Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Язык Гильберта остается еще классическим, и на всем протяжении своих ,()гппбгбйе" Гильберт не упускает из виду приложений теории, излагаемых на большом числе примеров (занимающих около половины книги). Слелующее поколение предпочло уже стать на гораздо более абстрактную точку зрения. Под влиянием идей Фреше и Ф.
Рисса, относящихся к общей топологии (см. Исторический очерк к гл. ! Общ. топ.), Э. Шмидт (Ч!!1б) и сам Фреше смело ввели, в 1907 — 1908 годах, язык евклидовой геометрии в (вещественное или комплексное) „пространство Гильберта'! именно в этих работах содержатся первое упоминание нормы (с современным обозначением !!хй), неравенство треугольника, которому ,она удовлетворяет, тот факт, что пространство Гильберта ,сепарабельио" и полно; кроме того, Э. Шмидт доказывает существование ортогональной проекции на замкнутое линейное многообразие, что позволяет ему придать гильбертовой теории линейных систем более простой и общий вид.
В том же 1907 году Фреше и Ф. Рисе заметили, что пространство функций с интегрируемым квадратом обладает совершенно аналогичнон „геометрией"; эта аналогия полностью выяснилась, когда немного позже Ф. Рисе и Э. Фишер доказали, что это пространство полно и изоморфно „пространству Гильберта", блестящим образом выявив одновременно значение незадолго до этого созданного Лебегом орудия. С этого момента основные черты теории гильбертовых пространств можно считать определившимися; из более поздних достижений особо следует упомянуть аксиоматическое изложение теории, данное к 1930 году М. Строуном и И. фон Нейманном, а также отказ от ограничения .сепарабельиостью", осуществленный около 1934 года в работах Реплика. Лйвига и Ф.
Рисса (!Хд). Тем временем в первые годы двадцатого века и другие идейные течения усиливали тенденцию, приведшую к теории нормированных пространств. В последние десятилетия девятнадцатого века в связи с вариационным исчислением, с одной стороны, и теорией интегральных уравнений — с другой, *) Следует отметить, что вплоть до 1935 года под „непрерывной" функцией всегда практически понимали отображение, преобразующее каждую сходящуюся последовательность в сходящуюся последовательность. ч*) По Гильберту, билинейная форма В (х,у) вполне непрерывна, если В (хв, у„ ) стремится к В(х, у), когда последовательности (хп) и (ув) слабо сходятся соответственно к х и у. 325 ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧВРК К ГЛАВАМ Ь Ч сформировалась общая идея .функционала" (т.
е. числовой функции, определенной на множестве, элементы которого сами являются числовыми функциями одного или нескольких вещественных переменных). Но хотя своим появлением на свет это понятие, как и более общая идея .оператора', было обязано в первую очередь итальянской школе — Пинкерле и особенно Вольтерра, — работы этой школы имели обычно довольно формальный характер и занимались задачами частного типа, причем в них отсутствовал сколько- нибудь серьезный анализ лежащих в основе топологических понятий. В 1903 году Адамар положил начало современной теории .топологической' двойственности, задавшись задачей разыскания наиболее общих непрерывных линейных .функционалов" на (наделенном топологией равномерной сходи- мости) пространстве (у(!) всех непрерывных числовых функций на компактном интервале 7 и охарактеризовав их как пределы последовательностей интегралов х -ь ~ йм (Г) х (Г) Ж.
С другой стороны, в 1907 г. Фреше и Ф. Рисс Х доказали, что непрерывные линейные формы на пространстве Гильберта— это введенные Гильбертом,ограниченные" формы; далее, в 1909 году Ф. Рисс придал теореме Адамара окончательную форму; выразив каждый непрерывный линейный функционал на С(1! интегралом Стилтьеса, что послужило позже отправным пунктом современной теории интегрирования (см.
Исторический очерк к книге Ч1, гл. П вЂ” Ч), В следующем году снова Ф. Рисс (!Ха) сделал новый и важный шаг в теории введением и изучением (по образцу теории пространства Гиль- берта) пространств П'(У) функций с суммируемой р-й степенью на интервале 7 (ядя показателей р, удовлетворяющих условию 1(р.
+со), п(юдолженным три года спустя (!Хв) аналогичной работой о пространствах последовательностей УУ(!з!); эти исследования, как мы позже увидим, сделали очень много для выяснения идей двойственности тем, что здесь впервые встретились два пространства в двойственности, между которыми не было естественного изоморфизма ч).
С этого момента Ф. Рисс размышляет об аксиоматическом исследовании, охватывающем все эти результаты ((!Ха), ст)ь 452); и можно полагать, что лишь щепетильность аналитика, озабоченного тем, чтобы не слишком удалиться от классической математики, удержала его от написания в такой форме его знаменитого мемуара 19!8 года о теории Фредгольма (!Хг).
В принципе он рассматривает пространство С (У) всех непрерывных функций на компактном интервале й но определив в этом пространстве норму и заметив, что С (7), снабженное втой нормой, полно, он нигде в своих дальнейших рассуждениях не пользуется ничем, кроме аксиом полных нор- *) Хотя двойственность между йг и й неявно встречается в большинстве работ этого времени, относящихся к интегралуЛебега, лишь в 1918 году Г. Штейнгаузом было доказано, что каждая непрерывная линейная форма иа ьг(у) (для конечного интервала 7) имеет вид х-» ~ 7(Г)х(Г) М,гдеу чу.~(7).
