Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 89
Текст из файла (страница 89)
е. являющееся множеством П катсгории в себе). Верхняя грань семейства топологий: слабейшая из топологий в данном множестве, лгалсорирующих все топологии рассматриваемого семейства. Замыкание отображения У по фильтру гу: множество всех предельных точек 4ункции г" но фильтру 5. Индуктивное множество: упорядоченное множество, всякое совершенно упорядоченное подмножество которого обладает верхней гранью. (т.
е. верхней границей, мажорируемой любой другой верхней границей). Инъектнвное отображение: взаимно однозначное отображение в. Канонический базис прямой суммы м(м): множество всех элементов из И(и) одна компонента которых равна единице, а каждая другая — нулю. *) Курсивом набраны термины, разъясняемые в соответствующих местах. этого же Приложения. ПРИЛОЖЕНИЕ 1П Кирпич в Нэ: произведение и интервалов. Класс эквивалентности по отношению эквивалентности Е в множестве Е. определяется любым своим Ьлемеитом х как совокупность тех уеЕ, для которых справедливо Е(х, у). Коммутатнвно сходящийся рядз ряд элементов коммутативной отделимой топологической группы, сходящийся при любой перестановке его членов. Компактное:= хаусдорфово бикомпактиое.
Локально компактное: — хаусдорфово локально бикомпактиое. Мансорнруемая (мажорирующая) топология: см. Сравнение топологий. Максимальный элемент подмножества Х уиорядочеииозо множества Е: элемент усХ, для которого не существует ии одного элеиеита лсХ такого, что л) у. Малое порядка У множество в равномерном пространстве Е: множество, любые две точки которого близки порядка У, где У в данное окружение для Е. Мера на локально компактном пространстве Е: линейная форма р ь в векторном пространстве Я'(Е) всех непрерывных числовых функций на Е с компактным носителем, удовлетворяющая следующему усйовию: для каждого компактного множества Хс- Е сужение Р иа надпространство Д.'(Е, К) тех функций нз Д;(Е), носитель которых содержится в К, непрерывно в тополозии разиомериой сходимости, Метрнвуемая равномерная структура: см.
Раэиомеркал структура, определяемая семейством отклонений. Множество, фильтрующееся по фильтру 5; множество, наделенное структурой, определяемой задаииыч в нем фильтром (т. Насыщение подмномествэ А множества Е по отношению эквивалентности Е в Е: объединение классов эквивалентности по Е всех элементов из А. Насыщенное множество: совпадающее со своим насыщением (по данному отношению эквивалентности). Нижняя грань семейства топологий: сильнейшая из топологий 'в данком множестве, мажорируемых всеми топологиями рассматриваемого семейства. Носитеаь меры иа локально компактном пространстве: дополнение к объединению всех открытых множеств, на которых сужение этой меры равно нулю.
Огибающая верхняя (нижняя) семейства функций (У),б иа множестве Ег функция на е, значение которой в каждой точке х с е равно эир (л (х)). 'бт (соотв. (п( (У (х)) ). 'бг 396 ПРИЛОЖЕНИЕ РП Однородное пространство топологической группы б по ее подгруппе Н: факторлространстео ОГН пространства 0 по отношению эквивалентности х-1у б и, наделенное законом внешней композиции, относящим каждому элементу ее 6 и каждому классу х= хНб бгН класс вх = зхН с 6/Н.
Окрестность точки х: всякое множество, содержащее х в качестве внутренней точки. Окружение (для) равномерной структуры: см. Равномернан структура. Операции над подмножествами произведения ЕХ Е множества Е иа себя: А — образ А 1: Ех Е при канонической симметрии (х,у)-ь(у,х) множества Е на себя; ВьА (где А, В ~ ЕХ Е) — множество всех тех (х, х) С Е)( Е, для которых существует у б Е такое, что (х, у) чА и з я и-1 и — 1 (у,е)йВ.
А=АоА, А= А ьА=Ао А. Отделимая равномерная струитура в множестве Е' равномернан структура, пересечением всех окружений которой служит диагональ Ь произведении Е Х Е. Отделимое = хаусдорфово. Отделимое равномерное пространство: равномерное пространство с отделимой равномерной структурой. Отклонение на множестве Е: отображение у произведения Е Х Е в )О, + оо) такое, что у(х, х) =О, /(у, х) =у(х, у) ну(х у) ~(У(х е)+У(е у) для всех х, у, ей Е. Относительно компактное множество: множество с компактным замыканием.
