Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Уравновешенные множества; поглощающие множества: Пусть К в недискретное нормированное тело и Š— левое векторное пространство над К. Множество М~ Е называется уравновешенным (или диском, если К= С), если Лхг М для каждого х б М и каждого ЛОК с !Л!~1. Пусть А и  — два подмножества пространства Е. !'озарят, что А поглощает В, если существует «)О такое, что ЛА~В, когда !Л1>а. Множество Ас:.Е называется поглощающим, если оно поглощает каждое одноточечное множество.
Аксиомы окрестностей в тоиологическом векторном пространстве над недискретным нормированным телом: В топологическом векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом К существует фундаментальная сястема Ф замкнутых окрестностей нуля такая, что: (ЕЧ~) Каждое множество Ус 5 — уравновешенное и поглощающее. (ЕЧц) Каковы бы ни были Ус 3 и Л + О из К, ЛЪ'б е). (ЕЧ1ц) Для каждого Ус 6 существует (е'сВ такое, что Вг-1- йу~ У.
Обратно, пусть Š— векторное пространство иад К и 3 — базис фильтра в Е, удовлетворяющий условиям (ЕЧ,), (ЕЧц) и (ЕЧц,). Тогда существует однозначно определенная топология в Е, согласующаяся со структурой векторного пространства в Е и имеющая 6 фундаментальной системой окрестностей нули. Нормированные пространства: Пусть Š— левое векторное пространство над недискретным нормированным телом К. Норман на Е называется такое отображение х — 1~ х г пространства Е в Ие, что из 1 х1.= О следует х = О, 1Лх 11 = 1 г 11 х1 для всех ЛЕК и хоЕ и )!х+у) «11хг+11у1 для всех хбЕ и уйЕ. Векторное пространство Е, наделенное нормой 11)х( и топологией, определяемой расстоянием )1х — у 1, называется нормированным пространством.
Вещественным (соотв.комплексным) даниловским про- странсктом называется полное нормированное пространство над телом (с (соотв. С). Типологическая прямая сумма надпространств; Топологическое векторное пространство Е называется топологической прямой суммой конечного семейства (Мт)т<е<„своих векторных надпространств, если отображение (хд-ч.~хе произведения ПМг й т а Е есть изоморфизм Ц[М; на Е. Векторное подпространство д( пространства Е называется нзоиологическим дополнением к векторному подпространству М, если Е есть топологическая прямая сумма М и )т'.
Тотальное подмножество топологического векторного пространства: Подмножество А топологического векторного пространства Е называется тотальным, если порождаемое им векторное пространство (множество всевозможных линейных комбинаций злемеитов из А) всюду пдотно в Е. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВЫ П Определение выпуклого множества: Подмножество А векторного пространства Е над П нли С называется емпуклмм, если каковы бы ни были точки х, у й А, ьх+ (1 — ь) у с А для всех Х таких, что 0~(й~(1. Выпуклая оболочка множества: Выпуклой оболочкой (соотв.
уравновешенной выпуклой оболочкой) подмножества А векторного пространства Е иад П илн С называется наименьшее выпуклое (соотв. уравновешенное выпуклое) множество, содержащее А. Замкнутой выпуклой оболочкой (соотв, замкнутой уравновешенной выпуклой оболочкой) подмножества А топологического векторного пространства Е нвд П или С называется наименьшее замкнутое выпуклое (соотв. замкнутое уравновешенное выпуклое) множество, содержащее А. Конусы; Конусом (с вершиной 0) в векторном пространстве Е над П или С называется множество С такое, что 1хс С для каждого хйС и каждого х) О. Конус С называется заостренным (соотв. затупленнмм), если 0 й С (соотв.
0 ( С) Заостренный выпуклый конус называется выступающим, если он не содержит никакой прямой, проходящей через точку О. Отделение двух множеств гиперплоскостью: Пусть Š— векторное пространство пад И и Н вЂ” гиперплоскость в Е, заданная уравнением з"(х) = а (где г" — лине йная форма на Е, не равная тождественно нулю) Множества, определяемые;соответственно неравенствами у(х)) а и у(х) (а, называются замкнутмлси лолупространстеами, определяемыми гиперплоскостью Н; множества, определяемые соответственно неравенствами у (х) а и у (х) ( а, называются открытыми полупространствами, определяемыми ги аерплоскостью Н.
Говорят, что два непустых подмножества А, В векторного пространства Е над П отделнютсн (соотв. строго отделнютсн гиперплоскостью Н, если А содержится в одном из определяемы~ ею замкнутых (соотв. открытых) полупрострвнств, а  — в другом. Опорная гиперплоскостгс Говорят, что все точки некоторого полмножества М векторного пространства Е над (с находятся по одну сторону (соотв.
