Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(Использовать упражнение 15 ф 3 гл. 1Ц Напротив, если мощность В больше мощности континуума, то каждый алгебраический базис пространства Е равиомощен с В". (Использовать б) и упражнение 14 нз Алг., гл П, б 1 (т).) *2) а) Пусть Ег и Ех — гильбертовы пространства, имеющие своими гильбертовыми размерностями соответственно бесконечные кардинальные числа ш и и такие, что 1пс и(1пщ; далее, Е=Е,ЯЕт — гильбертова сумма пространств Ет и. Ет и (Ьх) с — ортоиормальныйбазнс ГИЛьБВРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Гл.
Ч,йз пространства Ет, В Ег содержится алгебраически свободная система (ат)гйл (см. упражнение 1и); пусть Н вЂ” векторное подпространство а Е, поРожлаемое (алгебРаически) семействоч (ат+ Ьг)„тп. Показать, что Н имеет гнльбертову размерность и. [Принять во внймание, что ортогональная проекция Н иа Е' всюду плотна,и использовать упражнение 1а.[ Пусть 5 — ортонормальпое множество в Н; показать, что ЯП Ел+а, и вывести отсюда, что кардинальное число множества 5 не превоскодит пь [Показать, что каждый элемент ортонормальпого базиса пространства Ег ортогонален ко всем элементам из 5, за исключением, самое большее, ил счетного бесконечного множества.) б) Пусть Ез — гильбертово пространство гильбертовой размерности р)~ и, Р— гильбертова сумма ЕЯЕз н б — подпространстио Н+ Ез в Р.
Показать, что П имеет гнльбертову размерность В. Пусть Т— ортонормальиое множество в б; показать, что Т П (Е, Я Ел) с: Ез; вывести отсюла [рассуждая, как в а)[, что кардинальное число ортогональной проекции Т на Еэ не превосходит пг, и заключить, что П ие обладает ортонормальиым базисом, заметив, что ортогональная проекция 0 иа Ет всюлу плотна в Е«, 3) Показать, что в каждом неполном отделимом предгильбертовом пространстве Е существует замкнутая гиперплоскость такая, что ортогональное к ней полпространство пространства Е сводится к одному элементу О.
Вывести отсюда, что если Š— счетного типа, то в Е существует не тотальное ортонормальиое семейство, ие содержащееся ии в каком ортоиормальном базисе. 4) Пусть Š— отделимое предгильбертово пространство и (Е,) ~г— семейство его полиык векториыл подпростраиств, вполне упорядоченное по включению и такое, что обьединепие всех Е, всюду плотно в Е. Показать, что существует ортонормальный базис (е„)„,г пространства Е, обладающий следующим свойством; для каждого ~ я У множество всех е„, принадлежащих Е„есть ортонормальный базис пространства Е,. [Рассмотреть множество всея ортонормаль ныл подмножеств 5 пространства Е таких, что для каждого ~ бу все векторы из 8, не принадлежащие Е„ ортогональны к Е„и взять максимальный элемент этого множества.[ Получить отсюда новое доказательство предложения б.
5) Определителем Трама произвольиыл и точек х; (1~1(п) отделимого предгильбертова пространства Е называется определитель 6 (хг, хт,..., х„) = бег((х; [ ху) ). а) Показать, что П(хг, хт, ..., хи)) О и что для того, чтобы хг, хт,..., х„образовывали свободную систему, необходимо и достаточно, чтобы 0(хг, хт, ..., хя)чьО. [Выбрать в подпространстве, порожденном векторами хь ортоиормальный базис и использовать формулу (9) из Алг., гл.
