Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Чтобы установить достаточность условия, достаточно убедиться в том, что при его выполнении Е совпадает с замкнутым векторным подпространством Р. порожденным объединением всех Ф'ь (й~й. р ~МД. Но Р содержит замкнутое векторное подпространство, порожденное объединением всех Ф', с произвольным фиксированным ),Е (., т.
е. У„; поэтому Р есть замкнутое векторное подпространство, порожденное объединением всех Уы т. е. по предположению совпадает с Е. оэтогонлльныв семвиствл 3. Ортонормальные семейства Опгедилвние 2. Семейство (е,) т векторов предгильбертова пространства Е называется ортонормальным, если е, и е„при г Ф и ортогональнн и )1е,!! = 1 для каждого ь~!. е, чь е„при г чья, поскольку (е,~е,)= 1; ортонормальным множеством называется каждое множество Б с= Е такое, что семейство, определяемое тождественным отображением Б на себя, ортонормально; тем самым безразлично, говорить ли об ортонормальном семействе или ортонормальном множестве. Если (е,) т — ортонормальное семейство, то полные одномерные векторные подпространства В, = Ке, попарно ортогональны. Ортогональная проекция каждо!о х~Е на В, равна Л,е, такому, что (х — Ле,(е)=0, откуда (х!е)=Л(е,!е)=Лг Результаты и'2 в применении к поапространствам О, дают: Пгедложинив 3.
Каждое ортонормальное семейство в отделимом предгильбертовом пространстве Е.яьопологически свободно. Отметин, что зто свойство вытекает также нз харвктернзации топологическя свободных семейств (гл. 1Ч, ф 1, следствие 2 предложения 1 н 5 2, замечание после предложения 4), если принять во внимание, что пространство, сопряженное к Е, отождествнмо с пополнением пространства Е илн простраиства, дуьльного к Е ($ 1, и' 6).
Пгедложвние 4. Пусть Š— отделимое предгильбертово пространство, (е,) — ортонормальное семейство в Е и à — порожденное им замкнутое векторное надпространство пространства Е. Тогда: 1' Для каждого х~Е ~~~, ) (х ( е,) )г ( ~!! х !! г 'чт (неравенство Бесселя), так что множество тех ~ ~у, для которых (х) е,) ~ О, не более чем счетно. При этом следующие условия равносильны: а) х~ Р'; б) !!х!(г = ~ )(х) е ) !г! в) семейство ыт векторов (х) е,)е, суммируемо в Е и х=~,(х(е,) е,. вес 3О3 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА гл, ч,вг 2' Если )г полно, то семейство векторов (х~ е,) е, суммируемо в Е для каждого х Е Е и ~~Р~ (х ~ е) е, = Ру (х),,)Р~ ) (х ! е) )г = ~( Рг (х) )) '. 'ат 'Ет 3" Если У полно, то для каждого семейства (),) скаляров, для которого ~~,', ~)', ~г <+ Оп, существует однозначно определенная точка х~Ъ' такая, что (х~е,)=)ч для каждого ~~Е Если (р,) — второе семейство скаляров, для которого ~~.', ( р, ~г(+ Оо, ' ~бг ь.х и у~'ьг таково, что (у',е,)=1ь, для каждого ь~Е то (х~у)= = Х);р,.
'чг Пгедложение 5. Пусть (е,), — ортонормальное семейство в отделимом предгильбертовом пространстве Е. Следующие свойства равносильны: а) семейство (е,) тотально; б) для каждого х~ Е семейство векторов (х~ е,) е, суммируемо в Е и х=,~,(х(е)е,; ~йг в) для каждого х ~ Е ~(г = ~ь ( (х ( е ) (г (2) 'ет (равенство Парсеваля). Если Š— гильбертово, то зти условия равносильны еще следующему: г) если (х ( е,) = О для всех ь ~ Е то х = О.
Равносильность условий а), б), в) сраау следует из предложения 4. Равносильность условий а) и г), когда Š— гильбертово, вытекает из следствия теоремы 3 3 1. Опгеделение 3. Ортонормальное тотальное семейство в предгильбертовом пространстве Е называется ортонормальным базисом етого пространства. Пусть (е,) — ортопормальный базис пространства Е; числа (х(е,), допуская вольность речи, называют координатами вектора х~Е относительно базиса (е,).
Ортонормальный базис отделимого предгильбертова пространства Е является также ортонормазьным базисом пополнения этого простран. ства. 309 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА Ортонормальный базис пространства Е не есть базис Е над телом К в смысле, определенном в Алг., гл, 11, ф 1, и' б; чтобы избежать путаницы, мы базис предгильбертовз пространства Е в смысле этого последнего определения всегда называем алгебраическим базисом Е над К. 4. Орпгонормалмзация Теоевми 2.
Каждое ортонормальное множество Е з гильбертозом пространстве Е содержится з некотором ортонормальном базисе В итого пространства. Действительно, пусть Π— множество всех ортонормальных подмножеств пространства Е, упорядоченное по включению. Ясно, что зто — множество конечного характера (Теор. мн., Рез., $ 6). Следовательно, в силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез., 6 6, п' 10), в г) существует максимальное множество В, содержащее Е.
