Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 90
Текст из файла (страница 90)
(()Н1) Каково бы ни было (г с П, существует (р б П такое, что Чуь Нас: Ь'. Равномерная структура, определяемая семейством отклонений: равномерная структура на множестве Е, фундаментальную систему окружений которой образуют множества ) (х, у) бЕХ Е: э;а(х, у)с, а1, (1 ~<й~(л) ), где (у) сг — заданное семейство отклокаяий иа Е, (!а), а з < „— произвольные конечные семейства иилексов из ! и (ак),< а -„— произвольные конечные семейства чисел ) О. Равномерная структура, определяемая семейством, образованным одним расстояяием, называется м е т ризу е ной раз номерной с тру кт у рой.
Равномерная структура, порождаемая топологией адднтивной топологической группы бй равномерная структура в сг, фундаментальную систему окружений которой образуют множества всех пар (х, у) таких, что х — у а (г, где )г — любые окрестности нуля. Равномерное пространство: множество, наделенное равномерной стру!!- турий и топологией, порождаемой втой равномерной структурой. Равномерно непрерывное отображение: отображение у равномерно!о иростраястэа Е в равномерное пространство Е', удовлетворяющее следующему условию: каково бы ии было окружение (" для Е', существует окружение У длв Е такое, что если (х, у) а (г, то (У(х), У(у)) б ~". ПРИЛОЖЕНИЕ П1 399 Разбяение единицы: семейство (У),(е конечных числовых функций на топологическом пространстве Е, удовлетворяющее следующим двум требованиям: а) кажлая точка хбЕ обладает окрестностью, на которой отлично от нуля лишь конечное число функций семейства; б) ~ у', (х)=1 ст для каждой точки хбЕ.
Ранг подгруппы группы (сп: размерность порождаемого ею надпространства. Расстояние: отклонение й на множестве Е, принимающее лишь конечные значения и такое, что й (х, у) = 0 влечет х = у. Расширенная прямая Рс множество, полученное путем присоединения к й злементов — со и + со, с естественно распространенными на него порядком и топологией. Свободное семейство злементов векторного пространства: каждое конечное подсемейство которого линейно независимо.
Свободный модуль: модуль с базисом. Сечение множества Е, фильтрующегося вправо по отношению порядка (а), относительно злемента а Р Е: множество всех х б Е таких, что а (е) х. Симметричное окружение: окружение У равномерной структуры в множестве Е, удовлетворяющее условию У= Р" (т.
е. симметричное отиоситетьно диагонали Ь произведения Е у( Е). След множества Хс: Е иа множестве А с-Е: множество Хл — — Х ()А, рассматриваемое как подмножество множества А. След множества 3 подмножеств множества Е на множестве А ~ Е: множество бл следов множеств из Д на А. Совершенно уп орядоченное множество: упорядоченное мнохсеетво, любые два злемента х, у которого связаны отношением х <у или у4х Сравнение равномерных структур ггт и ит в одном и том же множестве: г~т м аж о р нр уе т ггг, если фильтр окружений структуры йт содержится в фильтре окружений структуры ггт; ггт си льи ее чем ггт (к ггт слабее чем ггт), если ит мажорирует ит и ггт+гет. Сравнение топологий 31 н зг, заданных в одном и том же множестве: 3'т и а ж о р и р у ет 31, если каждое множество, открытое в 3'1, открыто в 3'т; 3'т сильнее чем 31 (и 3'1 слабее чем за), если 3'з мажорирует 3'1 и 3 з+3'г.
Сравнимые равномерные структуры: две равномерные структуры в одном и том же множестве, одна из которых мажорирует лругую (см. Сравнение равномерных структур), Сравнимые топологии: две топологии в одном и том же множестве, одна нз которых мажорирует другую (см. Сравнение топологий). Срез множества Кс: ЕХ р по злементу хе Е: множество тех убей, дла которых (х, у) е К. Структура см.