И1, % 8 (зт).) б) Показать, что расстояние точки хб Е от векторио1о подпространства )г, порожденного и точками хг, хт..., х„, образующими З[Зс ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕИСТВА свободное семейство, равно зг — ' ' ''" " . [Искать выражение Г 0(х, хм..., Аа) 0(хь,..., хя) для проекции х на К] в) Пусть (хв) — бесконечная последовательность точек из Е. Для того чтобы семейство (ля) было топологически свободным, необходимо. и достаточно, чтобы 0(лм..., лр м лр, ь,..., лн) '"Р ' 0( ' ) ' <+- для каждого Р)0. [Использовать б).] б) Показать, что для любого гильбертова пространства Е бесконечной гильбертовой размерности существует изоморфизм Е иа его замкнутое векторное подпростраиство, отличное от Е 7) Пусть Š— гильбертово пространство, обладающее бесконечным счетным ортонормальным базисом (ев)„,, и А — замкнутая выпуклая 11 оболочка множества, образованного точками (1 — — ~ея (и>1).
Пока- и,] зать, что в А нет ни одной пары точек х, у, расстояние между которыми было бы равно диаметру этого множества и А. [См. гл. 1'ьт, 5' 5- упражнение 1.] 8) Пусть Š— бесконечномерное вещественное гильбертово пространство. Показать, что в Е имеется бесконечное множество структур комплексного гильбертова пространства, для которых Е служит базисным вещественным локально выпуклым пространством (гл. П, й 6, п' 1). [Для доказательства существования автоморфизмов и структуры топо-,.
логического векторного пространства в Е таких, что из(х)= — х воспользоваться ортоиормальным базисом пространства Е; затем применить упражнение 1 5 Ц Дать пример, показывающий, что это предложение ие распространяется на неполные отделимые предгильбертовы пространства. [Рассмотреть в Е всюду плотную гиперплоскость.] 9) Пусть Е и Р— бесконечномерные гильбертовы пространства счетного типа, (а„) — ортоиормальный базис пространства Е и (б„)— ортоиормальный базис пространства Р. а) Пусть и — непрерывное линейное отображение Е в Р; положим и(ав) = ~~)~~ а „б„,. Показать, что ~~>'[а „]х (~[и~]з и ~, ')а « ~з(][и[)з' аь а ья для всех ьн и и.
б) Дать пример двойной последовательности (а „) такой, что ~~. ']ааььь]э(! для всех и и "р',]а и[э(1 для всех ль, ио не суще- Ю а ствует никакого непрерывного линейного отображения пространства Е в Р, для которого бы (и (им) [ Ь,„) = аы„для всех пар целых чисел (жь и). [Обозначив через И, н )Уг подпрострапства в Е и Р, соответственно.
порожденные векторами ам или ба с номерами и (р, показать„ что для каждого р супгествует линейное отображение пространства И ГИЛЪББРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Гл. Ч, % э 1 на (Тгр такое, что (я,(аи) ] Ьт) = — (гл~(р, п<р) и ]]иР]]> ')~р ] У. и10) Пусть Š— бескоиечномериое вещественное гильбертово пространство и Ер=Ь(Е) — баиаловская алгебра всех его непрерывных эндоморфизмов (с нормой ]]А]~ = зпр 1]Ах]]). 1]х)жг а) Для каждой пары векторов х, у из Е отображение А-ь(Ах] у) есть непрерывная линейная форма Ух, я иа бана ловском пространстве АР. Показать, что существует взаимно однозначное линейное отображение ф тензорного произведения ЕЗ Е (рассматриваемого как не топо- логическое векторное пространство) иа векторное подпространство пространства Я', сопряженного к баиаловскому пространству Я', такое, что ф(хЗу) =ух,в для каждой пары (х, у) б Е ХЕ.
