Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 78
Текст из файла (страница 78)
1, й 3, следствие 5 теоремы 1). 'Голголлор4мэлгы 7. Пусть Е и Š— топологические векторные пространства и и— линейное отображение Е в Е. Говорят, что и — гомоморфиэм, если — 1 ,ассоциированное с и взаимно однозначное отображение Е(п(0) на и(Е) .есть ивоморфизм (для структур топологнческого векторного пространс ства); для этого необходимо и достаточно, чтобы и было непрерывно и образ каждого открытого множества из Е был открытым множеством в и(Е). Пусть и — непрерывное линейное отображение Е в Р; каждое из следующих двух свойств достаточно для того, чтобы и было гомоморфиэмом: а) л(Е) отделимо и конечномерно (гл. 1, $ 2, следствие предложения..3); б) Е и м (Е) метризуемы и полны (гл.
1, й 3, теорема 1). 341 5 Х ЛИНЕИНЫЕ И ПОЛИЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Каждый гомоморфизм и пространства Е на и(Е) при заданных исходных топологиях в Е и Р есть также гомоморфизм при ослабленных топологиях в(Е, Е') и в(Р, Р'). Билинейные отображения 8.
Пусть Е, Р, 0 — топологическне векторные прострзнства и а — билинейное отображение Е Х Р в О. А!Ля того чтобы и было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывно в точке (О, О). 9. Обозначим через и . для каждого х~Е линейное отображение у-+и(х, у) пространства Р в 0 и через а.„для каждогоу~Р— линейное отображение х-+и(х, у) пространства Е в О.
и называется раздельно непрерывным, если и . и и.я непрерывны, каковы бы ни были х~Е и у~Р. Для этого необходимо н достаточно, чтобы и.в было непрерывно при каждом у~Р н отображение у-+и.я пространства Р в Ь(Е, 0) было непрерывно при наделении Е(Е, О) топологией простой сходимости. Каждое непрерывное билинейное отображение раздельно непрерывно. 10. Пусть и — раздельно непрерывное билинейное отображение Е Х Р в 0 и ю †покрыт пространства Е уравновешенными ограниченными множествами. Следующие свойства равносильны: а) Для каждой окрестности нуля %' из 0 и каждого М~ Я существует окрестность нуля Р' в Р такая, что и(М )( 'Р') г= 1Р'. б) Образ каждого М~Я при отображении х-+ и .
есть равно- степенно непрерывное множество в Ь(Р, О). в) у-+а.я есть непрерывное отображение Р в Еи(Е, 0). Раздельно непрерывное билинейное отображение и, обладаюшее приведенными свойствами, называется Ь-гипонепрерывным. Если и Я-гипонепрерывно, то и (М )с, В) ограниченно в 0 для каждого М ~ Ь и каждого ограниченного множества В из Р, причем сужение и на М ;~ Р непрерывно. 11. Поменяв в вышесказзнном ролями Е и Р, приходим к опреаелению понятия Х-гипонепрерывности, где Х вЂ” покрытие пространства Р уравновешенными ограниченными множествами. Билинейное отображение и произведения Е)<Р в О, являющееся одновременно С-гипонепрерывным и Х-гипонепрерывиым, называется (Я, Х)-гипо- 342 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ непрлрыаным.
Суженис такого отображения на каждое М х, )ч', где М~Я и У~7. равномерно непрерывно. 12. Непрерывное билинейзое отображение Е Х Е в 0 (Я, Х)-гипоиепрерывно при любых Ь и 7. Если Š— бочечное пространство, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение Е Х Е в 0 Я-гипонепрерывно при любом Я (гл. !11, 9 4, предложение 6). Если Е метрнзуемо, а Е метризуемо и бочечно, то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение Е Х Г в О непрерывно (гл. Ш, ф 4, предложение 2). 13. Пусть Ее и Еа †всю плотные векторные подпространства в Е и Е соответственно.
Пусть, далее, =,„ (соотв. Х„) — покрытие Ее (соотв. Е ) уравновешенными ограниченными множествами такое, что каждая точка из Е (соотв. Е) есть точка прнкосйовения некоторого множества из Сз (соотв. 1е). Пусть, наконец, Я (соотв. $) †множество замыканий в Е (соотв, Г) всевозможных множеств из Яз (соотв. Хв). Если тогда 0 отделимо и квазнполно, то каждое (Яе, $з)-гипонепрерывное билинейное отображение Ее Х Ез в О однозначно продолжается до раздельно непрерывного билинейного отображения Е Х Е в О, причем последнее (З, л.)-гипонепрерывпо.
14. Пусть )с, 5 и Т вЂ” отделимые локально выпуклые пространствз. Будем всюду в этом и' предполагать, что Ь~й, 5), Е(5, Т) и Ь(Я, Т) наделены все три топологией простой (соотв. компактной, ограниченной) сходимости. Тогда отображение (и, о)-+ о о и произведения Е(й, 5) >( Е(5, Т) в Е(Я, Т) (ж, Х)-гипонепрерывно, где 7— множество всех равностепенно непрерывных подмножеств из Е(5, Т), а Ь вЂ” множество уравновешенных оболочек всевозможных конечных подмножеств из Е(Й, 5) (соотв.