Н. Б у р б а к и, Общая топология, Основные структуры. Приложение (Сводка результатов книги 1,Теория множеств', 9 8) 400 ПРИЛОЖЕНИЕ Н! Суммируемое семейство с суммой з: семейство (х,),(! точек коммутативной отделимой топологической группы, обладающее следующим свойством: для любой окрестности )г начала существует конечное множество уес-1 такое, что зй — — лг'х,сз+(г для всех конечных 'сх множеств 1~ ус из 1. Сходнмость по фильтру: си. Предел функции яо фильтру.
Сходящийся фильтр: см. Предел фильтра. Счетное множество: равномощное части множества М всех целых чисел) О. Сюръвктнвное отображение: отображение на. Теорема Бара! Полное метрическое пространство есть бэровское простраястло. Теорема ((ирна: Всякое икдуктилное множество обладает по крайней мере одним максимальным элементом. Топология компактной сходнмости: топология ралкомеркой сходи- мости на множестве всех компактяых подмножеств.
Топология, порождаемая равномерной структурой в множестве Е: топология, в которой фильтром окрестностей произвольной точки хеР Е слУжит совокУпность иножеств )г(хе), где У пРобегает фильтр окружений данной равномерной структуры, а )г(хе) есть множество всех х Р Е таких, что х и ха близки поРЯдка (г. Топология простой сходимости: топология равномерной сходимости на множестве всех конечных подмножеств. Топология равномерной сходнмости на множестве Е: топология равнолгеряой сходимости на множестве подмножеств гВ с: !Б (Е), состоящем из одного Е.
Топология равномерной сходнмостн на множестве подмножеств ю с= !Б (Е); топология, порождаемая равномерной структурой в пространстве 2 (Е, Р) отображений множества Е в равномерное простраясямо Р, фундаментальную систему окружений которой образуют множества ((и, о) бЯ(Е, Р)ХВ(Е, Р): (и(х), о(х)) б !" для всех хсА), где А пробегает гВ, а У вЂ” фильтр окружений для пространства Р. Точка прикосновения базиса фильтра в топологическом пространстве: точка прикосновения каждого иножества из базиса фильтра.
Ультрафильтр: фильтр, не содержащийся ни в каком другом фильтре, заданном в том жс множестве. Унитарный А-модул!и модуль Е над кольцом А с единицей г, такой, что гх = х для всех х б Е. Упорядоченное множество: множество, наделенное отношением порядка, Факторйространство тоцологического пространства Е по отяошеяию эквивалентности Е! множество Е/Е, наделенное фактортопологией. Факторравмерность векторного подпространства )г векторного пространства Е: 'размерность факторпространства Е~(г. 40! ПРИЛОЖЕНИЕ П! Фактортопология в нножестве Е/й классоа эквивалентности по отношению зкзизалентности Р в мьюжестве Е: сильнейшая нз топологий (см.
Сравнение топологий), при которых каноническое отображение Е на Е/й (относящее каждой точке нз Е ее класс зквнвалентности в ЕЯ) непрерывно. Фильтр в множестве Е: множество 5 подмножеств множества Е, удовлетворяющее следующим аксиомам: (Р!) Всякое подмножество множества Е, содержащее множество из 5, принадлежит 5.
(Р!!) Пересечение любого конечного числа множеств из 5 принадлежит 5. (Р!и) Пустое подмножество множества Е не принадлежит 5. Фильтр Коши в равномерном пространстве Е: фильтр 5, содержащий сколь угодно малые множества, т. е. такой, что для любого окружения К существует А б5, всякие две точки которого близки порядка (г. Фильтр окружений равномерной структуры: см. Равномерная структура. Фильтр, порождаемый базисом фильтра 9' в множестве Е: множество всех подмножеств, множества Е, в каждом из которых содержится множество из базиса фильтра З.
