Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Наконец, и главныи ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — Тг ЗЗ1 образом, несомненно, что основным импульсом, мотивнровавшим эти исследования. послужили новые возможности приложения к анализу в областях, где теория Банаха оказалась недейственной; в этой связи следует упомянуть теорию пространств последовательностей, развитую Кйте, Теплнцом и нх учениками в ряде мемуаров после 1934 гола (ХЧ), недавнее придание совершенной формы теории ,аналитических функционалов' фантапье н особенно теорию распределений Л. Шварца (ХЪ'1), в которой современная теория локально выпуклых пространств нашла поле применений, несомненно, еще далекое от исчерпания. БИБЛИОГРАФИЯ (!) С, Б ! и г в: а) Бит 1ев ес(иабопв бб(бгепбейев Ипба!гев ди зесопд о!иге, Уоигп.
де Май. (1), 1 (1836), 106 — 186; б) Бит ипе с!авве арециабопв а б!Иегепсез рагбеИев, там же, стр. 373 — 444. (И) у. $.!опч!$! е: а) Бит (е дете!орревеп! дев $опсбопз ои рагбев де 1опсбопв еп ьбг(ев боп! (ев Й!чего 1еппез зоп! авзи)е!Ив а вабв1а!ге а ипе вбве бг(иайоп бй(бгеп!!ейе би зесопд огдге соп!епапг пп рагаве!ге чаг!аЫе, Уоигп. г$е Май. (1),! (1836), 253 — 265, П (1837), 16 — 35 и 418 — 436; б) О'ип !ЛбогЛве дб а М. Б1ипп е! ге(а!И а ипе с!авве де $опсбопз !гапзсепбап!еь, там же, 1 (1836), 269 — 277.
(И1) Л. Р. 0 гав, $)еЬег сйе Еп!цг!сйе(ипд геейег РипЫ!опеп $п йейеп вй!е(в! с$ег Ме!Лоде с$ег Ые!пв!еп Сиад!а!е, Л. с$е Сгейе, ХС1Ч (1883), 41 — 73. ($Ч) Н. М ! п !с оцгзЛ1: а) Оеове!пе бег ЕаЛ(еп, 1-е изд., (.е!рг!д (ТеиЬпег), 1896; б) ТЬеогге дег (сопчехеп Кбгрег, Оезаввепе АЬЛапб(ипаеп, т.
11, стр. 131 — 229, $ егрх!д — Вегйп (ТеиЬпег), 1911. (Ч) Н. Р о ! п с а г б г а) Бит !ев бциабопв де 1в Р!гуз!0ие ва!Лбваг!9ие, йепб. Ра$еппо, ЧШ (1894), 57 — 156 (= Оеичгез, т, $Х, стр. 123 — 196, Рапв (Оаий!ег — ЧП!агь), 1954); б) 1.а гпМЛобе де Неивапп е! 1е ргоЫЛве де ВбпсЫе1, АсСа Ма!Лсвабса, ХХ (1896), 59 — 142 (= Оеичгев, т. 1Х, стр. 202 — 272, Раг!з (Оаий!ег — ЧИ(агь), 1954). (Ч!) 1. Рте д Л о ! в, Бит ипе с(авве д'ециабопв гопсИоппеИев, Асга МайеваИса, ХХЧ$1 (1903), 365 — 390. (Ч$1) О.
Н ! ! Ь е г 1, Огипбхйде е(пег айдеве!пеп ТЬеог!е дез Ипеагеп !п!сига!- к(е!сЛипйеп, $.е!Рх$к — ВегИп (ТеиЬпег), 1912 ( =' О!И!. Ь)асЛг'., 1904, 1905, 1906, 1910). (ЧИ1) Е. Бс Л в 1г$ 1: а) Еиг ТЛеогге бег Ипеагеп ипд пюЫИпеагеп !п!екга1- и(е!сЛипдеп, 1. Теб: Еп!иг!сце(ипи чНИ!сбгйсЛег РипЫюпеп пасЛ Був!епгеп чогиеьсЛг!еЬепег, Май. Апп., !.ХШ ($907), 433 — 476; б) $)еЬег д!е АиПОзипд Ипеагег 0$е(сЛипчеп вй ипепбйсЛ тие(еп $)пЬеаапп!сп, йепб. Ра(егво, ХХЧ (1908), 53 — 77.
