Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 73
Текст из файла (страница 73)
С а г ! а п, Житгея сошр!е!ея, Рагбе П, т. 1, Ра в (баи!Ь!ег- Ч!Нвгя), 1952: а) 1.ев Ягоирея Ы11пйа1гея е! )ев вув!ешев йе пошЬгев сошр1ехев, стр. 7 -105 (=Апп. Рас. Бс. Тои1оиве (1898)); Ц )>(ошЬгев сошр!ехев, стр. 107 — 246 (=Епсус1. Бс!. Ма!Ь., йй. (саида!ве 15 (1908)). 1. Б с Ь и г: а) ОЬег е!пе К1ввве топ Ма!г!сея, й)е в!сЬ е(пег БебеЬепеп Ма!Нх виогйпеп 1ая>еи, В!и. Вег!!и, 1901; Ь) ОЬег й!е Ваш!е11ип8 йег епй1!сЬеп бгирреа йигсЬ деЬгосЬепе 1!аеаге БиЬвИхибопеп, !. йе СгеВе СХХЧП, 20 — 50 (1904); с) Ыене ВеЯгбпйип8 йег ТЬеог!е йег бгиррепсЬагаЫеге, Вег1шег БНкипЯяЬег., 1905, стр.
406 — 432~ й) Аг!!Ьше!!всЬе Ои!ешисЬипЯеп 01>ег епй!1сЬе бгирреп 1!пеагег БиЬв!!!и!!опеп, ВегВпег Б!!хипЯвЬег., 1906, стр. 164 — 184. %. В и г и в ! й е, Оп !Ье сопйП1оп о1 гейис!ЬН1!у 1ог апу Ягоир о1 Впевг яиЬв!Ни!1опв, Ргос. 1.опй. Ма!Ь. Бос. 111, 430 — 434 (1905). 1. Мас1адап >!>еййегЬигп: а) А !Ьеогеп> о1бп!!е а)8е- Ьгая, Тгапя. Ашег.
Ма!Ь. Бос. Ч1, 349 — 352 (1905); Ь) Оп Ьурегсош- р1ех пишЬегя, Ргос,!.опй, Ыа!Ь. Бос., (2), Ч1, 77 — 118 (1908); с) А Суре о! рНпибте а!8еЬга, Тгвпя. Ашег. Ма!Ь. Бос. ХЧ, 162 — 166 (1914); й) Оп й!т!я!оп а!ЯеЬгая, Тгааз. Ашег. Ма!Ь. Яос. ХХП, 129 — 135 (!921). 1,, Е. В ! с Ь в о п, !.1пеаг азвос1аИче а1деЬгая апй аЬе11ап еииаИопя, Тгапв.
Ап>ег. Ма!Ь. Бос. ХЧ, 3! — 46 (1914). !Ч, К г и 11: а) ОЬег гегаНЯеше!пег!е епй1!сЬе АЬе1всЬе бгирреп, МахЬ. ХеНвсЬг. ХХ111, 161 — 196 (1925); Ы ТЬеоПе ипй АпъепйипЯ йег тегаНЯеше!пег!еп АЬе!всЬеа бгирреа, Б!!вип8вЬег. Не!йе!ЬегЯег Ахай., 1926; с) 2иг ТЬеоПе йег а!18еше!пеп ХаЫг!п8е, Ма!Ь. Аап. ХС1Х, 51 — 70 (1928). Е.
!>! о е ! Ь е г: а) АЬя!гаЫег Аи(Ьаи йег ЫеаНЬеог!е ш а18еЬга1- всЬеп 2аЫ- ипй РипЫ!опепЬ6грег, Ма!Ь. Лпп. ХСЧ1, 26 — 61 (1926); Ь) НурегЬошр1ехе бгояяеа ипй Вага!еПипдв!Ьеог1е, Ма!Ь. Хе1!всЬг. 324 (ХХ1) (ХХ11) (ХХРН) (ХХ1У) (ХХУ) (ХХУ1) (ХХУ1Ц БИБЛИОГРАФИЯ ХХХ, 641 — 692 (1929); с) ЖсЫЬошпш!а!!ге А18еЬга, Ма!Ь. Хе!!всЬг. ХХХЧП, 514 — 541 (1933). Е. 57 о е ! Ь е г п п д К.
В г а и е г, ЮЬег пип!ша1е Хег(а!шщв- Ьогрег !ггейпв!Ыег Вагвсе!1ппяеп, Вег1!пег Я!!вииЯвЬег., 1927, стр. 221 — 228. Е. А г ! ! и, Хпг ТЬеог!е дег ЬурегЬошр1ехеп ХаЫеп, АЬЬ. ша!Ь. Яеш. !)и!т. НашЬпг8 У, 251 — 260 (1928). Т. Я Ь о! е ш, Хпг ТЬеопе дог алсос!а1!геп ЕаЫепвув!еше, ЯЬг, иогвйе УЫ. АЬад., Ов1о, 1927.
