Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 83
Текст из файла (страница 83)
16. Пусть Š— банаховское пространство и Е' — его сопряженное. Снабженное нормой !)х'(! = зпр ((х, х')), Е' есть банахов1х!!с1 ское пространство, топология которого является сильной топологией; иными словами, сильное сопряженное к банаховскому пространству есть банаховское прострзнство. Каждый замкнутый шар в Е' слабо компактен (гл.
1Ч, В 5, прея.- ложение 1). Лля того чтобы линейная форма г" на Е' была слабо непрерывной (и, значит, записывалась в виде !(х') = (х. х'), где х ~ Е), достаточно, чтобы было слабо непрерывно ее су кение на шар ~1х'!! < ! (гл. 1Ч, й 5, следствие 1 предложения 3). а 7. ОснОВные типы лОкАльнО ВыпУклых пРОстРАнстВ 365 17. Второе сопряженное Е" к банаховскому пространству Е, снабженное нормой 11х" 11 = аир 1(х", х') ', есть баиаховское про- 1!ж 1 к 7 страиство, причем каноническое отображение у пространства Е в Е" есть изометрия. Для того чтобы Е было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы шар 11х((~( 1 был компактен в ослабленной топологии а(Е, Е') (гл.
11/, ф 5, предложение 6). 18. Замкнутое подпространство М банаховского пространства Е и факторпространство Е/М являются банаховскими пространствами. Пусть М' — надпространство в Е', ортогональное к М. Каноническое отображение сопряженного к Е/М на М' есть изометрия; каноническое отображение М на Е'/М' есть изометрия. Если Е рефлексивно, то М и Е/М рефлексивны. 19. Пусть Е и Š— банаховские пространства; каково бы нн было непрерывное линейное отображение и пространства Е в Е, 117и11 = '11 и11 и 11 и 11 есть норма непрерывной билинейной формы (х, у') -+ (и (х), у') на ЕХЕ'. Гилвбернгово пространство 20. Пусть Е' — векторное пространство над телом вещественных илн телом комплексных чисел (обозначаемым далее К). Зрмитовой полуторалинейной формой на Е называется каждое отображение (х, у) -+ (х 1у) произведения Е )( Е в К удовлетворяющее следующим условиям; 1' (х1у) линейно по х и полулинейно по у; 2" (у ~ х) =(л ~у).
Если (х / х))~ О для Всех к~ Е, то форма (х1у) называется положительной; если при этом (х ! х) = 0 лишь при х = О, то она называется невы рожденной положительной. 21. Векторное пространство Е, наделенное положительной эрмитовой полуторалинейной формой (х 1у), называется предгильбертоаым пространством, а форма (х ~ у) — скалярным произведением векторов х и у.
11х11 = у'(х1х) есть полунорма, превращающая Е в локально выпуклое пространство. Скалярное произведение удовлетворяет неравенству Коши— Буняковского 1(х (У) ( (()х1) 11У11 и потому непрерывно на Е к, Е. 366 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ Для того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно чтобы (х(у) было невырожденной положительной формой; )~х)~ есть тогда норма, а Š— нормированное пространство. 22.
Полное отделимое предгильбертозо пространство называетсм гильбертовым пространством нли пространством Гильбврта. Пополнение отделимого предгильбертова пространства есть гильбертово пространство. Каждое замкнутое векторное надпространство гильбертова пространства есть гильбертово пространство. К, наделенное скалярным произведением (:~т1) = (я, если гильбертово пространство. Каждая внешняя гильбертова сумма гильбертовых пространств есть гильбертово пространство. В частности, для любого множества г пространство Ек()) всех семейств (":,) , для которых ~ )1,!'( + со, наделенное скалярным произведением ((1,) ~(ть)) = Х 1Л, 'Ег есть гильбертово пространство.
23. Пусть Š— гильбертово пространство и и„ для каждого у~ Е— линейная форма х -+ (х ~у). у -+ и„ есть изометрическое полулинейное отображение пространства Е на его сопряженное Е', поэтому гильбертово пространство можно отождествить с его сопряженным (гл. Ч.
9 1, теорема 3). Каждое гильбертово пространство Е есть рефлексивное баиаховское пространство. Единичный шар ()х)! ( 1 пространства Е слабо компактен. Для того чтобы фильтр Я в Е сильно сходился к хь. необходимо и достаточно, чтобы он слзбо сходился к хь и чтобы 11шз~~х~) = ~(хь(~ (гл. Ч, 9 1, предложение 9). 24. Пусть М вЂ” векторное подпространство гильбертова пространства Е и М' — ортозональное дополнение к М, т.
