиполно или бочечно, а Я покрывает Е, то ограниченные множества в Еа(Е, Р) †од и те же для всех С-топологий (гл. !П, Э 3, следствие 1 теоремы 1 и теорема 2). Раеиостеиеиио непрерывные множества и Е(Е, Р) 10. Пусть Н вЂ” множество в Е(Е, Р).
Следующие свойства равносильны: а) Н равностепенно непрерывно з точке 0 пространства Е. б) Н равностепенно непрерывно в каждой точке пространства Е. в) Н равномерно равностепенно непрерывно на Е. г) Для каждой окрестности нуля У из Р существует окрестность нуля () в Е такая, что и(х)~У для всех х~(1 и и~Н. Условие б) означает, что Н разностепенно непрерывно на Е. 11. Предположим Р отделимым и пусть Н вЂ” равностепенно непрерывное множество в Е(Е, Р).
Тогда множество всех пределов отображений и ~ Н в топологии простой сходимости есть равностепенно непрерывное множество в Е (Е, Р) (гл. И1, 9 3, предложение 4). В Н совпадают следующие равномерные структуры: 1) простой сходимости на тотальном подмножестве пространства Е; 2) простой сходимости на Е; 3) равномерной сходимости на всех предкомпактных множествах из Е (гл.
111, 9 3, предложение 5). 12. Все равностепеино непрерывные множества в Е(Е, Р) ограниченны в каждой Я-топологии. Обратно, если Е бочечно и Я покрывает Е, то каждое множество в Е(Е, Р), ограниченное в Я-топологии, равностепенно непрерывно. Если, кроме того, Р отделимо и фильтр Ф в Е(Е, Р), ограниченный или обладающий счетным базисом, просто сходится к отображению ие пространства Е в Р, то ие есть непрерывное линейное отображение и Ф сходится к ие равномерно на каждом предкомпактном множестве из Е (теорема Банаха — Штейнгауза; гл. !П, 9 3, теорема 2).
13. Предположим, что Р отделимо и квазнполпо, а С покрывает Е. Тогда каждое равностепенно непрерывное множество из Е (Е, Р), замкнутое в С-топологии, полно в этой С-топологии (гл. В1, 9 3, теорема 4). 14. Для того чтобы равностепенно непрерывное множество Н в Е(Е, Р) было относительно компактным в топологии простой схо. а а. двонственность 357 димости, необходимо и достаточно, чтобы множество точек и(х) (и~гт) было относительно компактно в Р для каждого х~Е (гл.
П1, $ 3, следствие предложения 4). % 6. Двойственность Векторные иространсгнва в двойсгнвенностн 1. Пусть  — билинейная форма на произведении векторных про« странстз Р и О. Мы говорим, что В ириводит Р и О в двойственность, если выполнены следующие два условию (Рг) Для каждого х ~ О из Р существует у~О такое, что В (х, у) Ф О. (Рп) Для каждого у Ф О из 0 существует х~-Р такое, что В(х, у) ж О. Относя каждому элементу у~-0 линейную форму х-+ В(х, у) на Р, мы получаем нзоморфизм пространства О в алгебраи:еское сопряженное Р* к Р; если отождествить 0 с его образом при этом нзоморфизме, то форма В(х, у) отождествится с канонической билинейной формой (х, у).
Таким же образом Р может быть отождествлено с некоторым подпространством пространства 0*. 2. Топология простой сходимости на 0 определяет в Р (рассматриваемом как часть 0') топологию, обозначаемую в(Р, О) и называемую слабой топологиед, определяемой заданной двойственностью. Эта топология локально выпукла и отделима; опа определяется семейством полунорм х -+ 1(х, у)(, где у пробегает 0; это †слабейшая из топологий, при которых непрерывны все линейные формы х -+ (х, у) (у~ О). Обратно, каждая линейная форма на Р, непрерывная в топологии а(Р, О), имеет зил х -ь (х, у), где у~ О. Таким образом, топологическое сопряженное к Р (множество всех непрерывных линейных форм на Р, наделенном топологией в(Р, О)) отожлестзимо с О. Поменяв ролями Р и О, определим топологию в(0, Р) в 0; сопряженное к О (надетенному топологией в(0, Р)) отождествнмо с Р.
