Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 87
Текст из файла (страница 87)
вект. лростр., гл. И, $2); эта топология согласуется со структурой упорядоченного векторного пространства в Я'(Е). Показать, что топология, индуцируемая в каждом из подпространств Я (Е, К) сильной топологией пространства Д.(Е), совпадает с топологией равномерной сходимости на К; вывести отсюда, что каждое подпространство Яй'(Е, К) сильно замкнуто в зп,(Е). б) Показать, что для того чтобы линейное отображение пространства ()у'(Е) в локально выпуклое пространство Р было непрерывным в сильной топологии, необходимо и достаточно, чтобы его сужение на каждое из подпространств ЛВ(Е, К) было непрерывно в топологии равномерной сходимости на К. В частности, меры на Есовпадают с сильно непрерывными линейными формами. Точно так же для того, чтобы множество Н линейных отображений й(:(Е) в Рбыло равностепенно непрерывным (при наделении Я'(Е) сильной топологией), необходимо и достаточно, чтобы каково бы ии было компактное множество Кс:Е, множество сужений отображений из Н на Я (Е, К) было равностелеиио непрерывно (в топологии равномерной сходимости иа К).
в) Вывести из б), что каждое ограниченное подмножество Н пространства й(Е) мер на Е***) равностепенно непрерывно при наделении Я Щ сильной топологией. *) Всех непрерывных числовых функций с компактным носителем иа Е. — Прим. перев. **) Образованных теми функциями цз зле (Е), носитель которых содержится в К.
— Прим, перев. чч*) Наделенного топологией простой сходимости на ®(Е). — Прим. перев. 384 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ь2) Пусть Š— локально компактное пространство, счетное в бесконечности (Общ. топ., гл. 1, в 1О, и' 11), а) Длв каждой непрерывной чнслоной функции й на Е такой, что (т(х))0 во всех точках х б Е, обозначим через )г(й) множество всех функций Усмь (Е), удовлетворяющих условию ~у) ((ь Показать„что множества Ьг(л) образуют фундаментальную систему окрестностей нули для сильной топологии в Ой'(Е).
Вывести отсюда, что если Е не компактно, то сильная топология в Я'(Е) сильнее топологии равномерной сходимости на Е. б) Показать, что каждое сильно ограниченное подмножество пространства Я'(Е) содержится в подпространстве.Я';(Е, К), определяемом надлежаще ныбранным компактным множеством Кс- Е. в) Показать, что пространство зц,(Е) в сильной топологии полно. *3) Пусть Еэ — несчетное впояне упорядоченное множество, обладающее наибольшим элементом Ь и такое, что для каждого х 'Ь множество элементов < х счетно. Наделим Ед топологией Е' (Еь) (зл) в которой Еа компактно (Общ. топ., гл. 1, 5 1О, упражнение 12); пусть Š— локально компактное пространство, получающееся из Еа удалением точки Ь.
Показать, что сильная топологии н Щ'(Е) совпадает с топологией равномерной сходнмости на Е и что ЯЬ'(Е), наделенное втой топологией, полно. Вывести отсюда, что в Щ'(Е) существуют сильно ограниченные множестна, не содержащиеся в подпространстве 01;(Е, К) ни при каком компактном К~Е.' ('о) К стр. 90: .8) а) Пусть (ув) — последовательность возрастающих непрерывных функций, принадяежащих ащ (гу, (1) *) и таких, что ув ((уп+т ав) для каждого ч.
Показать, что существует возрастающая непрерывная функция у; принадлежащая сга (5, )1) и такая, что Д,((у дяя всех и. б) Пусть (уи) — посяедовательность возрастающих непрерывных функций, принадлежащих ж((т, й) и таких, что 1С(уи,-~((Уи для каждого п. Показать, что существует возрастающая непрерывная фУнкциЯУ" пРинадлежащаЯ сУР (5, М) и такаЯ, что 1((УмКУ„длн всех и. в) Пусть (уи), (Ея) — две последовательности возрастающих непрерывных функций, принадлежащих уу(5, й) и таких, чтоуя((Ув+т Ую»й~+т н Уп(<8т для любых номеров щ и п.
Показать, что существует возрастающая непрерывная функция й, принадлежащая Ж(5, )1) и такаЯ, что Уя<<й<<дю, каковы бы нн были Яг и п. э) у6'(5, )() — множество всех вещественных функций, каждая из которых определена иа некотором множестве из базиса фильтра П в )(,образованного всевозможными интервалами вида (ха, +с4. — Прим. перев.