В. В г а и е г, ()Ьег Яув!еше Ьурегсошр1ехег ЕаЫеи, Ма!Ь. Хе!РвсЬг. ХХХ, 79 — 107 (1929), М. В е и г ! и 6, А!ЯеЬгеп (Егд. дог Ма!Ь., т. 4), Вег!п1 (Ярг!пбег), 1937. С. Н о р Ь! и в, В!пЯв ъ!!Ь пппипа1 соп6!!!олв 1ог !ей Ыеа!в, Алп. о1 Ма!Ь. Х1,, 712 — 730 (1939). 5). 1 а с о Ь в оп, Я!Иш!иге о1 ппбв, Аюпег. Ма!Ь. Яос. Со!!. РиЫ!с. ХХХУН, РгоЫдепсе, 1956.
ГЛАВА ГХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В 1. Полуторалинейные формы л. Би.гынвйные огнображенлем В этом и' приняты следующие обозначения: А и  — кольца, Š— левый А-модуль, Р— правый В-модуль, 6 — (А,В)-бимодуль, то есть коммутативная группа, наделенная одновременно структурой левого А-модуля и структурой правого В-модуля, причем для любых а ~ А, Ь б В, б Е С выполняется равенство (ад) Ь = а (дЬ). Опгкдклкпик 1. Отображение Ф произведения Е и р в С называется билинейным, если выполняются следуюгцие условия: Ф(х+х', у)=Ф(х, у)+Ф(х', у) (1) для любых хЕ Е, х' б Е, уЕР; .
Ф(х, у+у')=-Ф(х, у)+Ф(х, у') (2) для любых хЕ Е, уЕР, у'ЕР; Ф(ах, у)=аФ(х, у) для любых. а Е А, х ч Е у Е Р' Ф (х, уЬ) = Ф (х, у) Ь для любых х~Е, у~Р, ЬЕВ. (4) Если не оговорено противное, все кольца, рассматриваемые в этой главе, предло агаются кольцами с единицей, обозначаемой 1, все модули — унитарными и для всякого гомоморфизма 1' кольца А в кольцо В предполагается, что 1 (1) = 1. 326 полутОРАлинейнык и КВАдРАтичнык ФОРмы гл.
1х, 8 1 Тензорное )троизведение Е фх е" имеет каноническую структуру (А, В)-бимодуля, определенную равенством а (х ® у) Ь = = (ах) <3 (УЬ) (гл. 111, приложение 11, и' 3). Задание билинейного отображения Ф произведения Е х г" в бимодуль 6 равносильно заданию такого отображения Ч" тензорного произведения Е ~>я е" в 6, которое является гомоморфизмом (А, В)-бимодулей и удовлетворяет условию Ч' (х ® у) =- Ф (х, у) для любых хйЕ, усе'.
Условия, наложенные на отображение Ф в определении 1, означают, что ограниченные на один из аргументов отобран<ения д,ь (у): х -~- Ф (х, у) и 8Ф (х): у — ~ Ф (х, у) являются соответственно А-линейным отображением модуля Е в модуль 6 и В-линейным отображением модуля Г в модуль 6. Наделим коммутативную группу Хл (Е, 6) (соответственно Хл (Р, 6)) структурой правого В-модуля (соответствекко левого А-модуля), положив иЬ (х) = и (х) Ь, и б Х„(Е, 6), х ~ Е, Ь б В (соответственно аи (у) =- а Р(у) (а б А, в ~ Хл(Г, 6), у Е Г)).
Тогда условия (1) — (4) будут равносильны следующим: 8Ф (Х+ Х ) = 8~Р(Х) +8Ф (Х ), ВФ(у+у ) = ЕФ(у) +4ь(у ), гФ (ах) = а. 8Ф (х), с( (уЬ) =а (у) Ь для любых х, х' С Е, у, у' С Е, а б А, Ь Е В; другими словами, отображение с(Ф модуля г в ХА (Е, 6) В-линейно, отображение гю модуля Е в Хв (е, 6) А-линейнс. При этом, по определению, (5) Ф (х, у) = Йр (у). (х) = ге (х) (у) для любых ХЕЕ, уйР. Опгкдвлкнив 2. Пусть Ф вЂ” билинейное отображение произведения Е Х Р в 6. Отображение ЕР модуля Р в ХА(Е, 6) и отображение 8Ф модуля Е в Ха(Р, 6), определенные равенством (5), называются линейными отображениями, ассоциированными с Ф соответственно справа и слева.
Обратно, всякое В-линейное отображение д модуля Р в ХА (Е, 6) (соответственно А-линейное отображение г модуля >>блутоеллинвйные Фогмы Е в Жв (Р, 6)) единственным образом с помощью формулы Ф(х, у) =с>(у) (х) (соответстзенно Ф(х, у) = — в(у) (х)) определяет билинейное отобран ение Ф произведения Е Х Г в 6, для которого Ы (соответственно в) является линейным отображением, ассоциированным справа (соответственно слева).