е. множество всех точек у~ Е таких, что (х~у)=0 для каждого х1-М. (М)'= М и (М')'= М; М' есть замкнутое векторное надпространство в Е. а Š— гильбертова сумма своих подпространстн М и М' (гл. Ч, 9 1. теорема 2). 25. Семейство (в,) злементов Вредгильбертова пространства Е называется ортонормальным, если (е, ~ е„) = ь,„(где ь,„— кроиекеровский символ); такое семейство топологически свободно.
Для каждого х~Е ~~.'~ / (х ! е,) ) ь ( ) ) х )~ ь 'Е (неравенство Бесселя). а т. ОснОвныв типы лОкАльнО ВыпУклых пРОстРАнстВ 367 Следующие свойства ортонормального семейства (е,) в отделимом предгильбертовом пространстве Е равносильны (гл. Ч, й 2, предложение 5): а) Семейство (е,) тотально. б) Лля каждого х ~ Е семейство ((х )е,)е,) суммируемо и имеет своей суммой х. в) Лля каждого х~Е имеет место равенство ~(х!)'=( (х! е),'. 'ет Ортонормальное семейство (е,), удовлетворяющее этим условиям, называется ортонормальным базисом пространства Е.
Если Š— гильбертово пространство, то условия а), б), в) равносильны условию г) Если (х(л,)= О для всех ~~Е то х = О. Отображение х — +((х~ е)), где (е) — ортонормальный базис гильбертова пространства Е, есть изоморфизм последнего на пространство Ей(7) 26. В каждом отделимом предгильбертовом пространстве счетного типа содержится счетный ортонормальный базис (гл. Ч, й 2, пред-. ложение 6). 27. В каждом гильбертовом пространстве существует ортонормальный базис, содержащий заданное ортонормальное семейство; каждое гильбертово пространство обладает поэтому хотя бы одним. ортонормальным базисом (гл. Ч, й 2, теорема 2). Любые два ортонормальных базиса в одном и том же гильбертовом пространстве Е равномощны (гл. Ч, й 2, предложение 7); их кардинальное число называется гильбертовой размерностью пространства Е.
Для того чтобы два гильбертовых пространства были изоморфны. необходимо н достаточно, чтобы они имели одинаковую гильбертову размерность. ПРИЛОЖЕНИЕ К СВОЛКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ :НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 1. Пусть Я». — пространство всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на К".
носитель которых содержится в компактном множестве К. Наделенное топологией равномерной сходи- мости каждой производной, .Ук есть монтелевское пространство Фр вше. 2. Обьединение 2' всех Як 1гле К пробегает множество всех компактных подмножеств пространства И"), наделенное индуктивным пределом топологий пространств Ял, есть строгий индуктивный предел пространств Фреше и монтелевское пространство. 3.
Сопряженное Я' к Я в пространство всех распределений на И", наделенное сильной топологией, есть монтелевское пространство. сопряженным к которому служит поэтому Я. 4. Пространство В всех бесконечно дифференцируемых комплексных функций на И", наделенное топологией компактной сходимости кажддй производной, есть монтелевское пространство Фреше. 5. Сопряженное $' к $ — пространство всех распределений на И" с компактным носителем, наделенное сильной топологией, есть мон- телевское пространство.
сопряженным к которому служит поэтому Е. б. Пространство Ю 1О) всех голоморфных функций в области а)~С", наделенное топологией компактной сходимости, есть монте- левское пространство Фреше. 7. Пусть Р— положительная мера на локально компактном пространстве Х; для каждого р такого, что 1 ( р ( + со, пространство са(Х, Р), снабженное нормой (ф(, — банаховское. Если 1 ( р ( ( + со, то сопряженное к ьв1Х, р) канонически изоморфно про- 1 1 странству з.~ (Х. Р), где — + — = 1.
В частности, если 1 ( р (+ со, Р й то 1.я(Х, Р) рефлексивно; Ь~ 1Х, р) есть гильбертово пространство. СЛОВАРЬ ВВЕДЕНИЕ Жирными прописными буквами набраны термины, определенные в этой книге; каждый из них сопровождается ссылкой на главу, параграф и пункт, где он введен. Остальные слова представляют собой либо перевод терминов, определенных в этой книге, на язык другой терминологии (французской или иностранной), либо термины, означающие понятия, тесно связанные с изучаемыми в книге, но не рассматриваемые в основном тексте. Немецкие и английские термины.
весьма близкие по написанию с французскими, имеющими тот же смысл, опущены. Тире заменяет повторение рассматриваемого термина. Наименование, состоящее иа нескольких слов, приводится вообще лишь на первую букву одного из них (например, „езрасе !оса1ешеп! сопчехе" — на букву Ь, но не на буквы Е и С). (В) означает ссылку на книгу 8. В а п а с й, Тйеог!е дез орйга!!опа 1!пйа!гез (ЪНагзачга, 1932) ").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
