Бурбаки - Книга 5. Топологические векторные пространства (947365), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Показать, что (х, Т(у)) сточностьюдопостояниого множнтеля— 298 гл. ч. э Гнльяяитопьт НРОстРлнстпд невырожденная положительная эрмитова форма н (х, Т(х)) = Т 1[х [[э (гле Т вЂ” постоянная). [Рассуждать как в упражнении 10.[ *12) Пусть Š— вещественное нормированное пространство размерности ~3 такое, что для каждой его одяородной плоскости Р существует непрерывиый проектор Е на Р с нормой 1. Показать, что иа Е существует невырожденная положительная симметричная форма у(х, у), для которой [[х [[э = у(х, х). С помощью упражнемня 2 свестп к случаю, когда Е трехмерно, н установить последовательно справедливость следующих предложений: а) Для каждой однородной плоскости Р в Е существует однозначно определенный непрерывный проектор Е яа Р с нормой 1, и ядрам этого отображения служит однородная прямая О(Р) такая, что Р-ьО(Р) есть непрерывное взаимно однозначное отображение пространства однородных плоскостей нз Е на простраяство однородных прямых (Общ.
топ., гл. М1, 9 3, и' 5). б) Каждая точка сферы 3 пространства Е, определяемой уравнением [[х[[ 1, есть экстремальная точка шара В, определяемого неравенством [1 х[[(1. [Показать прежде всего, что если бы точка х б Е ие была экстремальной, то ее грань Рм в В (гл. П, 9 4, ущжжнеияе 4) была бы двумерной, рассматривая для этого все однородные плоскости Р, проходящие через х. Доказать далее, что это предположение противоречиво, применяя то же рассуждение к точке иа Раь через которую в плоскости грани Р. проходит лишь одна опорная прямая к Р„; существование такой точки может быть установлено с помощью упражнения 15 й 4 гл. 11 и упражнения 2 $1 гл.
1Ч.[ в) Каждая точка сферы 8' сопряженного пространства Р, определяемой уравнением [[х'[[ =1, экстремальна в шаре В', определяемом неравенством [[х'1[ (1. [Заметить прежде всего, что для каждой однородной прямой О' из Е' существует однозначно определенная однородная плоскость Р'(О') в Е' такая, что опорная плоскость к В' в каждой точке множества Е'ПР' (О') (единственная, согласно а)) параллельна к О', при этом Р'(О') непрерывка зависит от О'. Вывести отсюда прежде всего, что если бы точка х'ба' не была экстремальной в В', то ее грань Р, в В' была бы не менее чем двумерна, рассматривая для этого все однородные прямые О', параллельные опорной плоскости к В' в х'.
Показать далее, что зто предположение ведет к противоречию, рассмотрев точку строгой выпуклости у' множества Р, (гл. П, 9 4, упражнение 15) н единственную одяоролную пря- У мую О, параллельную опорной прямой к Р „ проведенной через точку у' в плоскости грани Р ,, н установив, что функция О'-ь Р'(О' не была бы непрерывна при О = Оа.] г) Показать, что если Ры Р„Рз — тройка однородных плоскостей в Е, содержащих одну н ту же прямую Ь, то О (Рт), О(Рз), О (Рз)— тройка прямых, лежащих в одной и той же одюродюй плоскости П(Ь).
ПРВДГИЛЪВВРТОВЫ И ГИЛЬВВРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 299 [Рассмотреть едимствеиную опорную плоскость к В в одной из,точек пересечения прямой Ь са сферой 8.] Применяя основную теорему проектнвной геометрии (Алг., гл. П, 2-е изд, Приложение 1П, упражнение 10(п)), вывести отсюда, чта существует взаимно однозначное линейное отображение Т пространства Е' на Е, переводящее каждую точку х'О Е' в точку Т(х'), принадлежащую прямой Р (Р), где Р— плоскость, определяемая уравнением (у, х') О. Показать, что для шобой точки х' б 8' плоскость, определяемая уравнением (Т (х'), у' — х') = О, есть опорная плоскость к В', проведенная в втой точке, и в заключенме применить упражнение 1О.
