Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

З(й(хеЬепе, Зтй(гйурегеЬепе. опорная гиперплоскость. ЗпЬчрасе: под этим некоторые авторы из стран английского языка понимают замкнутое векторное оодпространстио топологического векторного пространства. ЗИРР(.ЙМЕХТА1ЙЕ А(.ОЙВЕ1ОИЕ (алгебраическое дополнение) подпространства: 1, 1, 8; — О)сТНОООМА$. (ортогональное — ) замкнутого подпространства в гильбертовом пространстве: У, 1, 5; в другой терминологии: огщойопа! сощр!ещеп! (ортогональное дополнение); — ТОРО(.ОО!()ИЕ (топологическое — ) подпространства: 1, 1, 8. ЗУИЙТЕ)ЯИЕ (РОММЕ В1Ь1МЙА1ЕЕ) (симметричная билинейная форма):У,1,1. ЗУЗТЙМЕ ГОМ()АМЕХТА(.

О'ЕМЗЕМВ(.ЕЗ ВОКМЙЗ (фундаментальная система ограниченных множеств): И1, 2, 2. Т ТОММЕАИ (бочка): !И, 1, 1. ТОММЕ1.Й (ЕЗРАСЕ) (бочечиое пространство): И1, 1, 1. ТОРО(.001Е )УЕ ЕА СОХУЕКОЕХСЕ ВО(11ЧЙЕ (топологня ограниченной сходнмости): И1,3, 1; — ОЕ МАСКЕУ ( — Макки [= относительно сильная — [): !У, 2,3; — ()ЙГ)М1Е РАН ИХ ЕМЗЕМВ(.Е ()Е ЗЕА(1 МОВА(ЕЗ ( — определяемая некоторым множеством полунорм): И, 5,4 и б, 2; — (ю-) ((о- — ): И!, 3, 1. ТОРО(.061ЯИЕй(ЕХТ ИВСЕ (ЕХЗЕМВ(.Е) (топологнчески свободное множество): 1, 2, 1; — — (ГАМ!И.Е) ( — — семейство): 1, 2, 1.

ТОТАЕ (ЕМЗЕМВ(.Е) (тотальное множество): 1, 2, 1. ТВАМЗРОЗЙЕ (сопряженное) к непрерывному линейному отображению: 1У, 4, 1. В других термииологивх: орегайоп азэос!ее, орбгайоп соп)прите (В), ай)о! п! е. И ИВНогш (оро!оду (равномерная топология): топология, определяемая в пространстве й(Е, Е) непрерывных линейных отображений нормированного пространства Е в себя нормой !!и!! = зпр [[и(х)[[,т.е.тополе!и(щ т гня ограниченной сходимостн на Е. ИВНогшбшеп1 сопчеке (езрасе) (равномерно выпуклое пространство): нормированное пространство Е, в котором норма [[х!! обладает следующим свойством: для каждого с (0(с(2) существует э)0 такое, что из ![х!! = 1, ![у!! = 1, [!к — у[!) э следует [!х+ у[!< 2 — ч.

ИВНогш!у Ьоипдеб зе1 (равномерно ограниченное множество); множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е, ограниченное в топологии, индуцированной в Е сильной топояогией второго сопряженного Е" (мажорирующей исходную топологию пространства Е). 379 СЛОВАРЬ Цп(чегае! (езрасе) (универсальное пространство) (В); банаховское пространстао счетного типа, обладающее тем свойством, что каждое банаховское пространство счетного типа нзометрично некоторому его векторному подпространству. Ч ЧАК1ЕТЕ 0'АРРШ (опориое многообразие) выпуклого множества: Н, 4, 2;— (.(МЕА1(сЕ СОМР(.ЕХЕ (комплексное линейное — ): 11, б, 1„— (.1МЕА1(йЕ (сЕЕ(Д.Е (вещественное линейное — ): П, б, 1.