всех уравновешенных компактных или ограниченных подмножеств пз (. (й, 5)) (гл. П1, ф 4, предложение 9). В частности, это билинейное отображение непрерывно на каждом произведении Е(й, 5) )( 11, где Н вЂ” равностепенно непрерывное множество из Е(5, Т). Если 5 бочечно, (м„) — последовательность из Е(И, 5), сходящаяся к и, и (оя) — последовательность из Е(5, Т), сходящаяся к о, то последовательность (о„пи„) сходится в Ь(й, Т) к о~ и (гл.
1И, ф 4, следствие 2 предложения 9). аз. подпэостэднствл; алктоэпяостэлнствл; пэонзввдвния 343 ф 3. Подпространства; факторпространства; произведения; прямые суммы Подпространспгва 1. Пусть Š— топологическое векторное пространство и М вЂ е векторное надпространство. Топологии, индуцируемая в М из Е. превращает М в топологическое векторное пространство, называемое гпопологическим векторным подпространством пространства Е.
Если Е отделимо (соотв. метризуемо, локально выпукло), то и М отделимо (соотв. метризуемо, локально выпукло). Если топология пространства Е определяется некоторым семейством полунорм, то топология подпространства М определяется сужениями этих полу- норм на М. 2. Замыкание М в Е есть векторное подпрострапство в Е. Если М конечпомерно, а Е отделимо, то М замкнуто в Е (гл. 1, й 2, следствие ! теоремы 2). Каждая гиперплоскость либо замкнута, либо всюду плотна; для ее замкнутости необходимо и достаточно, чтобы она была ядром непрерывной линейной формы (гл. 1, й 2, теорема 1). 3.
Замкнутым векторны.м подпространством, порожденным множеством А~Е, называется замыкание векторного подпространства, порожденного этим множеством; это — наименьшее замкнутое векторное подпространство, содержащее А. Если Е локально выпукло, то это подпространство есть также пересечение всех зам«нутых гиперплоскостей из Е, содержащих А, или также множество общих нулей всех непрерывных линейных форм на Е, анпулирующихся нз А (гл. !1, й 3, следствие 3 предложения 4). Множество Аг=Е называется тотальным, если порождаемым нм замкнутым векторным подпространством служит вой Е.
Лля того чтобы подмножество А локально выпуклого пространства Е была тотальным, необходимо и достаточно, чтобы всякая непрерывная линейная форма на Е, равная нулю на А. была тождественно равна нулю. 4. Семейство (х),~, точек из Е называется пгопологичесии свободным, если для каждого я~У замкнутое векторное надпространство, порожденное теми х„у которых ~ чих, не содержит х„. Топо- логически свободное семейство и алгебранчески свободно; конечное алгебраически свободное семейство в отделимом пространстве тополргнчески свободно. Лля того чтобы семейство (х„)„,д точек ло- 344 сводка гизгльтлтов кально выпуклого пространства Е было топологически свободным, необходимо и достаточно, чтобы на Е существовало семейство (/ь), с непрерывных линейных форм такое, что ~г(х ) = о,„ (где йг — символ Кронекера).
В предгильбертовом пространстве каждое ортонормальное семейство топологически свободно. Фантораростра нет во 5. Пусть Š— топологическое векторное пространство и М вЂ” его векторное подпространство, Фактортопология топологии пространства Е по М превращает Е/М в топологическое векторное пространство, называемое типологическим векторным фикторпрострвнстаом простринстаи Е но М.
Лля того чтобы Е/М было отделимым, необходимо и достаточно. чтобы М было замкнуто в Е. Если Е локально выпукло, то Е/М локально выпукло; если топология пространства Е определяется фильтрующимся семейством Г полу- норм, то топология в Е/М определяется полунормами р(х)= 1пг р(з), «Еи где р пробегает Г. Если Е метризуемо и полно, то Е/М метризуемо н полно, но Е может быть полным (не метризуемым) и без того, чтобы Е/М было полно. Произведения топо«гогинесках векторных лространств 6. Пусть (Е,), — семейство топологических векторных пространств. Произведение нх топологий превращает Е=ПЕ, в топо'Ег логическое векторное пространство, называемое произведением топо- логических векторных нростринств Е,. Лля того чтобы ПЕ, было 47 отделимым (соотв. локально выпуклым, квазиполным, полным), необходимо и достаточно, чтобы таким было каждое Е,.
Если топология каждого Е, определяется семейством Г, полунорм, то топология произведения ПЕ, определяется полунормами р, « /„ где р, ~ Г„ а У, озна~Ег чает проекцию ЦЕ, на Ег 7. Произведение счетного семейства метризуемых векторных пространств метризуемо. Каждое локально выпуклое пространство изоморфно подпространству некоторого произведения банаховских 6 э. пОдпРОстРАнстВА; ФАктОРпРОстРАнствА; пРОизВедения 345 пространств.
Каждое метризуемое локально выпуклое пространство изоморфно подпространству произведения счетного семейства банаховских подпространств. Конечные крммые сулелеы 8. Пусть Š— топологическое векторное пространство, являющеесм (для структур векторного пространства) прямой суммой конечного семейства (М;),<е<„его векторных подпространств. Если отображение (х;),<г<„-+~~.', хг произведения ЦМг на Е есть изоморфийы г —. г Ео1 топологических векторных пространств, то Е называется топологической прямой суммой подпространств Мб если Е отделимо, то Мг тогда замкнуты в Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