*13) Пусть Š— комплексное нормированное прострацства размерности 3 3, для всякой однородной (комплексной) плоскости Р которого существует непрерывный проектор Е иа Р, имеющий норму 1. Показать, что на Е существует иевырождеиная положительная зрмитава форма у'(х, у), для которой [[х[[з=.У(х, х). [С помощью упражнения 2 свести к случаю, когда Е трехмерно над С, и поступать как в упражнении 12.
В пушсте б) доказательства рассмотреть для каждого х' б Е' с [[х'[[ = ! выпуклое множество б„ тех х Р 5, для которых (х, х') *= 1; показать, что если бы б , ие сводилось к одной точке, то оио было бы не менее чем трехмерно над Гс, и рассмотреть тогда в вещественном линейном многообразии, порожденном множеством б „ граничную точку зтого множества, через которую проходит лишь одна его (вещественная) опорная гиперплоскость. В пункте в) доказательства также рассмотреть, для каждой точки хч8, миоже/ е з / з ство б, тех х бЗ, для которых (х, х ) 1, и показать, что б сводится к точке; для зтого доказать, что в противном случае вещественное линейное многообразие, порожлеиное множеством б, было бы ие менее чем двумерио над )1 н содержало бы два вектора, линейно независимых над С.
В заключение воспользоваться упражнением 1Ц ч14) Говорят, что вектор у' вещественного нормированного пространства Е размерности ) 3 квазинорлгален к вектору х, если [] х+1у]1>1]х]1 для каждого скаляра Х, а) Показать, что если отиошенме,у квазииормален к х' влечет отношение „х квазинормалеи к у, то иа Е существует симметричная билинейная форма у(х, у), для которой у(х, х) = []я[[я. [Показать, что выполнено условие упражпепмя 12.][ б) Показать, чта то же заключение справедливо, если для каждой замкнутой однородной гнперплоскостн Н пространства Е существует ненулевой вектор, квазинормальиый ко всем векторам из Н. [Тот же метод с применением теоремы церна к проекторам с нормой 1 во всевозможных векторных подпространствах, содержащих однородную плоскость Р, на зту плоскость, упорядоченным по отношению продолжения.] в) Показать, что то же заключение справедливо, если в Е каждый вектор х ~ О квазииормален ко всем векторам из некоторой замкнутой ГИЛЬВВРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА гл.
ч, й т гиперплоскости Н. [Свести к 'случаю, когда Е трехмерно, н применить резуяьтат упражнения 12 к пространству, сопряженному к Е] г) Показать, что та же заключение справедливо, .если из квази- нормальности х к х и у следует квазннормальность х к х + у. [Применить упражнение 12.] *!5) Говорят, что (вещественное или комплексное) нормированное пространство Е равномерно выпукло, если для каждого з, заключенного между 0 н 2, существует 6)0 такое, что неравенства !!х!](1, ][у[](1, ]!х — у[!> т влекут !]х+у[! «;2 — 3. Говорят, что Е равномерно сладко, если для каждого т)0 существует ч) 0 такое, что неравенства []х[[;~ 1, [[у[!)1, []х — у]! (Ч влекут ][х+у]! >~ ]]х!!+ + ]]у]! — з ![х — у]!. а) Показать, что для того, чтобы Е было равномерно гладким, необходимо и достаточно, чтобы для каждого т >О существовало р)0 такое, чтоб нз ]! х !! = 1, [! у [! «; р следовало !! х+ у !! + ]! х — у !! ( (2+ т ![у[!.
