Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Обратно, если Е отделимо и является (длж структур векторного пространства) прямой суммой конечного семейства (М;),<е <„своих замкнутых подпространств, то для того, чтобы. Е было их топологической прямой суммой, достаточно выполнения любого из следующих двух условий: а) Каждое из подпространств Мо за исключением, быть может. одного, конечномерно (гл.
1, 9 2, предложение 3). б) Е метризуемо и полно (гл. 1, 9 3, следствие 4 теоремы 1). 9. Пусть Š— топологическое векторное пространство. являющееся (в алгебраическом смысле) прямой суммой конечного семейства своих векторных подпространств М; (1 ( 1 ( и), и к; для каждого 1 †линейное отображение, относящее каждому х ~ Е его составляющукь йг(х) в Мп Отображения й; удовлетворяют соотношениям й;ойо=0 при 1Ф/, й ой ° =йп ~ кг = е (тождественному отображению). о=1 Лля того чтобы Е было топологической прямой суммой подпространств Мо необходимо и достаточно, чтобы отображения кг были непрерывны. Обратно, пусть (йг),<㠄— семейство непрерывных линейных отображений Е в Е, удовлетворяющих соотношениям (1) (второе из которых выражают, говоря, что йг — ироекегоры); тогда Е есть топологическая прямая сумма подпространств М; = кг(Е).
10. Если Š— топологическая прямая сумма двух своих векторных лодпространств М и гч', то гч называется тоаологическим доиол- 346 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ мвнием к М. Обратно, пусть М вЂ замкнут векторное надпространство пространства Е. предполагаемого отделимым; для того чтобы М обладало топологическим дополнением, достаточно выполнения любого мз следующих трех условий: а) Š— предгильбертово пространство и М полно (гл. Ч, й 1, пред.ложение 8). б) М имеет конечную фзкторразмерность в Р (в этом случае .каждое подпространство, дополнительное к М в алгебраическом смысле, есть топологическое дополнение к М) (гл.
1, 3 2, предложение 3). в) Е локально выпукло н М конечномерно (гл. П, й 3, следствие б предложения 4). !1. Вообще для того, чтобы векторное надпространство М топо- логического векторного пространства Е обладало топологическим дополнением, необходимо и достаточно, чтобы на Е существовал непрерывный проектор и такой, что и(Е) = М; тогда за топологи— 1 теское дополнение к М можно принять надпространство и (О), в которое Е переводится проектором е — и.
Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между парами (М,, Ма) векторных подпространств пространства Е, топологически дополнительных одно другому, и парами (и,, и,) непрерывных проекторов, для .которых и,+из=в. Если Š— предгильбертово пространство, а М -'-его полное отде.лимое' векторное надпространство, то существует однозначно опре— 1 деленный проектор р пространства Е на М такой, что р(0) ортогонально к М; р называется ортогональным проектором Е на М. 12. Пусть Е и Р— топологические векторные пространства и у †непрерывн линейное отображение Е в Р.
Для того чтобы г было обратимо справа (т. е. чтобы существовало непрерывное линейное отображение и пространства Р в Е, удовлетворяющее условию ~ ь и= е', где в' †тождественн отображение Р на себя), необхо— ! димо и достаточно, чтобы г' было гомоморфизмом Е на Р и г(0) ,имело топологическое дополнение в Е. Для того чтобы / было обратимо слева (т. е. чтобы существовало непрерывное линейное отображение е пространствз Р в Е, удовлетворяющее условию и ь г'=в, сде в — тождественное отображение Е на себя), необходимо и а з. подпгостглнствл; флктогппостглнствл; пвоизведшгия 347 .достаточно, чтобы 7 было изоморфлзмом Е на и(Е) и и(Е) имело топологическое дополнение в Е.
Различные способы введения топологии 13. Пусть (Е,) г †семейст топологических векторных прост.ранств и 7', для каждого ~ ~ /†линейное отобрзжепие векторного пространства Е в Ен Слабейшая из топологий в Е, при которых все 7, непрерывны, согласуется со структурой векторного пространства в Е. Для того чтобы линейное отображение е топологнческого векторного пространства 0 в Е было непрерывно в этой топологии, необходимо и достзточно, чтобы было непрерывно каждое нз оточбражений ), о е.
Если все Г, локально выпуклы н топология в Г определяется семейством л, полунорм (. ~ 7), то топология пространства Е локально выпукла н определяется полупормами р, о 7„ где р,~Г,. 14. Пусть (Г,) — семейство локально выпуклых пространств «гг и д, для каждого ~~/ — линейное отображение пространства Е, в векторное пространство Е. Среди всех локально выпуклых топологий в Е, прн которых все д непрерывны, имеется сильнейшая. Для того чтобы линейное отображение й пространства Е, наделенного этой топологией, в локально выпуклое пространство 0 было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы было непрерывно каждое из отображений л о еи 15.
