Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 88
Текст из файла (страница 88)
ьз)«Го (Е, Р) — равномерное пространство, полученное путем наделения множества,р (Е, Р) всевозможных отображений множества Е в равномерное пространство Р структурой на равномерной сходимости на множествах 389 пвиложинии г Необходимость этих условий очевидна (поскольку структура Уз ч) жажорируется структурой гг'и). Обратно, предположим, что Ф есть фильтр Коши для уг'е и просто сходится к некоторой функции ие; пусть (г — замкнутое окружение для Р; для каждого множества А Е Ж существует множество НЕ Ф такое, что (и (х), о (х) ) ~ 1г каковы бы ни были и и о из Н и х из А.
Для произвольной точки хЕА имеем также (ие(х), о(х))Е(г для каждого оЕ Н, поскольку ие(х) есть предел и(х) по фильтру Ф, а 1' замкнуто; тем самым ие есть предел Ф в пространстве чУ -« " (") К сгр. 183: „Т е о р е м а 2. Пусть Š— бэроеское пространство и (у„)— семейство полунепрерывнах снизу числовых функций на Е, причем впрУ,(х) конечен для каждой точки х~Е.
Тогда каждое непустое открытое множество содержит непустое открытое подмножество, на котором семейство (),) равномерно ограниченно." (г") К стр. 208 и 228: ,ч9) Показать, что всякий фильтр $ есть пересечение мажорирующих его ультрафильтров." (г') К стр. 211. „Пусть Π— произвольная (замкнутая или незамкнутая) подгруппа труппы )чя. Рассмотрим множество О* всех точек и=(и,)~йя, для которых число (и, х) = ~~Р~ и,х, является целым, какова бы ни бала г-1 точка х=(хг)~О. Ясно, что О' — подгруппа группы (чя... П ред ложен не 6. Для каждой подгруппы О группы Кя имеем (О*)" = О." (гч) К стр. 211: „Т е о р е м а 2.
Пусть Π— замкнутая подгруппа ранга г (О ( г ( п) группы 1чв. Сугцестеует наибольшее векторное под- из Ж (т. е. равномерной структурой, фундаментальную систему окружений которой образуют множества йг(А, )г) (см. предыдущую сноску), где А пробегает всевозможные конечные объединения множеств из1Ь, а К вЂ” фильтр окружений для Р). — Прям. перев. ч) равномерная структура простой сходимости иа Е в р (Е, Р), т. е.
равномерная структура пространства,У'и(Е, Р), где а — множество всех конечных подмножеств множества Е.— Прим. перев. 590 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 пространство )г, содерзкап(ееся в О; для всякого векторного подпространства %', дополнительного к )г, Ф'() О диснретно и О есть прямая сумма )' и %'ДО." ,*7) Пусть Π— заикнутая подгруппа группы яя. для того чтобы О была прямой суммой своей замкнутой подгруппы Н и некоторой другой замкнутой подгруппы К, необходиио и достаточно, чтобы Н была пересечением О с некоторым векторным подпрогтранством." (") К стр.
21 1: ,"1О) Пусть А — кольцо главных идеалоа, обладающее бесконечным множестаом максимальных идеалов. Показать, что каково бы нк было бесконечное множество у, А-модуль А не яеляется свободным модулем." ('з) К стр. 245 и 273г ,*15) Пусть А — замкнутое, а  — компактное множество в топологической группе О.
Показать, что АВ и ВА замкнуты в О. ('з) К стр. 250: ,*2) Показать, что для того, чтобы отделимое равномерное простраистао было предкомпактио, достаточно, чтобы всякая последовательность его точек имела предельную точку.* ('е) К стр. 251: .12) Пусть (Р,) — бесконечное семейство отделимых топологибг ческих прострвнста, ни одно из которых пе сводится к одной точке, и а„б, для каждого ~С! — две различные точки из Р,. а) Обозначим через с„для каждого я с! точку пространства Е = И Р„ координата которой с индексом я равна 6„, а коорбг дииаты с индексамн 1~» равны а,.
Показать, что все с„являются изолированными точками образозаиного ими множества С. б) Вывести из а), что для того, чтобы топология а Е имела счетный базис, необходимо н достаточно, чтобы ! было счетно и каждое из пространств Р, имело счетный базис." (з') К стр. 296 и 299: „"10) Пусть Е= Р()г) н Е'=Р(Ь") — два проективных пространства одинаковой конечной размерности и > 2 над телами К и К' соответственно *) и и — взаимно однозначное отображение Е на Е', пре- *) Р (К) — факторпростраистзо дополнения Ъ™ к (О) в векторном пространстве 1' над К по отношению эквивалентности ,в К существует 1~0 такое, что у = Хх между злементами х, у Р )г*, — Прин.
перев. 391 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 образующее любую прямолинейную тройку точек в прямолинейную тройку точек. Показать, что существуют изоморфизм е тела Х на Хг и полулинейное (относительно е) взаимно однозначное отображение о пространства У на У' такие, что и есть отображение, получающееся из и при факторизациях*) .. Л (") К стр. 312: ,Пусть Х и Л" — дее матрицы из п строк и р ~п столбцов над кольцом А. Для каждого множества Нс=(1, «1, состоящего з из р элеменлтое, обозначим через Хя (соотв. Хн) минор матрицы Х (соотв. Л"), имеющийНмножестеом номеров своих строк (и 11, р1— множеством номеров столбцов). Тогда бе1(( Х) Х ) = ~ ХЛХи, (9) где Н пробегает множество всех подмножеств по р элементов из [1, п1." ('з) К стр.
