Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 72
Текст из файла (страница 72)
1Ч, н Š— векторное пространство всех таких двойных последовательностей х = (хг ) вещественных чисел, что Ря(х) =х/ ~аф]хз ]~(+оз длЯ каждого целого п.ьО. Показать, что ря — полуиормы на Е и Е, наделенное топологией, определяемой этими полуиормами, есть монтелевское пространство Фреше. (Рассуждать, как в упражнении 27 й 3 гл. 1Ч.] б) Показать, что сопряженное к Е может быть отождествлено ! ! У пространством Е' всех таких последовательностей х = (х,.у], что ~~~~(а(лу)) ~ х; ~ (+со хотЯ бы дла одного номеРа л.
!. у ъ,э в) Показать, что ]~~~ чч]хф] ] ч +со длякаждого х=(лзу)бЕ. у=! М=! (Использовать неравенство Коши — Буняковского.] Для каждого У~ 1 ГИЛЬВЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА гл. ч, а з положим у = ~~!'хзз так что последовательность и(х) =(у ) булет ! ! принадлежать гильбертову пространству Ет(М). Показать, что и есть гомоморфизм Е па Ех(Х), и вывести отсюда, что в Ех(Х) существуют слабо компактные множества, це являющиеся образами никакого компактного в топологии а(Е, Е') множества из Е при отображении и. [Рассуждать, как в упражнении 21 й 5 гл. !Ч.[ *13) а) Пусть (Е„) — последовательность вещественных банаховских пространств и Š— векторное подпрострапство произведепив Е= Ц Еи, образованное теми последовательностями х=(хи), для и=о СО которьщ ~а[[х„[[х(+со.
Показать,чтофункция [[х[[ = ~~~'[~хи р. и=е и=о на Е есть норма и Е полно в этой норме. Е называется гильбертовой суммой банаховских пространств Еи. б) Показать, что пространство Е', сопряженное к банаховскому пространству Е, отождествимо с гильбертовой суммой сопряженных пространств Е„, причем (х, х') = ~ь', (х„, х ) для каждого х = [х„) Е и=о ЕЕ'. [Показать, что если и — непрерывная линейная форма на Е, и„— ее сужение иа Е„, рассматриваемом как подпростраиство в Е, н а„— точка из Е„, для которой 1[а„[1 = 1, то ряд с общим членом Хини(аи) сходится для каждой последовательности (1„) вещественных чисел такой, что ~ А„ч +со, и вывести отсюда, что ~~!~ (ии(а„))т(+со, и=о и=о используя, например, теорему Баиаха — Штейнгауза для Ез(!4).[ в) Вывести из б), что если все Е„рефлексивны, то Е рефлексивно.
В частности, принимая за Еи пространство К!з, снабженное нормой [[х[1 = зпр [с,[ где х=(ч!)!<!<„, показать, что е рефлексивно, ! ~!~и ио ни для одной нормы на пространстве Е, согласующейся с его топологией, Е не является равномерно выпуклым (й 1, упражнение 15). и)4) Пусть Š— гильбертово пространство счетного типа, (еи)ибх— ортоиормальный базис в Е, множеством индексов которого служит множество всех целых рациональных чисел. Обозначим через и изометРию Е на себв такУю, что и(е„) = еиь! длЯ всех и Р Х, и положим 1 У(х) = 2 (1 — 1[х[1) ее+ и(х). а) Пусть  — щар 1[х[1 ~;1 и 8 — сфера [[х[) = 1.
Показать, что сужение з на В есть гомеоморфнзм В иа себя [заметив, что сужение и на Е есть гомеоморфизм Е иа себя[ и что не существует точки хабВ, для которой бы У(хо) = ха [выразить ха через ее координаты относительно базиса (е„)). з!у аптогонлльнын сдмнпствл 6) Пусть я(х) для каждого хЕ — точка, в которой полупрямая е началом у(х), проходящая через х, пересекает 5. Показать, что я есть непрерывное отображение В а 5 такое, что п(х) = х для всех х 6 5. [См. Общ, топ., г.т.
У1, 6 2, упражнение 8 (м).[ Вывести отсюда, что существует непрерывное отображение Л произведения 5 Х [О, 1[ на 5 такое, что 5(х, 0) = ха и 5(х, !) = х для каждого х6 5. 15) Пусть Š— бесконечномерное вещественное гильбертово пространство счетного типа и (е„)„,, — его ортонормальный базис. а) Пусть А — замкнутаи симметричная выпуклая оболочка множества всех точек —. Показать, что А компактно и не обладает в точке 0 е„ и' ни одной замкнутой опорной гиперплоскостью, ио существуют прямые )), проходящие через 0 и такие, что В ПА =(0). б) Пусть Р— гильбертова сумма ЕфК, еа — вектор, образующий вместе с векторами гя (и) 1) ортонормальный базис пространства Р, и  — замкнутая выпуклая оболочка множества (еа) Ц А.
Показать, что в Р существует замкнутый отрезок Л с началом 0 такой, что Х П В = (0), но цет никакой замкнутой гиперплоскости, проходящей через 0 и отделяющей Е и В (хотя в точке 0 и существует замкнутая опорная гиперплоскость к В). "16) Пусть Е! и Е, — бесконечномерные вещественные гильбертовы пространства счетного типа и Š— гильбертова сумма Е, Я Ет(отождествленная с произведением Ех Х Ет). Пусть (ея)а >, — ортонормальный базис пространства Ег, далее, А — компактное выпуклое множество в Еа, содержащее О, и Π— прямая в Е,, проходящая через О, такие, что 1) П А = (0) и А пе обладает замкнутой опорной гиперплоскостью в точке 0 (упражнение 15). Пусть (ая) и (Зя) — последовательности сч 1 вещественных чисел ',жО такие, что 1!ш 5я= О и 1 — (1. Пусть я -ь са *я Р— множество всех точек д~$ие„нз Ет таких, что 0~(1я~(я» для всех п > !.
