Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Рисса методом, довольно сильно отличающимся от риссовского и обладающим более широкой областью применимости'*),— и вернулся к ией, при гораздо ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — Ч 328 более общих условиях, в 1921 году. Введя, как мы уже выше указывали, понятие нормы (иа пространстве последовательностей), он заметил, что это понятие обобщает понятие „калибровочной функции' выпуклого тела в и-мерном пространстве, использованное Минковским в его знаменитых работах по .геометрии чисел" (1Ч). В этих работах Минковский определил также (в 1!и) понятия опорной гиперплоскости и „опорной функции' (!Чб) и доказал существование опорной гиперплоскости в каждой граничной точке выпуклого тела ((!)Га), стр. 33 — 35). Хелли распространил эти понятия на пространство последовательностей Е, снабзкенное произвольной нормой; он установил двойственность между Е и пространством Е' последовательностей и = (ив) таких, что ряд (ивх„) сходится для каждого х = (хя) б Е к некоторой сумме, которую мы обозначим (и,х); ои определил в Е' норму ((и,х)! формулой зир ' , дающей в конечиомерных пространствах опорную хФО !(х!! функцию«).
Решение в Е системы (б), где каждая из последовательностей из=(агу)7>, предполагается принадлежащей Е', сводится, как показывает тогда Хеппи, к последовательному решению следующих двух задач: 1' найти непрерывную линейную форму Е па нормированном пространстве Е' такую, что Е(иг) =ба для каждого номера й что, как он указывает, приводит к условиям типа (10); 2' установить, может ли такая линейная форма быть представлена в виде и -ь(и,х) с некоторым х б Е.
Хеппи замечает, что эта последняя задача не обязательно имеет положительное решение, даже когда й существует, и ограничивается указанием нескольких достаточных условий, влекущих существование решения х б Е в некоторых частных случаях (Х). Эти идеи приобрели свою окончательную форму в 1927 году в фундаментальном мемуаре Х. Хана (Х!), результаты которого бмли заново получены (независимым образом) С. Банахом двумя годами позже (Х1!б). Метод Минковского в Хелли применяется Ханом к произвольному нормированному пространству и определяет тем самым в сопряженном пространстве структуру (полного) нормированного пространства; это сразу позволяет Хану рассматривать последовательные сопряженные к нормированному пространству и поставить в общем виде проблему рефлексивных пространств, лишь затронутую Хелли.
Но главное — это что капитальная проблема продолжения непрерывного линейного функционала с сохранением его нормы была окончательно решена Ханом совершенно общим образом, с помощью трансфинитной индукции по числу измерений, чем был дан один из первых примеров важного применения аксиомы выбора к функциональному анализу *«). К этим результатам Баиах присоединил основополагающее исследование связей «) Лля того чтобы получить так норму, следует предположить, что если (и,х) = 0 для всех х Б Е, то и = О, что, впрочем, Хелли явно и отмеча т. а") Банах уже провел аналогичное рассузкдение в 1923 году для определения иивариантной меры на плоскости (определенной для всех ограниченных множеств) (ХПа).
истопическии очерк к гдлвлм 1-у 329 между непрерывным линейным отображением и его сопряженным, распространив на общие нормированные пространства результаты, известные до этого лишь для пространств ЕЯ (!Ха), с помощью весьма глубокой теоремы о слабо замкнутых множествах в сопряженном пространстве (см. гл."1Ч, % 2, теорема 5); впрочем, эти результаты выражаются в более яркой форме при использовании понятия факторпростраиства нормированного пространства„ введенного несколькими годами позже Хаусдорфом и самим Банахом. Наконец, снова Баиах открыл связь между слабой компактностью единичного шара (как было указано выше, отмеченной во многих частных случаях) и рефлексивностью, по крайней мере дая пространств счетного типа ((ХНв), стр, 189).
С этого момента теория двойственности нормированных пространств может считаться в своих основных чертах определившейся. К тому же времени получили разъяснение также теоремы парадоксального характера, первые примеры которых восходят приблизительно к 19!0 году. А именно, Хеллннгер и Теплиц по существу доказали в указанном году, что погледовательпость ограниченных билинейных форм Ви(л, у) в пространстве Гильберта, значения которых Ви (а, Ь) для каждой заданной пары (а, Ь) ограничены сверху (числом, априори зависящим от а и Ь), на самом деле равномерно ограниченна иа каждом шаре.