Уойз(йпб(йч полное. % )Уеай (оро!оку (слабая тонология): ослабленная топология ч(Е, Е') в ло- кально выпуклом пространстве Е с сопряженным Е'. )Чеайь (оро)ойу: слабая топология а(Е', Е) в сопряженном Е' к локально выпуклому пространству Е. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ПЕРЕВОД НЕКОТОРЫХ МЕСТ ИЗ ДРУГИХ КНИГ „ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИКИ" Н.

БУРБАКИ, НА КОТОРЫЕ ИМЕЮТСЯ ССЫЛКИ В ЭТОЙ КНИГЕФ) (') К стр. 42: „7) Пусть К вЂ” конмутативное тело. Показать, что не существует формального ряда и (Х, у) б К[ [Х, у[ ), лля которого бы (ХУ) ~ (Х+ У) и (Х, г') = 1 при всех Пелых т)0.' (г) К стр. 43 н 311: ,14) Показать, что каждый унитарный А-модуль, обладающий базисом с множеством индексов С равиомощен множеству АХ С если хотя бы одно из множеств А,! бесконечно." (') К стр.

46: „Предложение 1. Для того чтобы семейство (а,) влементов векторного пространства было свободным, необходимо и достаточно, чтобы а„не было линейной комбинацией влементов а, с индексами г Ф х ни для какого индекса х." (4) К стр. 46: „Лемма 2. Пусть (р„) — последовательность полиномов без свободного члена, определяемая индукцией по и условиями реЯ = О .и р ь,(1) = ря(г)+ — (1 — (р„(1)) ) (и> О). На интервале [О, 1$ 1 вта последовательность возрастает и равномерно сходится к у' г ." (') К стр.

53: .(КТа) Каковы бы ни были окрестности су и )г нуля тела К, существует окрестность йу нуля такая, что йу (С)г) ' ~ (7 н(СУ) ' йус-с7." (в) К стр. 55: „Предложение 2. Равномерная структура гс' на множестве Е, обладающая счетной фундаментальной системрй окружений, совпадает с равномерной структурой, определяемой некоторым отклонением у' на Е. *) При переводе упражнений указавия пути решения опущены.

381 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Пусть ()г„) — счетная фундаментальная система окружений для У. Определим по индукции последовательность (У„) симметричных окружений для ГГ таких, что У1~)г1 и 3 ( я и„+, У„П~пиР д >1. р 1 р-1 У(х, у) =1п! ~~'.,й'(гн гг,,), где нижняя грань берется по множеству всех конечных последовательностей (х;)еж1жр (с произвольными р), в которых х = х и яр —— у. Покажем, что ! есть онгклонение, удовлетворяющее неравенствам 1 — й'(х, у) ~(/(х, у)~(8(х, у). Действительно, из определения / непосредственно следует, что Г удовлетворяет неравенству треугольника, симметрично и РО; а очевидное второе неравенство (1) показывает, что у(х, х) =0 для каждого х~Е, так что г' есть отклонение. Для доказательства первого неравенства (1) покажем. индукцией по р, что каждая последовательность (хг)е~гсР, образованная р+.1 точками из Е и такая„ что хр — — х и гр —— у, удовлетворяет неравенству р — 1 Х 1 8(вг .; )> — 2Е(х, у).

1са (2) р-1 При р = 1 это неравенство очевидно. Положим а = ~~'.,8'(г1, г;11); 1св 1 если а) —, то неравенство (2) очевидно. поскольку а'(х, у) ~(1. Прелположим поэтому. что а < —; пусть й — наибольший из номе- .1. Ясно, что тогда (У„) также будет фундаментальной системой окруз жений для ГГ, причем У„.11г=У„(и ь1). Пусть а' — числовая функция на Е Х Е, определенная следующим образом: а(х, у)=0, если (х, у)~У„для всех и; д(х, у)=2 ", если (х.