Отношение порядка в множестве Е1 отношение и (х, у) между двумя общими элементами х, у б Е, удовлетворяющее условиям: а) отношение .и(х, у) и и(у, е)' влечет и(х, е); б) отношение „и(х, у) и и (у, х)' влечет х= у. Часто записывается в виде х~ у. Отношение вквивалеитностн в множестве Е: отношение Уг(х, у) между двумя общими элементами х, у б Е, удовлетворяющее условиям: а) К(х, х) для всех хбЕ (рефлексивность); б) К(х, у) и К(у, х) равиоскльиы (симметричиость); в) отношение .Й(х, у) и Я(у, х)" влечет Е(х, е) (транзитивиость). Определяет разбиение Е иа гслассы эквивалентности. р-аднчесиая равномерная структура в Е: равномернан структура в 2, фундаментальную систему окружений которой образуют множества В"„пзр (х, у) Е Х у( Е, для которых 1х — у ~р (р — ", причем 1 О!р = б и ~ х!р — — р-г при х+О, где е — показатель наивысшей степени простого числа р, на которую делится х.
Полная аддитнвная топологнческая группа: аддитивиая топологическая группа, которая в равномерной структуре, порождаемой тонологией этой группы, явлвется полным равномерным пространством. Полное равномерное пространство: равномерное пространство, в котором каждый фильтр Коши сходится. цриложпиип ги 397 Полное топологнческое тело: топологическое тело, являющееся полной аддитигной топологической труппой.
Пополнеяне отделимого равномерного пространства Е: отделимое полное равномерное пространство Е, содержащее всюду плоююе равномерное надпространство, изоморфиое Е. Е всегда существует и определено однозначно с точностью до изоморфизма. Пополнение отделимой аддитивной топологической группы 0: отделимая полнан аддшпивнан топологическан группа сг, содержащая всюду плотную подгруппу, изоморфную П.
Д всегда существует и определена однозначно с точностью до изоморфизма. Последовательность Коши: бесконечная последовательность (и„) точек равномерного пространства, удовлетворяющая следующему условию: для всякого окрулсенин (г этого пространства существует целое па такое, что ит и и„близки порядка )г при любых т) лэ и п)~ла. Правильная функция: функция на интервале !с=.Ц со значениями в полном вещественном нормированном пространстве, являющаяся на каждой компактной части этого интервала равномерным пределом кусочнопостояниых функций. Предел базиса фильтра Е в топологическом пространстве: точка, каждая окрестность которой содержит множество из Е.
Предел. фильтра: см. Предел базиса фильтра. Предел функции У (отображающей множество Е в типологическое пространство Е') по фильтру 5 в Е: предел базисафильтраУ($) в Е'. Предельная точка функции у по фильтру гу: точка прикосновения базиса фильтра у ($). Предкомпактное равномерное пространство: отделимое равномерное пространство, пополнение которого компактно; может быть определено также как отделимое равномерное пространство Е, для всякого окрулсенин )г которого существует покрытие Е множествами, малыми порядка )г.
Принцип продолжения тождеств: Если У и а — непрерывные отображения топологнческого пространства Е в отделимое топологическое пространство Е' и у (х) = а (х) на множестве А, всюду плотном в Е, то/= л. Произведение топологий пространств Рй топология произведения этих пространств, т. е. слабейшая из тех топологий в произведении и Р, множеств Р„ в которых проекции на все Р, непрерывны. Прообраз топологии й' пространства Е' относительно отображения у множества Е в Е': топология в Е, открытыми множествами которой служат прообразы открытых множеств из Е' относительно у и толькоони.
Противоположное тело: тело К', получаемое из тела К путем замены закона умножения (х, у) -ь х у противоположным законом умножения (х, у) -ьу ° х. 398 ПРИЛОЖЕНИЕ П1 Равномерная структура в множестве Е: структура, определяемая в Е множеством (у подмножеств произведении ЕХ Е, удовлетворяющим следующим условиям: 1' каковы бы ии были х а Е и (гб ~, х и х близки порядка (г; 2' пересечение любых двух множеств из т содержит множество из (у; 3 каково бы ни было (гб(у, существует Ъ"'с(у такое, что если х и у близки порядка У', то у и х близки порядка (г; 4ь каково бы ии было (гб 5, существует ЧГ с $ такое, что если как х и л, так з и у близки порядка (Р; то х и у близки порядка (г.
5 есть базис фильтра П в ЕХ Е, называемого фильтром о к р у ж е н и й рассматриваемой равномерной структуры, а множества УсП называются окружениями этой структуры. Фильтр окружений П удовлетворяет трем аксиомам, формулируемын в терминах оисраиий яад подмножествами произведения следующим образом: (()!) Всякое множество из П содержит диагональ Ь произведения ЕХ Е. — 1 (()н) (га П влечет Ъ' а П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