Их доказательство велась от противного и состояло в построении пары (а, Ь), в которой нарушается предположение, посредством рекуррентного метода, известного с тех пор под наименованием „метода скользящего горба и оказавшегося поаезным еще в ряде аналогичных вопросов (см. гл.!Ч, 9 5, упражнение 4) Впрочем, в !905 году Лебег использовал аналогичный прием для доказательства существования непрерывных функций, ряд Фурье которьж в некоторых точках расходится, и я том зке году, что Хеллингер и Теплиц, он использовал тот >ке метод для доказательства того, что слабо сходящаяся последовательность в Ет ограниченна пр норме *).
Количество этих примеров в последующие годы умножилось, ио без введения новых идей, пока в 1927 году Банах и Штейнгауз (отчасти в сотрудничестве с С. Саксом) ие связали эти явления с понятием множества !! категории и теоремой Бара для полных метрических пространств, получив общее предложение, охватившее все предшествовавшие частные случаи (Х!П). При этом изучение вопросов „категории" в полных нормированных пространствах привело Банаха в тот же период к многочисленным другим результатам относительно непрерывных линейных отображений, из которых наиболее замечательной и, несомненно, наиболее глубокой явилась теорема о „замкнутом графике", оказавшаяся, как и теорема Банаха — Штейнгауза, первоклассным орудием современного функционального анализа (Х~б).
э) Отметим также аналогичную (более простую) теорему, доказанную Ландау в 1907 году и послужившую для Ф. Рисса отправным пунктом его теории пространств ЕЯ: если ряд с общим членом и„лв сходится для любой последовательности (ла) й Еп(Н),' то последовательность (ии) пРинадлежнт Еч(Н), где — + — = 1. 1 1 Р Ч ззо истопичксдии очкпк д гллвльт з-и Опубликование монографии Банаха .Теория линейных операций* (ХИв) ознаменовало, если так можно сказать, наступление зрелости теории нормированных пространств. В этой книге изложены все результаты, о которых мы говорили, равно как и многие другие, правда несколько беспорядочно, по в сопровождении многочисленных ярких примеров, взятых из различных областей анализа и, по-видимому, предвещавших теории блестящее будущее. Действительно, это сочинение имело замечательный успех н одним из наиболее непосредственных последствий его появления было почти всеобщее усвоение языка и обозначений, использованных Банахом.
Но несмотря на большое число предпринятмх после 20-х годов исследований по пространствам Банаха, в оставленных им открытыми проблемах не было достигнуто существенного прогресса; с другой стороны, — если исключить теорию банаховских алгебр и ее применения к гармоническому анализу, — почти полное отсутствие новых применений теории к большим проблемам классического анализа несколько охяадило возлагавшиеся на нее надежды.
Более плодотворным, пожалуй, было развитие в сторону расширения н более тщательного аксиоматнческого анализа концепций, связанных с нормированными пространствами. Хотя функциональные пространства, встречавшиеся с начала двадцатого века, были в своем большинстве снабжены .естественной" нормой, не прошяи незамеченнмми н некоторые исключения. Окояо 1910 года Э. Мур предяожил обобщить понятие равномерной сходимости, заменив его понятием .относительной равномерной сходимости', прн которой окрестность иуяя образована функциями у, удовлетворяющими неравенству ~ у (г) ( ( ах (г), где я — функция, которая всюду ) 0 н может меняться вместе с окрестностью.
С другой стороны, уже до 1930 года было замечено, что такие понятия, как простая сходимость, сходимость по мере для измеримых функций или компактная сходимость для цеяых функций, не поддаются определению посредством нормы; а в 1926 году Фреше установил, что векторные пространства этого типа могут быть метризуеммми и полными. Но теория этих более общих пространств могла плодотворно развиваться лишь в соединении с идеей выпуклости. Эту последнюю идею (как иы видели, встречавшуюся уже у Хелли) Банах и его ученики сделали объектом исследований, усмотрев возможность более геометрически истолковывать так многочисаенные предложения теории нормированных пространств и подготовив дорогу общему определению локально выпуклых пространств, данному И.
фои Нейманном в 1935 году. Теория этих пространств и особенно вопросов, касающихся двойственности, получила развитие главным образом в течение последнего десятилетия, и и этой книге мм изложили основные резуяьтаты этих исследований. В свази с этим следует отметить, с одной стороны, прогресс в простоте и общности, сделавшийся возможным благодаря приведению в полную ясность фундамеитаяьных понятий общей топологии, достигнутому между 1930 и 1940 годами; с другой стороны, важность, которую приобрело понятие ограниченного множества, введенное Колмогоровым и фон Неймаином в 1935 году и фундаментальная роль которого была выяснена работами Макки (Х1Ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