строго по одну сторону) от гиперплоскости Н, если М содержится в одном из определяемых ею замкнутых (соотв. открытых) полупрострапста. Опорной гиперплосковтью множества А ~ Е называется гиперплоскость Н, содержащая хотя бы одну точку из А и такая, что все точки множества А находится по олну сторону от Н. Выпук.тые тела: Выпуклым телом в топологическом векторном пространстве над )с иди С называется всякое замкнутое выпуклое множество, обладающее хотя бы одной внутренней точкой. Определение локально выпуклого пространства: Тополе~ические векторное пространство над (1 или С называется локально выпуклым, если оно обладает фундаментальной системой окрестностей нуля, образованной выпуклыми множествами, Вещественным (соотв.
комплексным) пространспыом Фрете называется полное метрнзуемое локально выпуклое пространство пад (с (сиота. С). Полунормы: Пусть Š— топологнческое векторное пространство над й (нлн С). Полу- нормой на Е называется конечная числовая функция р, определенная иа Е и удовлетворяющая сдедующим двум аксиомам: (БХ ) Каковы бы ни были х б Е и Л б (ч (соотв. Л б С), р (Лх) = ! Л ~ р (х). (ЯМп) Каковы бы ии были хбЕ и УбЕ, Р(х+У) (Р(х)+Р(У).
Пусть 1' — множество полунорм иа Е и Я вЂ” множество всех подмножеств из Е, определяемых неравенствами вида р(х) с. Л, где р в 1' и Л)0. Множество 'ю пересечений всевозможных конечных наборов множеств из б) яаляетсв фундаментальной системой выпуклых окрестностей пуля для топологии, согласующейся со структурой векторного пространства в Е и называемой топологией, определяемой множесв~вом 1' полунорм.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВЫ 1П Определение бочки и бочечкого пространства: Бочкой в локально выпуклом пространстве называется каждое замкнутое поглощающее уравновешенное выпуклое множество. Локально выпуклое пространство Е называется бочечнмм, если каждая бочка в Е является окрестностью нуля. Ограниченные множества".
Подмножество топологического векторного пространства называется ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью нуля. Кеазиполкые пространства: Топологическое векторное пространство Е называется клазиполпым, если каждое его замкнутое ограниченное подл<иожество является полным равномерным пространством (по равномерной структуре, индуцированной из Е). ю топологии: Пусть Е и Р— топологические векторные пространства, <ю — множество ограниченных подмножеств пространства Е и ь' (Е, р) -- векторное пространство всех непрерывних линейных отображений Е в Р. <В-топологией в ь'(Е, р) называетсв топология равномерной сходимости на множествах из <В. Пусть Т(,И, )г) для каждого Мб <ю и каждой окрестности нуля )г пространства р — множество тел пай(Е, р), для которых и(М) с: )г. Пересечений всевозможных конечных наборов множеств Т (М, )г) (где <И пробегает ю, а )г — фундаментальную сйстему окрестностей нуля в Р) образуют фундаментальную систему окрестностей нуля ю-топологии.
Если < — множество всех конечных (соотв. компактных, ограниченных) подмножеств пространства Е, то <В-топология называется топологией простой (соотв. компактной, ограниченной) сходимоспш. Если Е и Р— нормированные пространства, то топология ограниченной сходимости в ь(Е, р) определяется нормой (и(= лир 1и(х)<) Гм)К < ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВЫ ()г Векторные пространства е двойственности Пусть Р н Π— векторные пространства и (х, у)-ьВ(х, у) — билинейная форма на РХ О. Говорят, что Р и О находятся а двойственности (относительно В), если выполнены сдедующие два условия: (О!) Каково бы ни было к+О из Р, существует угО такое, что В(х, у) +О. ((Зи) Каково бы ни было у ф О из О, существует х бр такое, что В (х, у) чь О.
Вместо В (х, у) пишут тогда (х, у). Сопряженное; алгебраическое сопряженное: Пусть Š— отделимое локально выпуклое пространство. Его алгебраическим сопрямсеяпым называется векторное пространство Е" всех линейных форм на Е (непрерывных или нет). Сопряженным к Е называется подпространство Е' пространства Е", образованное непрерывными линейными формами иа Е. Пространства Е и Е' находятся в двойственности относительно канонической формы (х, х') — (х, х'). Сопряженное Е' к Е не рассматривается как топологическое векторное пространство, если только явно не указана его топология (которая может определяться различным образом при одном и том же локально выпуклом пространстве Е).
Определение поляры: Пусть Р и Π— два (вещественных или комплексных) векторных пространства в двойственности и А — произвольное подмножество пространства Р. Подирай множества А в О называется множество А' всех еЕО таких, что й(((у,х))(! для каждого уЕА. Если А— уравновешенное, то последнее равносильно выполнению неравенства ~ (у е) ~ ~( ! для ка)алого у Е А. Если А - — векторное надпространство пространства Р, то А' — векторное подпространство пространства О, называемое ортогокальным к А. Слабые топологии; Пусть Р и Π— два векторных пространства в двойственности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
