Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тем самым, в обозначениях предложения б, имеем й(х, И)= 1п1 д(х, Н), и, следовательно, й(х, И) ггсч есть предел д (х, Н) по фильтру сечений множества 1е'. Пусть у — проекция х на Н; так как ~(х — у !)= с((х. Н) стремится к й (х, И) и у ЕИ, то следствие 1 теоремы 1 показывает, что уп стремится по фильтру сечений множества 1р к проекции х на И. б. Венгпорные подпросрграмсгпва и проекторы Говорят, что вектор х в предгильбертовом пространстве Е ортогонален к подмножеству А этого пространства.
если он ортогонален к каждому вектору из А; подмножества А и В пространства Е называют ортогональными, если каждый вектор из А ортогонален к каждому вектору из В. Заметим, что в этом случае, если Е предположено, кроме того, отделимым, А П В пусто или сводится к вектору О, поскольку О есть тогда единственный вектор из Е, ортогоиальный к самому себе. Если х и у в ортогональные векторы, то ()х+у(! = ()х)~ + ))уй' (! 3) („теорема Пифагора' ). В том случае, когда выпуклое множество Н есть векторное подпространство пространства Е, теорема 1 допускает следующее уточнение: Пеедложянив 8.
Пусть Š— полное отделимое векторное подпространство предгильбертова пространства Е; проекция гмльвввтовы ппобт лзчствл гл. ч, а 1 произвольной точки х~ Е на Ь есть однозначно определенная таиса у~Ь такая. что у — х ортогонально к Е. Действительно. точка у+Л(з — у) для каждого г~Ь и каждого скаляра Л~К принадлежит Ь, так что, в силу теоремы 1, 81(Л(х — у(е — у)) (О; взяв Л=(х — у~в — у), получим ((х — у!г — у)) (О и, значит, (х — у~я — у) = О. Единственность сразу следует из второй части теоремы 1.
Тногвмл 2. Пусть Š— предгильбертоео пространство и М вЂ” его полное олгделимое векторное подпространство. Отображение Р, относящее каждому вектору х~ Е его проекцию на М, есть непрерывный проектор. пространства Е ни себя такой, что ~)Р(х) а (ах(~ для всех х Е Е. Подпростринство М = Р(Е) -1 есть множество тех х Е Е, для которых Р(х) = х; ядро И =Р(0) есть замкнутое векторное надпространство в Е, дополнительное к М, совпадающее с множеством всех векторов; ортогональных к М, а Е есть топологическая прямая сумма М и № Действительно, согласно предложению 8, Р(х) характеризуется тем, что оно является единственной точкой в М, удовлетворяющей условию (Р (х) ~ г) = (х ) г) (14) для всех в~М.
Отсюда сразу следует, что Р линейно, что М есть множество тех х~Е, для которых Р(х) = х, и что ядром Р служит множество всех векторов, ортогональных к М. Так как Р(х)~М, то Р(х) — х ортогонально к Р(х); согласно теореые Пифагора, тогда (~х((~=(~Р(хЦ~+ ах — Р(х)11~, откуда 11Р(хЦ ( 'ах(~, чем доказано, что Р— непрерывный проектор. Наконец, то, что Е есть -г топологическая прямая сумма М н й1=Р(0), известно (гл. 1, й 1, предложение 12), Мы называем Р ортогональным проектором (или, допуская вольность речи, просто проектором) Е на М; подпространство -1 И = Р(0).
образованное всеми векторами, ортогональными к М. называется ортогональным дополнением к М (или иногда просто ортогональным к М, если это не может повлечь путаницы): зто а пРпдгильвпРТОВН й Гйльвпутовта пРОстРАнстВА 291 действительно единственное из подпространств, дополнительных к М, которое ортогонально к М. Ортогональным дополнением к М служит М. Как известно (гл. 1, э 1, пп 8), канонический изоморфизм ф факторпроетранства Е/М на М есть нзоморфпзм структуры топологическего векторного пространства в Е/М на такую же структуру в М.
Если для каждой пары точек х, у пз Е/М положить (х ) у) = *= (ф (х) 1ф (у)), то этим, очевидно, определится в Е/М структура пред- гильбертова пространства, получающаяся путем перенесения структуры. предгпльбертова пространства, имеющейся в М, посредством изоморфизма, обратного к ф. Кроме того, из соотношения 11х11 = 11Р(х)11 -(- +1х — Р(х)11 видно, что полунорма элемента х в втой структуре„ определяемаясоотиошением 11х 11 = 11ф(х)11, равна полунорме 1п1 11х11, кбд общим образом определяемой на каждом факторпространстяе (гл. !1, й5, пяб) 6.
Соярязгсеяяое к гилвберягову нросягранству Теогяма 3. Лусть Š— гильбертово пространство и и„для каждого к~Š— непрерывная линейная форма у-+(у)х). Отображение х -+ и является взаимно однозначным полулинейным (относительно автоморфизма с-+ с) отображением пространства Е на его сопряженное Е' и изометрией нормированного пространства Е на нормированное пространство Е'.
Действительно, полулннейность отображения х — +и следует нз(2), а, в силу неравенства Коши — Буняковского, !1 и Д = знр 1(у ( х) ) =)(х 11. 1И < г чак что х-ьи есть изометрия Е в Е' я, в частности, взаимно Однозначно. Для завершения доказательства остается показать, что для каждого х'ФО из Е' существует хЕЕ такое, что х'=и . Но -! гиперплоскость Н=х'(О) замкнута в Е; ее ортогональным допол'- нением (п' 5) служит некоторая прямая О, и если Ь~О. Ь+О, то линейная форма у-+ (у1Ь) аннулируется на Н; поэтому существует скаляр )+О, такой, что (у, х') =(у)).Ь) для всех у~Е, а эта означает, что х'=и„ь.