(1Х) Р. й! евх: а) 1)п!егзисЛипдеп бЬег Бух!есле гп!екг!егЬагег Рип(гбопеп, Ма!Ь. Аппа(еп, !.Х!Х: (1910), 449 — 497; б) Бит сег1а!пз вув!Лвев ьгпдиИегв д'49иайопь !п!Лдга(еь, Апп. Ес. Но!в. Бир. (3), ХХЧП! (1911), 33 — 62; в) Сев вув!евеь д'ециабопз Ипба)геь В ипе $пИпйе д'!псоппиев, Раг!в (Оаий!ег — ЧИ(агь), 1913; г) ОеЬег Ипеаге Рипйбопа(8(е!спипйеп, Ас!а Ма!Левабса, ХЫ (1918), 71 — 98 [русский перевод: ф Рис с, О линейных функциональных уравнениях, Успехи математических паук, 1(1936)„ ВИВЛИОГРАФИЯ ззз 175 — 199)! д) Лиг ТЬеог!е дев НПЬегйсйеп Пани!ее, Асга !ЬЬ ас. вс!еп!. (ВхеХед), ЧН (1934 †), 34 — 38, (Х) Е.
Не!1у, УеЬег Був!егпе Ипеагег О!е!Липяеи гпИ ипепдИсЛ ч!е!еп ОпЬейаппгеп, Мопагзйейе !Вг Май. ипб РЛуя!г, ХХХ1 (1921), 60 — 91, (Х1) Н. Н а Ь и, 1!еЬег Ипеаге О!е!сйипнвзувгеиге 1п Ипеагеп Иаипгеп, 3. де СгеИе, С(.ЧН (1927), 214 — 229, (ХИ) 8. В апас Л: а) Бпг !е ргоЫЛгпе де !а гпевиге, Гнид. Май., !Ч (1923), 7 — ЗЗ; б) Биг !ев !опсбоппеИев Ипйа!гез, 8!нгИа Май., ! (1929), 211 — 216 и 223 — 239! в) ТЛеог(е дев орагаИопз Ипйа!гев, ЪЧагзхаага, 1932 (украинский перевод: С.
Б а н а х, Курс функц!онального анан!зу, Ки1в, 1948!. (ХЬИ) 8. Ва пасЛ, Н. 8!е!пЛаив, Бнг !е рг!пс!ре де сопдепваноп дев в!иди!аг!гйв, Рипд. Май., 1Х (1927), 50 — 61. (Х!Ч) О. ЪЧ. М а с !с е у: а) Ои !пИпйе-д!игепз!опа! Ипеаг врасев, Тгапв, Ангес. Май. Бос., 1.ЧН (1945), 155 — 207; б) Ои сопчех !оро!о3!са! врасев, Тгапв. Агиег. Ма!Л. 8ос., !.Х (1946), 519 — 537. (ХЧ) О. К о ! Л е, Л(енЬеагйпдип9 бег ТЛеог!е бег чоПЛоигигепеп Ианигс, Ма!Л.
Насйг., 1Ч (1951), 70 — 80. (ХЧ!) 1 Бс Лиг аггх, ТЛеаг!е г(ев б!вгг!Ьииопв, Ас!иа!. Бс!еп!. ег!пг1., и'и' 1091 и 1!22, Рагй (Неппапп), 1950 — 51. СВОДНА РЕЗУЛЬТАТОВ Введение результаты, сформулированные в этой сводке, сгруппированы вокруг фундаментальных понятиЯ теории топологических векторных пространств. Некоторые формулируются несколько раз; кроме того, нередко случается, что какое-нибудь понятие упоминается в параграфе, предшествующем тому, где оио определено; терминологический указатель, помещенный в конце книги, содержит точную ссылку на то место этой сводки, где дано его определение, Понятия и реаультаты книг 1 — 1У, использованные в книге У, предполагаются навестными ь). Соответственно своему характеру эта сводка не содержит никаких доказательств сформулированных в ией результатов; наиболее трудные теоремы сопровождены ссылкой на место книги, где находится доказательство.