Наконец, пусть () — замкнутая выпуклая оболочка в Е множества всех точек (яяе„, к+ йва), где п)~1, а Ф 0 — фиксированная точка прямой В и х пробегает А. а) Показать, что РП!',)=О, ио в Е ие существует замкнутой гиперплоскости, которая бы отделяла Р и Я. б) Пусть Р— гильбертова сумма Е())Я и с — произвольная точка нз Р, не содержащаяся в Е. Показать, что ззостренные выпуклые конусы Р, и (), с вершиной с, порожденные соответственно множествами Р н (), замкнуты в Р, ио никакая замкнутая гиперплоскость в Р це отделяет Рт и ()н [Для установления замкнутости Рх и 9т доказать, что ни Р, ни (;) не содержит полупрямой.[ я) а) Упражнения 116, 15 и 16 сообщил иам Ч.
1.. К!ее. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — Ч (Римские цифры относятся к библиографии„помещенной в конце этого очерка.) Общая теория топологических векторных пространств возникла в течение промежутка времени, длившегося приблизительно от 1920 до 1930 г. Но она подготовлялась задолго до этого исследованием многочисленных проблем функционального анализа; и нельзя излагать ее историю, не указав, по крайней мере в общих чертах, как исследование этих проблем постепенно подводило математиков (особенно с наступлением двадцатого века) к осознанию родственности рассматриваемых вопросов и возможности формулировать их значительно более общим образом и применить к ним единообразные способы решения.
Можно сказать, что аналогии между алгеброй и анализом и идея рассмотрения функциональных уравнений (т. е. уравнений, в которых неизвестной является функция) как „предельных случаев" алгебраических уравнений восходят к первым шагам исчисления бесконечно малых, которое в некотором смысле отвечает этой потребности обобщении .с конечного иа бесконечное".
Но прямым алгебраическим прародителем исчисления бесконечно малых является исчисление конечных разностей (см. Функц. вещ. перец., Исторический очерк к главам 1 — !!1, стр. 161 — 166), а не решение общих линейных систем; и лишь в середине восемнадцатого века обнаружились первые аналогии между этим последним н проблемами дифференциального исчисления, в связи с уравнением колеблющейся струны.
Мы не будем полробио входить здесь в историю этого вопроса; но следует отметить появление двух фундаментальных идей, постоянно встречающихся и в дальнейшем и обязанных обе своим возникновением Д. Бернулли. Первая состоит в рассмотрении колебания струны как „предельного случая" колебания системы и точечных масс, когда и неограниченно возрастает; как известно, эта задача, в случае конечного и, доставила несколько позже первый пример исследования собственных значений линейного преобразования (см. Исторический очерк к главам Ч! — Ч!1 Алгебры); этим числам соответствуют, при указанном .переходе к пределу", частоты .собственных колебаний" струны, экспериментально наблюдавшихся очень давно, теоретически же обоснованных (а именно Тейлором) в начале восемналцатого века.
Эта формальная аналогия, хотя и довольно редко отмечавшаяся в дальнейшем ((!6), стр. 390) по-видимому, никогда в течение девятнадцатого века не терялась из виду; но, как мы дальше увидим, вся ее важность была осознана лишь к 1690 — 1900 годам. ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — У Другой идеей Д. Бернулли (быть может, подсказанной экспериментальными фактами) является „принцип суперпозиции, согласно которому самое. общее колебание струны должно быть, разложимо" в суперпозицию „собственных колебаний", что, говоря математически, означает, что общее решение уравнения колебаний струны должно быть разложимо в ряд ~ саун(х, !), где эа(х, Г) представляют собственные колебанив.
Как известно, этот принцип вызвал длительный спор насчет возможности разложения „произвольной функции в тригонометрический ряд — спор, который был разрешен лишь работами Фурье и Дирихле в первой трети девятнадцатого века. Но еще до достижения этого результата встретились другие примеры разложений в ряды по,ортогональным' функциям "): сферическим функциям и полино! гг„аъ мам Лежандра, а также различным системам вида !е а ), где 1„уже ие кратны одному и тому же числу, вводившимся с восемнадцатого века в задачах о колебаниях, э также Фурье и Пуассоном в ходе их исследований по теории теплоты.
К 1830 году все явления, наблюденные в этих различных частных случаях, были систематизированы Штурмом (!) и Лиувнллем (П) в общей теории колебаний для функций одной переменной: они рассмотрели дифференциальное уравнение „вЂ” (Р(х) — )+Лр(х)у=О (р(х))0, р(х))0) (1) с граничными условиями И (йт> 0 йт>0 <Ь) (2) у'(Ь) + й,у (Ь) = О и доказали следующие фундаментальные результаты: 1) задача имеет ненулевое решение лишь когда Х принимает одно из значений, образующих некоторую последовательность (1„) чисел )О, стремящуюся к +оз; 2) для каждого 1„решения кратны одной и той же функции о„, котоь рую можно предполагать .нормированной" условием ~ ро„!(х=1, причем а э ромов!(х=О при т + л; а 3) каждая дважды дифференцируемая функция у на интервале [а, Ь[, удовлетворвющая граничным условиям (2), разложима в равномерно сходяэ щийся ряд,!'(х) = ~~~ с„о„(х), где са ~ руо„!(х; а а ь 4) имеет место равенство ~ р,~т !(х = ~~~ с„(уже доказанное Парсевалем а а ") Впрочем, этот термин не появлялся до работ Гильберта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