3. Обратно, пусть Š— топологическое векторное пространство с отделимой локально выпуклой топологией У и Е' — топологическое сопряженное к Е. Каноническая билинейная форма (х,х') приводит Е и РУ в двойственность (гл. 11, й 5, следствие 2 теоремы 1); со- 358 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ответствующая топология е(Е, Е') мажорируется топологией й и называется ослабленной тололзгиеи, ассоциированной с й; топология а(Е', Е) называется слабой топологией в Е'. Поляры. 4. Пусть е и 0 — векторные прострапстзз в двойственности. Полярой множества М~Р называется множество М' всех у~О таких, что Я(х, у) < 1 для каждого х~М.
)ь(ножество М' содержит О, выпукло и слабо замкнуто (т. е. Замкнуго в топологии е(0, е)). Если М уравновешенно, то М' уравновешенно и состоит из всех уЕО таких, что 1(х, у) ~ (1 для каждого х~М. Если М~М, то М'=где', и если М поглощает Ж, то Ж' поглощает М'. Поляра объ- единенияЦ М, любого семейства (М,) множеств из Е есть пересечение П М,; если все М, выпуклы, слабо замкнуты и содержат О, то поляра пересечения П М, есть замкнутая (в топологии е(0, е)) выпуклая оболочка объединения Ц М,. 5.
Пусть М~Г; М" обозначает поляру множества М'1 это— замкнутая (в топологии а(Г, 0)) выпуклая оболочка объединения множества М и точки О; М' = М'. Таким образом, полярность приводит во взаимно однозначное соответствие слабо замкнутые выпуклые множества из Г и О, содержащие начало. Для того чтобы множество М~Г было ограниченным в топологии е(Г, О), необходимо и достаточно, чтобы М' было бочкой в топологии е(0, е). Подирает эинства, йалнт прирост оан ство, произведения 6. Если М вЂ векторн подпрострапство в е, то его поляра М' есть слабо замкнутое векторное надпространство в О, назлваемое ортогональным к М; зто — множество всех у~О таких, что (х, у) = О для каждого х ~ М, М*' есть слабое замыкание векторного подпространства М.
7. Пусть М вЂ векторн подпространство в е. Билинейная форма (х,у) приводи~ в двойственность М и О/М'. а(М, О!М') есть топотогия, индуцируемая в М топологией з(е, О). Если М слабо замкнуто, то е(0!М', М) есть фактортопология топологии а(0, Г) по М' (гл. Ы, в 1, предложение 7). 359 а з. двопстввнность 8. Пусть ((Р„ О,)) — семейство пар векторных пространств 'ет (Р„ 0,), приведенных в двойственность билинейными формами В,(х„ у ).
Тогда прямая сумма Р пространств Р, и произведение О пространств О, приводятся в двойственность билинейной формой В ((х,), (у)) = ~ В,(х„ у,); топология е(0, Р) совпадает с произве- ~ЕХ дением топологий е(0„ Р,). Топологии, согласующиеся с двойственностью 9. Пусть Р и 0 — векторные пространства в двойственности.
Говорят, что отделимая локально выпуклая топология Х в Р согласуется с двойственностью между Р и О, если линейные формы на Р, непрерывные в топологии чТ, зто формы вида х-+(х, у), где у~О; то же можно выразить, сказав, что сопряженным к Р, наделенному топологией У, служит О, илн также что е(Р, О) есть ослабленная топология, ассоциированная с У.
1О. В Р ограниченные (соотв. замкнутые выпуклые) множества— одни и те же для всех топологий, согласующихся с двойственностью между Р и 0 (гл. 1Ч, $ 2, теорема 3 и предложение 4). 11. Для отделимой локально выпуклой топологии Х в Р следующие три свойства равносильны (теорема Макни; гл. Гт', 9 2, теорема 2): а) У согласуется с двойственностью между Р и О; б) Т мажорирует топологию а(Р, О) и мажорируется топологией е(Р, О) равномерной сходимости на всех слабо компактных уравновешенных выпуклых множествах из 0; У в) дГ есть топология равномерной сходимости на злементах некоторого покрытия пространства О, образованного слабо компактными уравновешенными выпуклыми множествами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