у)~У„, когда ! ~~и й, но (х, у)(У„.1,; д(х. у)=1, если (х, у)(У,.Функция я симметрична и положительна и й'(х, х)=0 для каждого хЕЕ Положим 382 пэиложннив 1 ров ут, для которых ~д'(гн гт„.,) ( —, так что лг г(гн гтэ,) ( а 1(» тсь а тт а кч а < —, а д Е(го г;„,) > —, откуда у 8(гн г;+,) < —. В силу э сь+! ,>В предположения индукции, г(х, гл) < а, г(гь+ы у) ( а; с другой стороны, очевидно, и хг(гл, «ьэт) (а. Пусть и — наименьшее целое > 0 такое, что 2 (а; имеем й) 2 и, по определению функции д; -» з з (х гь)ЕУю (гь гьч-)бУ» (гьщ У)ЕУь( поэтомУ(х.

У)ЕУ»с=У»-и откуда г(х, у) ( 2з-а < 2а. Неравенства (1) показывают теперь, что каково бы ни было а > О, -1 множество / ([О, а[) содержит У„для каждого номера и такого, что 2 ( а, и, с другой стороны, каждое У» содержит множество -1 — 1 7 ([О, 2» '[); тем самым множества у ([О, а[) образуют фундаментальную систему окружений для структуры У. (т) К стр. 77 и 205: .э12) Множество Е~Яв, содержащее О, называют звездным (относительно точки 0), если тхб Е, каковы бы ии были хб Е и ГЕ [О, 1[. Пересечение множества Е с замкнутой полупрямой, выходящей из точки О, есть либо вся зта полупрямая, либо отрезок с одним из концов в втой точке. Скорлупой множестваЕназывается множество К, образованное концами этих отрезков, отличными от точки О, и точкой О, если к ней сводится пересечение некоторой полупрямой с Е.

Ниже предполагается, что О ( К. а) Показать, что скорлупа множества Е содержится в его границе; дать пример, в котором эти два множества были бы различны. б) Показать, что если скорлупа К множества Е компактна, то существует гомеоморфизм Вв на себн, отображающий К на 8„м Е на В„и внутренность Е на внутренность В . Вынести отсюда, что граница множества Е совпадает с его скорлупой К,а внутренность Е— с множеством точек тх, где х пробегает К, а à — интервал [О, 1[г:В. в) Если Е не ограниченно н его граница совпадает с его скорлупой К, то внутренность Е гомеоморфиа пространству Вв, а К в от, крытому подмножеству сферы 8„ г) Дать припер неограниченного звездного множества, скорлупа которого замкнута, но не совпадает с границей множества." (э) К стр.

79: .э7) Пусть Š— метрическое пространство. Для любых двух не- пустых его подмножеств А и В положим э(А, В) = зцрп'(х, В) и э(А, В) =щах(э(А, В), р(В, А)); лйл 383 пРилОженИе т крометого, положим е(Я, Я) =О и е(8,А) =е(А, 8) =+со дяя каждого нелустого множества А ~Е. Показать, что а есть отклонение на множестве РЩ всех подмножеств множества Е н что определяемая им равномерная структура совпадает с получаемой нз равномерной структуры пространства Е по способу упражнения 7 и 2 гл.

П (тл). На множестве 5 (Е) всех непустых замкнутых подмножеств множества Е а является расстоянием. Показать, что если Е полно, то 5 ٠— полное метрическое пространство." (в) К стр. 86 и 152: „ч1) Пусть Š— не компактное локально компактное пространство и'1( — множество всех симметричных выпуклых подмножеств пространства ззь'(Е)ч), след которых на каждом из подпространств,К'(Е, К)*ч) (где К вЂ” произвольное компактное множество в Е) есть окрестность нуяя в этом цодпространстве для топологии равномерной сходнмости на К. а) Показать, что В есть фундаментальная система окрестностей нуля для локально выпуклой топологии в йй'(Е), мажорирующей топологию равномерной сходимости на Е н называемой далее сильной топояогией в йй'(Е) (индуктивный предел топологий пространств Я~ (Е, К); см. Топ.

Характеристики

Список файлов книги