$ 1. Топологнческие векторные пространства; окрестности, полунормы, ограниченные множества Под векторным пространством всюду в этой сводке понимается векторное пространство, телом скаляров которого служит тело К всех вещественных чисел или тело С всех комплексных чисел. Если в формулировке какого-либо утверждения тело скаляров явно не упомянуто, то подразумевается, что это утверждение справедливо как в том случае, когда телом скаляров служит Й, так и в том случае, когда телом скаляров служит С. Тоиологические векторные пространства 1. Вещественным (соотв.
комплексным) топологическим векторным пространством называется множество Е, наделенное структурой векторного пространства над В (соотв. С) и топологией, согласующейся со структурой аддитнвной группы в В и удовлетворяющей, кроме того, следующей аксиоме: ") См. Приложения 1 и Ш.— Прим. перев, а ь топологнческне вектоеные пгостванствл 335 (ЕНТ) Отображение (Л, х) -+ Лх произведения И Х Е (соотв. С Х Е) е Е непрерывно. Тогда мы говорим, что структура векторного пространства в Е и топологическая структура согласуются.
Если Š†комплексн топологическое векторное пространство, то ограничение тела скаляров телом Й превращает Е в веществен- ное топологическое векторное пространство Еь, именуемое базисным для пространства Е, 2. Каждое отделимое топологическое векторное пространство конечной размерности и над (ч (соотв.
С) изоморфно произведению )с" (соотв. С") (гл. 1, 3 2, теорема 2). Кажлое отделимое топологи- ческое векторное пространство, в котором существует предкомпакт- ная окрестность нуля, конечномерно (гл. 1, $ 2, теорема 3). 3. Множество А в векторном пространстве Е называется ураено- еешенкым, если ЛА~А для каждого Л с 1Л! (1. Уравновешенной оболочкой произвольного множества А ив Е называется наименьшее уравновешенное множество, содержащее А: это — объединение всех ЛА с )Л! ~ 1.
В отделимом топологическом векторном пространстве уравновешенная оболочка компактного множества компактна. Множество А в векторном пространстве Е поглощает множе- ство В, если существует и ) О такое, что ЛА~В для всех с (Л() и. Множество А в Е называется поелощающим, если оно поглощает каждую точку иа Е. В топологическом векторном про- странстве окрестность нуля — поглошающее множество; в локально выпуклом пространстве бочка — поглощающее множество.
4. В топологическом векторном пространстве существует фунда- ментальная система Я аамкнутых окрестностей нуля такая, что: (ЕЧ,) Каждое У ~ Ь вЂ” уравкоеешенное и поглощающее. (ЕЧп)Я инвариантно относительно всех гомотетий с ненуле- вым коэффициентом. (ЕЧп,) Для каждого )гЕ Я существует В'~ Я такое, что Уе'+ (Р~)г. Обратно, каждый базис фильтра Я в векторном пространстве Е, обладающий свойствами (ЕЧ,) и (ЕЧп1), одноаначно определяет в Е структуру топологического векторного пространства, имеющую Ж фундаментальной системой окрестностей нуля.
Для того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы пересечение всех множеств ив Я приводилось к элементу О. 336 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ 5. Так как в топологическом векторном пространстве Е топология согласуется со структурой группы, то она определяет в Е равномерную структуру. Пусть Е отделимо и Š†е пополнение; отображение (Л, х) -ь Лх произведения И ХЕ (соотв. С Х Е) в Е продолжается по непрерывности до билинейного отображения )с )( Е (соотв, С )( Е) в Е; тем самым Е наделяется структурой топологического векторного пространства над )с (соотв. С) и называется пополнением топологического векторного пространства Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