б) Показать, что если Е равномерно выпукло, то его сопряженное Е' равномерно гладко, и что если Е равномерно гладко, то его сопряженное Е' равномерна выпукло. [Использовать формулы (1) и (4) з 5 гл.!Ч.] в) Показать, что если Е равномерно выпукло и фильтр 5 в Е сходится к ха в топология е(Е, Е'), причем йпз []х[! = ][хо[! то 5 сходится к ха в исходной топологии пространства Е. г) Показать, что равномерно выпуклое нлн равномерно гладкое баваховское пространство рефлексивно.[Использовать б) н в), предложение 5 $5 гл.
!Ч и упражнение 1!в $ 3 гл.'1Ч. (См. й 2, упражнение 13в),] д) Обобщить на равномерно выпуклые банаховские пространства первую часть теоремы 1 и ее следствия, а также предложения 6 и 7. [См. гл. 1Ч, $5, упражнение Ц *!б) Пусть Š— (вещественное нли комплексное) нормированное пространство размерности ) 2 такое, что для каждого з, заключенного между 0 н 2, нз ]!х[! = ], [[у[! = 1, [[х — у[! ) з следует ]]х-]-у!! «; ет (2 згг 1 — —. Показать, что на Есуществует зрмнтава форма У(х, у), лля которой [! х[! а =у(х, х). [Свестн к случаю, когда Е вещественно н двумерно, н рассуждать, как в упражнении 4а.] *17) а) Пусть Š— вещественное нли комплексное нормированное пространство размерности ) 2. Показать, что для каждого х ф 0 нз Е н каждого а)0 существует усЕ такое, что ][у[! и и ]!х+у]]а= = ][х][т+ [!у[]т.
б) Предположим, что для аюбых двух векторов х н у из Е, удовлетворяющих соотношению ]! х + у [! т = [! х !! з + ]! у [! т, удовлетворяется также соотношение []х — у[]т= ][х[!з+ [[у][з. Показать, что тогда на Е существует зрмитова формат(х, у), для которой у(х, х) = оитогонлльыые снмннствл = 1[х[[з. [Используя а), свести к упражнению 4: отрав(гчиваясь случаем, когда Е двумерно, доказать, что если 1[х«11 1[хай 1, у = — (хг — хт) и ай Е таково, что 1[у[1т+ 11г[[т= [[у+ г11«=1, то 1 2 1 1 л = — (х, + х,) или — — (хх + хз).] 2 2 в) Предположим, что для каждого вектора х ~ О из Е множество Н всех векторов у, для которых 11 х+ у [1 т = 1[х[1 «+ 11 у 11 з, устойчиво относительно сложения. Показать, что справедливо заключение из б). [Свести к случаю,.
когда Е вещественно и двумерио. Используя а) и компактность единичного шара в Е, показать, что Н есть замкнутое множество, содержащее по крайней мере две различные полупрямые с началом О; доказать, что зто — две противополозгиые полупрямые, заметив, что в противоположном случае порождаемое ими выпуклое множество содержалось бм в Н и содержало х или — х.] 18) Пусть Š— вещественное гильбертово пространство и у(х)— непрерывная линейная формана Е. Показать, что функция 1[х[[т — у(х) на каждом замкнутом выпуклом множестве А с= Е ограниченна снизу и достигает своего наименьшего значения в некоторой однозначно опредетенной точке из А. [Использовать теорему 3.] 19) Пусть Š— гильбертово пространство и (х„) — последовательность точек из Е, слабо сходящаяся к точке а.
Лля каждого у с Е положим а(у) =!пп!п1 [[х„— у[[ и ха(у) =1пп лир 1[х„— у[1. Показать, п-ь о я .ь со что (а(у))т=(«1(а))з+ 1[у — а[1' н (О(у))т=(хз(а))'+ 1[у — а11"-. Пусть О(«СГ; дать примеры, где й(а) = «и 1)(а) = у. ф 2. Ортогональные семейства в гильбертовом пространстве у. Виетпяи гильбертова сумма гильбертовых просптраиспав Пусть (Е,), — семейство гильбертовых пространств над К; (х,[у,) н []х,[) — скалярное произведение и норма в Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