Остается показать, что  — тотальное множество. Но в противном случае существовал бы вектор у чь О, ортогональный ко всем векторам из В (предложение 5), и умножая у на надлежащий скаляр, можно было бы сделать ()у(! = 1. А тогда В(1 (у,' было бы ортонормальным множеством, отличным от В и содержащим В, в противоречие с определением множества В.
Тем самым теорема доказана. Следствие. В каждом гилъбертовом пространстве существует ортонормальный базис. Достаточно применить теорему 2 к случаю, когда Е= 8. Пгедложенне 6. Пусть Š— отделимое предгильбертозо пространстло и (а„) — счетное свободное семейство его векторов. В Е существует однозначно определенное ортонормальное семеистзо (е„), обладаюгцее следующими свойствами: 1' Для каждого целого р > 0 векторное подпространстзо, порожденное векторами ео е,, ..., е, совпадает с векторным подпространстзом, поро~кденным векторами а,, аг, ..., ар.
2' (а„~е„) вещественно и > 0 для каждого номера и. Действительно, пусть $гя — подпространство (размерности и), порожденное векторами ао а,, ..., а„, н Ья„,=а„э,— Р (а„„) (где Р, — ортогональный проектор на полное векторное подпространгп ство Рп). Кбя,, есть ортогональное дополнение к )г„в Ъ'яьн так гл.
ч, а г гнльвнятовы ПРОСТРАНСТВА что если векторы е„ удовлетворяют условию 1'. то необходимо е„+, —— Цгв~;, условие ~з'е,э,'1= 1 дает тогда (),~г'бд„+х'бх = 1, а условие (а„+,(е„+,) ) 0 дает ).(а„,)Ь„+х) ~ О; но это вполне определяет ). и, следовательно, доказывает, что ортонормальное семейство (е„), удовлетворяющее условиям 1' и 2', допускает определение по индукции, и притом однозначным образом. Говорят, что семейство (е„) получено посредством ортонормализации свободного семейства (а„). Очевидно, векторное подпространство, порожденное семейством (е„), совпадает с векторным подпрострапством, порожденным семейством (а„).
В частности, если (а„) — тотальная последовательность, то н (е„) — тотальная последовательность и, значит, является ортонормальиым базисом пространства Е; отсюда: Следствие. В каждом отделимом предгильбертовом пространпиве Е счетного типа существует счетный ортонормальный базис.
Действительно, утверждение, что Š— счетного типа. означает. что Е содержит тотальную послеловательность, а иэ такой последовательности всегда можно выбрать тотальное свободное семейство (Алг., гл. П, $3). Можно дать примеры отделимых прелгнльбертозых пространств не обладающих никаким ортонормальнын базисом (упражненне 2). Для каждого множества индексов Р обозначим через Ек(У) гильбертово пространство, являющееся внешней гильбертовой суммой семейства (К), где К,=К для каждого ~Ег; иными словами, Ек(/) — векторное пространство всех семейств х=(1,), элементов из К, имеющих 7 своим множествои индексов и таких, что ~~'.,~(,~г к 1бг (+ со, со скалярным произведением (х (у) = ~~~~~ бл,.
Следствие тео~бг ремы 2 показывает, что каждое гильбертово пространство над К изоморфно некоторому пространству Ел()). Пгвдложвнив 7. Любые два ортонормальных базиса одного и того же гильбертова пространства Е равномощны. Пусть В и С вЂ” два ортонормальных базиса пространства Е. Случай, когда одно иэ множеств В, С конечно, тривиален, поскольку овтогонлльныи сиыийствл конечный ортонормальный базис является и алгебраичесним базисом пространства. Предположим поэтому, что В и С бесконечны.
Пусть А для каждого х~ — часть С. образованная теми у~С, для которых (х(у) чь О. Множество Аи счетно (предложение 4). Для каждого у~С существует хЕВ такое, что у~А~, поскольку  — ортонормальный базис, а у+О; иными словами, С есть объединение счетных множеств А, где х пробегает В. Поэтому мощность множества С не выше мощности произведения г) )( В, т. е.
мощности множества В (Теор. мн., Рез., э 7); точно так же мощность множества В не выше мощности множества С, и предложение доказано. Кардинальное число произвольного ортонормального базиса гильбертова пространства Е называется гильбертовой размерностью этого пространства. Слвдствив 1. Для каждых двух ортонормальных базисов гильбертова пространства Е существует автоморфизм этого пространства, преобразующий первый базис во второй. Слвдствив 2. 3ля того чтобы гильберльовы пространспьва Ел(7) и Ел(У) были изоморфны. необходимо и достаточно, чтобы 2 г г' и г были равномоигны.
Упражнения. *1) Пусть  — ортонормальный базис в бесконечномериом гильбертовом пространстве Е. а) Показать, что каждое всюду плотное в Е множество имеет мощность, не меньшую мощности В, и что в Е существует всюду плотное множество, равиомощиое с В. б) Показать, что мощность Е равна мощности В". (Для устаио вления того, что мощность Е не превосходит мощности В"', использовать а).) в) Показать, что если мощность В не превосходит мощности континуума, то каждый алгебраический базис пространства Е имеет мощность континуума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