317: ,8) Показать, что не существует непрерывного отображения,~' круга Вз иа 8т, которое бы совпадало на 8т с тождественным отобраткением.' ('") К стр. 383 н 384: определение топологий зта, Я' и Я'+ (Общ. топ., гл. 1, $1, упражнение 3). .3) Пусть Š— соеергиенно упорядоченное множество и пусть 1ь 8а(х) — множество всех множеств из Е, содержащих каждое какой-нибудь открытый интервал, которому принадлежит х; 2' 5 (х) — множество всех множеств из, Е, содержащих каждое полуоткрытый интервал вида )г, х) (г .
х) или 1+-, х); 3' 3+ (х) — множество всех множеств из Е, содержащих каждое полуоткрытый интервал вида (х, у( (у) х) или (х, -ь(. Показать, что Зе(х), 5 (х) и 5+ (х) — множества всех окрестностей точки х соответственно для трех топологий В а(х), и (х) и сг+ (х) в Е ... *) Переводящих У в Р(У) и Ъ"" в Р(1") (см. предыдущую сноску).— Прим. иерее. ПРИЛОЖЕНИЕ П ОБЪЯСНЕНИЕ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ЗАИМСТВОВАННЫХ ИЗ з(РУГИХ КНИГ „ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИКИ" Н. БУРБАКИ и — пустое множество. ь — СИМВОЛ КОМПОЗИЦИИ (ОтабражЕНнй, МНОжЕСтВ). в -1 А ьВ, А, А — см.
Приложение П1, Операции над подмнохсестаами произведения. Вв — шар радиуса 1 с центром 0 в Вв. С вЂ” тело комплексных чисел, наделенное своей естественной топологией. С" — и-мерное комплексное пространство. СА — дополнение к подмножеству А в рассматриваемом множестве. Ег — произведение семейства множеств (пространств, групп и т.
п.) Е, = Е с множеством индексов Е Е(т1 — примая сумма векторных пространств Е, = Е с множеством индек сов Е т.е.подпространство произведения Е, образованное теми его злеменг тами (х,), у которых х,чьб лишь для конечного числа индексов ь бр Интервалы в совершенно упорндочеином множестве Е: 1а, Ь!: — (хбЕ: а<х~<Ь); (а, Ь1=(хбЕ: а<х<Ь); 1а, Ь)=(хбЕ: а<х<Ь); 1а, Ь(=:-(хбЕ: а(х<Ь); 1»-, а) =(х б Е; х < а); -, а(: — (хбЕ: х<а); 1а, -ь(=(хбЕ: а <х); 1а, — (=(хбЕ: а<х); )« —, -ь1 =Е.
Ке — тело К, рассматриваемое как левое векторное пространство нал самим собой. К« — мультипликативная группа ненулевых злементов тела М Н вЂ” множество всех целых чисел ~~ О, наделенное своей естественной структурой упорядоченного множества. ф (Е) — множество всех подмножеств множества Е. (у — тело рациональных чисел, наделенное своей естественной структурой упорядоченного множества. Я вЂ” тело вещественных чисел, наделенное своими естественными топологией и структурой упорядоченного множества. ПРИЛОЖЕНИЕ П 393 Й+ — множество всех вещественных чисел х) О.
и — множество всех вещественных чисел л > О. + % — расширенная прямая (см. Приложение ШП. яя — и-мерное вещественное пространство. 3„ т — сфера радиуса 1 с центром О в (св. Я хя — сумма сходящегося ряда (лв) элементов коммутатнвной отделимой я-г топологической группы. 2 — кольцо целых чисел, наделенное своей естественной структурой упорядоченного множества.
ПРИЛОЖЕНИЕ П! ОБЪЯСНЕНИЕ ТЕРМИНОВ, ЗАИМСТВОВАННЫХ ИЗ ДРУГИХ КНИГ „ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИКИ" Н. БУРБАКИ* ) Абсоаютио суммнруемое семейство: семейство точек нормированноге пространства, нормы которых образуют сумлгируемое семейсныо в й Аксиома (Орл): Множество всех замкнутых окрестностей любой точки есть фундаментальная система окрестностей втой точки. Аффннный ранг множества в аффинном пространстве: размерность аффнниого подпространства, порожденного этим множеством.. Базис фильтра в множестве Гя множество В подмножеств множества Е„ удовлетворяющее следующим аксиомам: (Вг) пересечение любых двух множеств из 5 содержит множество из Вс (Вп) З не пусто и пустое полмножество множества Е не содержится в к).
Бнектнвное отображение: взаимно однозначное отображение на (т. е одновременно иньектиеное и сюрьектиеное). Близкие порядка У точки: точки х и у риенолгерного пространства, длм которых (х, у) й )г, где )г — его окружение. Баронское пространство: топологическое пространство, в котором никакое счешное объединение замкнутых множеств без внутренних точек яе может иметь внутренней точки (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