Г истопичнскии очкпк к гллвлм 1-ч 326 мированных пространств ч). Не входя здесь в подробное рассмотрение втой работы, упомянем, что именно в ней впервые определяется общим образом понятие вполне непрерывного линейного отображения (свойством преобразовывать некоторую окрестность в относительно компактное множество) «*); и — истинным шедевром аксиоматического анализа — вся теория Фредгольма (в ее качественном аспекте) сводится к одной фундаментальной теореме, а именно, что каждое локально компактное нормированное пространство конечномерно. Общее определение нормированных пространств было дано в 1920— 1922 годах С. Банахом, Х.
Ханом и Э. Хелли (причем последний рассматри вал лишь пространства последовательностей вещественных или комплексных чисел). В последующее десятилетие теория этих пространств развивалась главным образом вокруг двух вопросов, имеющих фундаментальную важность для приложений: теории двойственности и теорем, связанных с понятием ,категории' Бара. Мы видели, что идея двойственности (в топологическом смысла) восходит к началу двадцатого века; она лежит в основе теории Гильберта и занимает центральное место в работе Ф. Рисса. Этот последний, например, заметил в 1911 году ((!Хб), стр. 4! — 42), рассматривая пространство аз Я, что соотношение !У (х))ч М!!х!! (принятое за' определение .ограниченных" линейных функционалов в пространстве Гильберта) равносильно непрерывности У, пользуясь при этом рассуждением совершенно общего характера.
В связи с характеризацией непрерывных линейных функционалов иа ьт(7) он заметил также, что условием для того, чтобы множество А было плотно в (у(!), является несуществование на 1 никакой меры Стнлтьеса Р ~ О, которая была бы .ортогональна" ко всем функциям из А (обобщив этим условие Грама для полных ортонормальных систем); наконец, он установил, в той же работе, что сопряженное к пространству 7. .больше пространства мер Стилтьеса ((!Хб), стр. 62). С другой стороны, в работах о пространствах И (7) и ув (й!) Ф.
Риссу удалось видоизменить метод решения линейных систем в пространстве Гильберта, предложенный Э. Шмидтом (Ч!!!6), сделав его применимым в более общих случаях. Идея Э. Шмидта состояла в определении .экстремального" решения уравнений (6) путем разыскания точки замкнутого линейного многообразия, представляемого этими уравнениями, находящейся на ч) Впрочем, Ф.
Рисе явно указывает, что применение его теорем к непрерывным функциям является здесь лишь „пробным камнем' для гораздо более общих концепций ((!Хг), стр. 71). чч) В своих работах о пространствах йя Ф. Рисс определял вполне непрерывные отображения, как отображения, преобразуюгцие каждую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, что (учитывая слабую компактность единичного шара в пространствах уи, где 1(р(+оз) равносильно в этом случае данному выше определению; кроме того, Ф. Рисе указал, что для пространства ь~ его определение (переведенное с языка линейных отображений на язык билинейных форм) равносильно гильбертов- скому ((!Ха), стр. 487).
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1-Ч 327 минимальном расстоянии от начала. Используя ту же идею, Ф. Рнсс показы- вает, что для существования функции хб УР(а, Ь), удовлетворяющей урав- нениям Ь / аг (Г) х «) бт = Ь, а «=1, 2,...), (9) 1 ! в которых функции а; принадлежат 74, где — + — = 1, и, кроме того, усло- Р 4 вию ~ !х(г)',Ржч,й(Р, необходимо и достаточно, чтобы для любой коиеча ной последовательности (11) <.
<и вещественных чисел выполнялось не141<п равенство 1 ! и ! Ь и (Ч )«' Ъ,Ь1 .С;1Ы ~ ~ Хгаг(Г) г(Г 1 1 а (10) В 1911 году (!Хб) он рассматривает аналогичным образом .обобщенную проблему моментов", заключающуюся в том, чтобы решить систему Ь ~яг(Г)бй«)=Ь! «=1,2, ...), о а) Классическая „проблема моментов" отвечает тому случаю, когда интервал !а, Ь( есть )О, + сс( или ) — со, + оз(, а а1(Г) = (1; кроме того, от меры $ требуется еще положительность (в своем мемуаре 1911 года Ф. Рисе указывает, как должны быть видоизменены его общие условия при разыскании решений этого типа).
Среди различных методов решения классической проблемы моментов следует особо отметить метод М. Рисса, изящно соединившего общие идеи функционального анализа и теории функций комплексного переменного для получения явных условий, которым должны удовлетворять Ьг (Бпг !е ргоЫеше де шогпеп!з, 3., Аг11. !бг Ма!Ы, т. ХЧ!! (1922 — 1923), па 16, 52 стр.). **) Как и ф. Рисс ((!Хб), стр. 49 — о0), Хелли использует в этом доказательстве .принцип выбора", т. е., разумеется, не что иное, как слабую компактность единичного шара в пространстве мер Стилтьеса; ф.
Рисс пользовался аналогичным свойством также в пространствах ).Р(!с рч. + оо). где аз неврерывны, а неизвестной является мера Стилтьеса (а); и здесь ясно видно, что эту проблему можно сформулировать как проблему определения непрерывного линейного функционала на су(7) по его значениям на заданной последовательности точек этого пространства. В такой форме Хелли и рассматривал эту проблему в 1912 году — получив условия Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