Отображение х — +и п его обратное называются каноническими отображениями Е на Е' и Е' на Е; если Š— вещественное гильбертово пространство, то это — линейные отображения. Если Š— комплексное гильбертово пространство, то х-+и можно рассматривать как взаимно однозначное линейное отображение пространства Е,. гл.
ч, а г ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА дуального к Е (и' 3), на Е'. Часто Е (соотв. Е,) отождествляют с Е' посредством отображения х-+ и . Безразлично, сказать лн, что вектор х Е Е ортогонален к вектору у С Е, или что линейная форма и Е Е' ортогоиальна к у а смысле, определенном в гл. 1Ч, 5 1, пь 4 (что и оправдывает употребление слова .ортогонально" я обоих случаях). Если М вЂ замкнут векторное надпространство пространства Е, то полпростраиство М' я Е; ортогональное к М (гл. 1Ч, 5 1, яь 4), есть образ ортогонального дополнения к М а Е, определенного я пь 5,при отображении х -ь и .
СледстВие для того чтобы семейство (х,) точек гильбертова пространства Е было тотальным, необ~одимо и достаточно, чтобы из справедливости равенств (х,~у)=О для всех индексов г следовало, что у = О. Действительно, это выражает, что 0 есть единственный вектор в Е', ортогональный ко всем х, (гл. 1Ч, 9 1, следствие 1 предложения 1, и й 2, замечание после следствия 2 предложения 4). Из теоремы 3 вытекает, что каноническое отображение пространства Е в его второе сопряженное Е" (гл. 1Ч, В 3, и' 3) отображает Е на Е", иными словами (гл. 1Ч, В 5, и' 2), что Š†рефлексивное банаховское пространство. Действительно, если Е— вещественное (соотв.
комплексное) гильбертово пространство, то каноническое отображение р пространства Е' на Е есть изоморфнзм нормированного пространства Е' на Е (соотв. на пространство Е„ дуальное к Е); применяя к Е (соотв. к Е,) теорему 3, мы видим, что каждая непрерывная линейная форма иа нормированном пространстве Е' имеет вид х' -+ (х ((ь (х') ) = (х, х'). где х — некоторый фиксированный элемент из Е, чем справедливость нашего утверждения н установлена. Следовательно (гл.
1Ч, 9 5, предложение 6): Теогемх 4. Единичннй шар (~х)( ( 1 гильбертова пространства Е слабо компактен. Пгедложенне 9. Если фильтр Д в гильбертовом прост» Ранстве Е. слабо сходитсЯ к хь и, кРоме того, 1(шЗЙх(~=()хз((, то (1 сходится к хь в исходной топологии пространства Е. пиидгильвиитовы и гнльБВРтоиы пРОстРАнстВА 293 Действительно, [[х — ха[[ =[[х[[ — 2Я(х [хо)+ )[ха[[ . Так как, по пРедположению, (хатха) стРемитсЯ по фильтРУ Я к 1[ха[[, а [[хЦ стремится по )у к [[хе[[, то [[х — хо[[ стремится по )у к О, и предложение доказано. 3 ам е чан и е.
Как известно (гл. 1Ч, $5, и' 1), сопряженное Е' к отделимому предгильбертову пространству Е отождествимо с сопряженным к гильбертову пространству Е, служащему пополнением для Е. Из теоремы 3 следует, что каждая непрерывная линейная форма на Е однозначно записывается в виде х -ь(х[а), где и Р Й. Упражнения. 1) Пусть Š— комплексное нормированное пространство н у(х, у) — симметричная билинейная форма на его базисном вещественном векторном пространстве Ез такая, что у(х, х) =[[х)[з для каждого хя Е. Показать, что иа Есуществует однозначно определенная зрмитова полуторалннейная форма я(х, у) такая, что з (х, у) =ЖЕ(х, у).
[Используя формулу (5), доказать, что у(х, Гу) = = — У(гх, у).) 2) Пусть Š— вещественное или комплексное нормированное пространство. Предположим, что для любого его векторного подпространства )з размерности 2 (над и) существует определенная на Р)(Р симметричная билинейная форма гр (х, у) такая, что гР (х,х) = ~[х[1 для каждого х б Р. Показать, что на Е Х Е существует зрмитова полуторалинейная форма я такая, что какова бы ни была вещественная плоскость Рт- Е. ур(х, у) =ЖЕ(х, у) для всех хбР и убР. [Если Š— вещественное векторное пространство, то заметить, что 1х — у[[я+ +[!я+у[[ =2([[х[[з+ [[у1 ) для каждой пары точек х, у из Е, и вывести отсюда тождество [~ х+ у+ я[[ з — 1х+ у[[ — [[у+я[[ — [[я+ х~[ + + [[я[аз+ [[у[[ + [[я[[я=О; если Š— комплексное векторное пространство, применнть упражнение Ц з3) Пусть Š— вещественная плоскость (двумерное векторное пространство над )с).
Пусть ВТ для каждой невырожденной положительной симметричной билинейной формы у(х, у) — ограниченное выпукаое тело, определяемое неравенством у(х, х) я'„1. площадью Вг отиосн- 1 тельно базиса (ат, ат) в Е называется число з (у) = в [А [, где А — днскримннант у' относительно зтого базиса. Если (Ьм Ьз) — лругой базис в Е н ат/1аз ЗЬт/~Ьз *), то площадью Ву относительно (Ьт, Ьз) будет [З[з(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