ча) Т. е. для каждого т)0 существует х,.такое,. что у„(1)~(яуя+т(() дкя всех 1 > х,. — Прим. перев. 385 ПРИЛОЖЕНИЯ 1 В частности, показатьь что существует убывающая непрерывная функция ! принадяежащая дУ (еь 11) и такая, что никакой логарифмический признак не позволяет установить, сходится ли интеграл + О у(г)й! или нет (.теоремы )(юбуа-Реймоиа"). а (м) К стр. 92: .*2) ))екоммутативная группа (в мультиплнкативной записи) 0 называется также совершенно упорядоченной группой, если она совершенно упорядочена отношением порядка х (у таким, что х(у влечет хг ( ух и хх (ху для нсех г б О. Показать, что топология э'ь(0) в 0 (Общ.
топ., гл. 1, 5 1, упражнение 3 (а») ) согласуется со структурой группы. В каком случае также топологии й' (О) и й (О) (см. там же) согласуются со структурой группы в 0»" ('а) К стр. 116: „Предложение 2. Пусть !» (1 (! (р)р выпуклых функций на интервале ус=К и с» (1 (1(р) — произвольные р чисел) О; р функиия !'= ~~с;А выпукла на !. Если при этом )! хотя бы для » ! одного ! строго выпукла на ! и с! ) О, то!" строго выпукла на !." .Предложение 3, Пусть (!) — семейство выпуклых функций на интервале )~Ч; если верхняя огибающая Е этого семейства конечна в каждой точке интервала ), то она выпукла на !." „Предложение 4. Пусть Н вЂ” мкожество выпуклых функций на интервале у»=К; если фильтр б в Н просто сходшпся на ! к конечной числовой функции)ь, то последняя выпукла на !." (") К стр, 122: „О пределе н не 1.
Пусть !', я — две числовые фуккции, принадлежащие сУЕ(б, К)*) и ) О на некотором множестве из б. Мы говорим, что ! доминируется функцией хг (по базису фильтра $), и пишем ~(Е, если существуют множество Х~Я и число й) О такие, что ((!) (йй(!) для всех г~Х." ('») К стр. 129 и 386: ,чу) а) Пусть Š— равномерное пространство; сопоставим каждому окружению )г подмножество (г произнедения Р (е) )( ю (Е), обра- ) чтй(5, й) — множество всех нещественных функций, каждая нз которых определена иа некотором множестве нз базиса фильтра 5, заданного в рассматриваемом множестве Е.
— Прим. перев. 386 ПРИЛОЖЕНИЯ 1 зованное всеми парами (Х, г') множеств из Е такимн, что одновременно Хс- )г(г') н 'г'с- )г(Х) *). Показать, что множества )г образуют фундаментальную систему окружений некоторой Равномерной структуры в ф (Е). б) Пусть 5(Е) — равномерное подпрострапство в ~(Е), образованное всеми замкнутымн множествами из Е.
Показать, что 5(Е) изоморфио отделимому раниомерному пространству, ассоциированному с равномерным пространством чз (Е). ('ь) К стр. 129: .«4) Пусть 5 (Е) — множество всех замкнутых подмножеств равномерного пространства Е, наделенное равномерной структурой, определенной в упражнении 7 й 2 (ы).
Показать, что если Е пред- компактно, то и 5 (Е) предкомпактпо. еб) Показать, что если Е компактно, то пространство 5 (Е) полно (и, следоэательно, по упражнению 4, компактно)." (") К стр. 138: .'*П) а) Пусть А н  — даа вполне упорядоченных множества нз )1 (необходимо счетных; см. Общ. топ., гл. 1Ч, $2, упр.
1 (ыь) ). Показать, что А+В вполне упорядоченно и что для каждого сбА+В существует лишь конечное число пар (а, Ь) таких, что абА ЬбВ н с=а+Ь. б) Пусть К вЂ” произвольное коммутативное тело. Рассмотрим векторное подпространство Е векторного пространства Кп, образоеанное элементами (а ) такими, что множество тех хб)й, длл котоРых «ичьб. вполне упорядоченно.
Для любых двух элементов («), (Ь ) нз Е положим («, ) (ри) = (Т,), где Т.= ~~~', «яй«(сумма имеет смысл а силу а)). эе«-и Показать, что этот закон композиции а соединении со сложением определяет в Е структуру тела; элементы этого тела обозначаются также ~ч~', «гХг и называютсЯ фоРмальнами РЯдами с вполне УпоРЯ- саад доченными показателями н коэффициентами нз К.," (гв«) .Точка ай)с называется левой точной прикосновения для множества А ~ )с, если она является его точкой прикосновения и существует интервал )а, Ь( (Ь)а), нс содержащий нн одной точки из А. Показать, что множество всех левых точек прикосновения всякого множества из )с счетно.