Фильтр сечений нножестаа Е, фильтрующегося вправо по отношению порядка (ь): фильтр, порождаемый базисом фильтра (Б, образованным всевозмоаснымн сечениями множества Е. Фильтрующееся вправо (влево) множестве Е: упорядоченное множество, каждое непустое конечное подмножество которого имеет в Е верхнюю (нижнюю) границу. Фумдаментальная система окружений: базис фильтра окружений данной равномерной структуры. Элементарное множество в произведении И Р, топологнческнх про- странств Рй множество вида ИА„где каждое А — открытое под- множество пространства Р, и А,=Р, для всех индексов ч кроме конечного их числа. Элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью (ха) злементов множества Е: множество всех множеств Х~ Е таких, что х„ сХ для всех значений и, кроме конечного их числа.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ $11, ПхР я,,я,ум(Ю у.' т,ют, ~'я ............. т (М, У), т(М, У) Е (Е, Р), г.о (Е, Р) (ńР— топологические векторные пространства, Ж вЂ” множество ограниченных подмножеств пространства Е) . и. и (у, г) е (Р, б) (Р, б — векторные пространства в двойственности) М', л('ь т(Р, б) (Р, б — векторные пространства в двойственности) Е'(Š— отделимое локально выпуклое пространство), .
В" (Š— отделимое локально выпуклое пространство) . ти (и — непрерывное линейное отображение) (х)у) Щ Е„Ет Щ Ет Щ... Щ Е„(Е„Е; (1~ ! ~ и) — гильбертовы ироеу страиства) . йж(!) . Гл. ф пь ! 1 2 1 2 ЕЛ 3 1П 3 1 П! 4 1 !Ч 1 1 !Ч 1 2 !Ч 1 3 !Ч 2 3 1Ч 2 1 !Ч 3 3 1Ч 4 1 Ч 1 3 Ч 2 1 Ч 2 4 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ ь) Гл. $ и' Гл. й п' Билинейное отображение — — ш-гипонепрерывное П! 4 2 Р 2 !О Бочка ! 1 6 !Ч! 1 Рб 1 П 1 4 Р 418 Ч 2 3 Ч2 3 Р 725 Вершина конуса . Банаха теоремы Ч 2 1 Р 318 !Ч3 3 Р 615 1Ч2 1 Р 6 1 П!4 1 Р 2 9 — фуяция ь) „Р' означает ссылку на „Сводку Результатов'. Алгебраический балис пред- гильбертова пространства Алгебраическое'дополнение надпространства . — сопряженное Ассоциированная невырожденная врмитова форма Ассоциированное огпделимое топологическое век-, торное пространство .
Базис алгебраический прелгнльбертова пространства — ортонормальны й Базисное топологическое векторное пространство Банаховское пространство бесселя неравенство Билинейная форма, приводящая векторные пространства в двойскшенность . Билинейное отображение раздельно непрерывное Ч2 3 ! 1 8 !Ч1 1 Ч 1 1 ! 1 1 Р 1 1 13 3 !Ч2 5 !Ч2 6 ! 1 5 Р 7 14 Ч2 3 Р 7 25 — — (9, а.)-гипонепре- рывное Бочечное пространство . Векторные пространства в двойственности . Вещественная линейная форма Вещественное линейное многообразие . — локально выпуклое пространспшо .
— топологическое векторное пространство . Внешняя гильбертова сум- ма Второе сопряженное . Выпуклая оболочка множества . Выпуклое множество . !П4 2 Р 211 П!1 1 Р7 1 !П1 1 Р 7 2 Пб 1 П 6 1 П 2 1 Р 1 1 П 1 3 Р 4 4 П5 1 Р 416 П 1 1 Пб 2 Р 4 1 404 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ И 3 2 Р 4 3 И 1 4 Р 4 18 — — внешняя И 3 2 Р 410 Ж-гипонепрерывное билинейное отображение ., !И 4 2 Р 2 1О И!4 2 Р 211 Р 2 7 Гомоморфизм ! 1 3 Ч! 3 Иб 2 Выпуклое тело, Выступающий конус . Гильбертова размерность — сумма подпростраиств Гильбертово пространство Гиперплоскость опорная множества (Ж, 'и,!-гиионепрерывное би- линейное отображение Диск........ Дополнение алгебраическое — ортогональное .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