Следовательно ЕЗ Е можно отождествить с этим подпространством пространства Я' так, чтобы (А, хЗ у) = (Ах] у), и наделить ЕЗ Е структурой нормированного пространства, индуцированной из Яр'. Показать, что при этой структуре ]1 х З у]] = й х]1 ]]у ~]. ]Рассмотреть эндоморфизм х-ь(л]х)у пространства Е] Показать, что для каждого конечного ортоиормальиого семейства (сг)г<з<и имеет место равенство ч и и и., )ч (~, З т)~~ = ~ч; ~ >ч ]. з=г з=г [Тот же метод.] б) Показать, что пространство, сопряженное к нормированному пространству Е З Е, отождествимо с Я; точнее, каждая непрерывная линейная форма иа ЕЗ Е однозначно представима в виде л -+ (А, л), где Аб Я.
]Принять во внимание, что (х, у)- ч(хЗу), где Т вЂ” непрерывная линейная форма на ЕЗ Е, есть билинейная непрерывная форма иа Е )( Е, и вывести отсюда существование А б Я такого, что у (х З у) = (Ах ~ у).] в) Вывести иэ б), что нормированное пространство ЕЗЕ бочечно. ]Используя бочечность пространства Е, показать, что каждое множество из Ар, ограниченное в тонологии и(Ер, Е З Е), сильно ограниченно.] г) Пусть Ух,я, для каждой пары векторов х, у из Е, — непрерывный эндоморфизм х-~.(х]х)у пространства Е.
Показать, что существует однозначно определенное линейное отображение Г -ь Ут пространства ЕЗ Е в цу такое, что У . , У „ для каждой пары векторов х, у из Е. Показать, далее, что (Ух®„,Т)=(Уу]х) для каждой пары векторов х, у из Е, и вывести отсюда, что ]](Гт]]<]]Г]]. Еоказатть наконец, что Уг при Г = х~ хг З у; есть эидоморфизм конечч=! ного ранга ~ и. д) Пусть ри для каждого целого и — множество тел элементов убЕЗЕ, для которых Уг есть эндоморфизм ранга (и.
Показать,. ОРТОГОНАЛЬНЫН СНМНИСТВА 315 что Р„нигде не плотно в ЕЗ Е. ]Для доказательства того, что дополнение к Р„в ЕЭЕ содержит всюду плотное открытое множество, использовать неравенство 1]Уг]1(1]Г]1 и то, что для каждого непрерывного эндоморфизма и конечного ранга тя банаховского пространства 6 существует а) О такое, что каждый непрерывный эндоморфнзм п конечного ранга, удовлетворяющий условию йи — п])~~ а, имеет ранг ) яь) Вывести отсюда, что ЕЗ Е есть ие баронское нормированное бочечиое пространство.
11) а) Пусть Š— бесконечномерное вещественное гильбертово пространство счетного типа, (а„) — свободное семейство его точек такое, что каждое из семейств (ат„) и (ат„ь!) тотально в Е (гл. П, й 3, упражнение 16), и Р, 6 — векторные подпространства пространства Е, имеющие своими (алгебраическими) базисами соответственно (л „) и (ат„+!). Пространства Р и 6 приводятся в двойственность билиней. ной формой (у ]л), Показать, что выпуклое множество РПВ, где  — шар )]х]1~ 1 пространства Е, замкнуто в пространстве Р, наделенном топологией л(Р, 6), но не обладает ии одной замкнутой опорной гиперплоскостью.
б) Пусть (бм) — всюду плотная последовательность в В и и (х) !' (Ьл 1 х) 1 для каждого х с Š— последовательность !1 " ! . Показать, что и А есть непрерывное взаимно однозначное линейное отображение пространства Е на некоторое подпростраиство Н гильбертова пространства Ел(Х), причем и (В) компактно. Показать, что в нормированном з подпространстве Е и(Р) множество и(ВПР) выпукло, замкнуто и предкомпактно, но не обладает ии одной опорной гиперплоскостью, ]Принять во внимание, что если у — непрерывная линейная форма на ь, то у ° и есть линейная форма на Р, непрерывная в топологии а(Р, 6).] "12) а) Пусть а("1 для каждого целого л ) 0 — двойная последовательность, определенная в упражнении 21 й 5 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