Вывести отсюда, что 1'всякое вполне ") К(Х) — множество тех у Р Е, для которых сущестеует хбХ такое, что (х, у) б )г. — Прим. перев. 387 пвиложвнип 1 упорядоченное инонсество в К счетно; 2' всякое множество в ~, со- стоящее из одних изолированных точек, счетно.' (") К стр. 144: „Предложение 1. Для того чтобы числовая функция ) на топологичвском пространстве Е была полунвпрврывна снизу, необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного й мно- -1 жество У(]я, +со]) (тех х ЕЕ.
для которых /(х) > й) было — 1 открыто в Е (или, что то жс, чтобы 7(] — ОО, я]) было замкнутым множеством в Е)." ('з) К стр. 160 (Общ. топ., Рез., $ б, и' 7): „Топологическое пространство Е называют нормальным, если оио отделимо и удовлетворяет одной из следующих четырех равносильных аксиом (теоремы У р ы с о на, гл. 1Х, й 4, теоремы 1 и 2): (От) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнугпые множества АсЕ и ВтЕ, существует непрерывное отображение Е в ]О, 1], равное О на А и ! на В. 1 ) / с От) Каковы бы ни были непересекающиеся замккутые множества А~Е и Вс=Е, существуют непересекающиеся открытые множества (У и У такие, что А ~ У и В с= У. (0„) Каковы бы ни были замкнутое множество А~Е и вго окрестность У, существует окрестность %' множества А такая, что В~У.
(От) Каковы бы ни были замкнутое множество Ас=Е и определенная на нем непрерывная числовая функция 7, на Е существует непрерывная числовая фуккция и, продолжающая с'.' ('в) К стр. 188: „Предложение 3. Пусть Н вЂ” равноствпенно непрерывное множество в ~(Е, Р) *) и А — всюду плотное подмножество пространства Е. В множестве 77 равномерная структура простой сходимости на А и равномерная структура простой сходимости на Е совпадают. Достаточно показать, что каковы бы ни были конечное множество Вс=Е и симметричное окружение У для Р, существуют конеч- ь) 6(Е, Р) — множество всех непрерывных отображений топологического пространства Е в равномерное пространство Р.— Прим.
перев. 388 ПРИЛОЖЕНИЯ ! ное множество В'с=А и окружение У' для Р' такие, что след на НХН окружения ьУ(В, У)*) содержит след окружения зт'(В', У'). Примем за У' симметричное окружение для Р такое, что У'с=У; каждая точка х,~В (1 <(<и) обладает такой окрестностью Уо что (и(х«), и(у))~У' для всех и~Н и у~УЕ пусть уз — какая- нибудь точка из ()!ПА и В' — 'конечное подмножество множества А, образованное точками уо Если и и о — две функции из Н такие, что з (и(у ), о(ут) ) ~ У' (1 < ( < п), то (и (хт), о(хз) ) ~ У' г=. У (1 <1 < и).
и предложение доказано." (зз) К стр. 169: „Предложение 9. Пусть Š— локально компактное пространство, Е' — топологическое пространство, Р— отделимое топологическое пространство и 7 — отображение Е Х Е' в Для каждого у~Е' обозначим через )и частичное отображение х — +7(х, у) пространства Е в Р. Для того чтобы з было непрерывным на Е)( Е', необходимо и достаточно, чтобы отображение /е было непрерывно для каждого уЕ Е' и отображение у- 7,„ пространства Е' в С(Е, Р), наделенное топологией компактной сходимости, было непрерывно." (зз) К стр.
170ч „8) Пусть (Ев) — бесконечная последовательность метризуемых равномерных пространств. Показать, что равномерное пространство Е=ИЕь метризуемо...' и-« (") К стр. 176: „П р е а л о ж е н и е 4. Пусть Ь вЂ” множество подмножеств множества Е такое, что каждый элемент последнего принадлежит по крайней мере одному множеству из Я. Для того чтобы фильтр Ф в пространстве 3 е(Е Р) **) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он был фильтром Коши (для структуры Юаьз)) и просто сходился на Е. *) )У(В, У) — множество всех пар (и, о) отображений Е в Р таких, что (и(х), о(х) ) б У каково бы ни было хс В. — Прим. перев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