Пусть Š— векторное пространство, (Е) — семейство его 'ыг векторных подпространств, фильтрующееся по включению с=, и каждое Е, наделено локально выпуклой топологией Х„ причем если Е,с= Е„, то Х, мажорирует топологию, нндуцнруемую в Е, топологией У„. Сильнейшая из локально выпуклых топологий в Е, при которых непрерывны канонические вложения всех Е, в Е, есть также сильнейшая нз локально выпуклых топологий, индуцирующих в каждом Е, топологию, мажорируемую топологией Х,,; эта топология называется индуктивным пределом топологий Я',.
Лля того чтобы линейное отображение Ь пространства Е, наделенного этой топологией, в локально выпуклое пространство было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы было непрерывно в топологии Вг, его сужение на каждое Е,. Выпунлые множества в Е, пересечение которых с каждым Е, является окрестностью нуля в топологии Х„образуют фундаменталь- 348 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ ную систему окрестностей нуля для индуктивного предела этих топологий в,.
1б. Пусть (Е„) — возрастающая последовательность векторных подпространств векторного пространства Е, образующая покрытие этого пространства, и Я„ для каждого и †локаль выпуклая топология в Е„, причем в„ совпадает для каждого п с топологией, индуцируемой в Е„ топологией Ю„+н Тогда индуктивный предел У топологий б„ индуцирует в каждом Е„ топологию б„; если все б„ отделимы. то и их индуктивный предел б отделим, Е, наделенное топологией б. называется строгим индуктивным пределом пространств Е„Предположим, кроме того, что каждое из Е„замкнуто в Е„ь, (в топологии б„.ь,); тогда Е„замкнуто в Е (в топологии б) и для того, чтобы множество в Е' было ограниченным (в 1г), необходимо и лостаточно, чтобы оно содержалось в одном из Е„и было ограниченно в б„(гл.
Ш, ф 2, предложение 6). 17. Пусть Š— векторное пространство, являющееся (алгебраической) прямой суммой семейства (М,) своих векторных подпро' 'ет странств. Предположим, что каждое М, наделено локально выпуклой топологией. А(ля каждого конечного множества Н ~ у наделим пространство М = ~~~ М, топологией, являющейся произведением топо'ея логий пространств М, (~~Н). Пусть б — топология в Е, являющаяся индуктивным пределом топологий пространств М .
где Н пробегает множество всех конечных подмножеств из Е Пространство Н, наделенное топологией б, называется топологической прямой суммой подпространств М,; если каждое из М, отделимо, то и Е отделимо. Пу~~~ Ег=.,~~ ~МР где 1 — произвольное подмножество из г'; наде'ез ленное топологией, индупированно» из Е, Е совпадает с топологической прямой суммой семейства (М,) .
Е совпадает с топологиче' 'ег' ской прямой суммой семейства (Ел'1 для любого разбиения (.7ь) агась ь "Еь множества Е Гильбертова сумма гальбертовых арострамспгв 18 ПУсть (Е,),ЕТ вЂ” семейство гильбертовых пространств и Е— (алгебраическая) прямая сумма этого семейства векторных пространств. Для каждых двух элементов х=~~~, х, и у=.~, у, пространства с 'Ег ~Ег положим (х1у) = ~ (х,1у,); (х1у) есть эрмитова полуторалинейная 'ег 349 а 4.
ВыпуклОсть форма, превращающая Р в отделимое предгильбертово пространство. Его пополнение Е есть гильбертово пространство, называемое внешней гильбертовой суммой гильбертовых пространств Е,. Е можно Отождествить с подпространством произведения ЯЕ„образованным теми х=(х), для которых ~~.', !)х,!)г(.+ОС, причем скалярное про'бе мзведение (х(у) на Е будет равно ~ (х,(у). Если г' конечно, то Е есть также топологическая прямая сумма пространств Е,.
19. Пусть Š— гильбертово пространство и (Е),е~ — семейство его замкнутых векторных подпространств такое, что Е, и Е, при 1 чь х ортогональны. Тогда замкнутое векторное надпространство в Е, порожденное всеми Е„изоморфно внешней гильбертовой сумме пространств Е,. Если, в частности, это подпространство совпадает с Е. то Е называется гильбертовой суммой своих надпространств Е,. Если (Е,) — семейство гильбертовых пространств, à — их внешняя гиль"хбь бертова сумма и каждое Ра рассматривается как надпространство в Р, то Р есть также гильбертова сумма этих подпространств Г,. 9 4. Выпуклость Все понятия, связанные с выпуклостью, относятся к структуре векторного пространства над Й.
Под „гиперплоскостью" всюду в этом параграфе понимается (вещественная) аффинная гиперплоскость, тем самым не обязательно содержащая начало. Выпуклые лвножества 1. Множество А в векторном пространстве Е называется выпуклым, если вместе с каждыми своими двумя элементами х, у это множество содержит и весь соединяюший нх отрезок, иными словами, если )х+(1 — ))у~А, когда 0(Л (!. Выпуклое множество А содержит центр тяжести любого конечного набора своих точек, снабженных положительными массами (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