Опгвдвльнив 3. Билинейное отображение Ф произведения Е Х Р в 6 называется вырожденным справа (соответственно слева), если существует отличный ст нуля элемент ув Е Р (хв с Е) такой, чтв Ф (х, ув) =- О для любого х б Е (соответственно Ф (хв, у) = О для любого у г Р). Отображение Ф называется вырвжденныз>, если оно вырсжденс справа или слева.
Для того чтобы отображение Ф было невырожденным справа (соответственио слева), необходимо и достаточно, чтобы ассоциированное с ним справа (соответственно слева) линейное отображение было иньективным. Отображение Ф не вырождено, если вба ассоциированных с ним линейных отображения >Ь>в и вх инъективны. Пусть (е;)мг и (>в)»Зх — два семейства элементов модулей Е и Р, и (а>)>ет и (Ьд)»ья — два семейства элементов колец А и Б, причем лишь конечное число этих элементов отлично от нуля. Из равенств (1) — (4) индукцией по числу ненулевых коэффициентов получается равенство Ф(~ а;еь ~ удЬя) =- ~ а;Ф(еь ~в) Ьд.
(6) Если семейства (е;) и Ця) являются системами образующих модулей Е и Р, то отображение Ф полностью определяется элементами = Ф(е;, Я. Если (е>) и Ця) являются базисами модулей Е и Р, то произвольный набор элементов у»> с 6 (> Е 1, й Е К) с помощью формулы Ф(~а>ео ~Д,Ьв) =~ а>у>дЬя (6') > в >, >> определяет билинейное отображение Ф произведения Е х Р в 6, удовлетворяющее условию Ф (е;, (ь) === д>ю В случае, когда базисы (е;) и (~я) конечны, матрицы (Ф (е;, ея)) называется матрицей отображения Ф втнсситель>ьо этих базисов, 328 полутОРАлинейные и кВАдРАтичные ФОРмы гл.
!х, в 1 Билинейные отображения произведения Е х Р в 6 образуют, очевидно, педзруппу аддитивной группы всех отображений Е х Р в 6. С другой стороны, если элементы а Е А и Ь Е В принадлежат центрам этих колец, то отображение аФЬ произведения Е х Г в 6, определенное формулой аФЬ (х, у) =.- аФ (х, у) Ь, билинейно, так что множество билинейных отображений произведения Е х Г в 6 наделяется структурой бимвдуля над центрами колец А и В. Пусть Е' (соответственно Р') — левый А-модуль (соответственно правый В-модуль), и (соответственно Р) — гомоморфизм Е в Е' (соответственно Р в Р') и Ф' — билинейное отображение произведения Е' х Р' в 6".
Обратным образом отобран<ения Ф' относительно гомоморфизмов и и Р называется билинейное отображение Ф произведения Е х Р в 6, определенное равенством Ф(х, у) =-Ф'(и(х), Р(у)) (хсЕ, утГ). Легко проверяется, что для любых х~Е, уЬ Р справедливы равенства ае (у) = ае. (Р (у)) о и и ве (х) = вв (и (х)) о Р, Пусть Ф вЂ” билинейное отображение произведения Е х Р в 6, и й — гомоморфизм (А, В)-бимодуля 6 в (А, В)-бимодуль 6'. Тогда Ь о Ф является билинейным отображением произведения Е х Р в 6'. х. Полутотзилинейные Отобралсення В этом п', если не оговорено противное, приняты обозначения: А и  — кольца, Š— левый А-модуль, à — левый В-модуль; Ь -Р Ьз (Ь с В) — антиавтеморфизм кольца В, то есть некоторая биекция кольца В на себя, удовлетворяющая условиям: (Ь + с)з = Ьзсз и (Ьс)з=сзЬз для любых элементов Ь и с кольца В; вместо У т будет употребляться знак У'; 6 — некоторый (А, В)-бимодуль (и' ().
Опгкделеняе 4. Отображение произведения Е Х Р в бимодуль 6 называется полуторалинейным справа относительно антиавтоморфивма У, если вместе с условиями (1), (2), (3) (определение 1, в' 1) выполняется условие Ф(х, Ьу)=Ф(х, у) Ь для любых хЕЕ, уЕР, ЬЕВ. (7) 329 пнлутогялинкйные ФОРмы Если У вЂ” тождественное отображение (что возможно лишь в случае, когда кольцо В коммутативно), мы получаем понятие билинейного отображения. Пусть в модулях Е и Р заданы произвольные семейства элементов (е;);Ы и Уя)ягя, а в кольцах А и  — семейства элементов (а;)мг и (Ья)ык, лингь конечное число которых отлично от нуля. Тогда выполняется равенство Ф ("~~ а;е„~~ Ьз~я) = ~~ а~Ф (е;, ~з) 6» (8) з ся Как и в случае билинейного отображения, элементы Ф (еп Я однозначно определяют отображение Ф в случае, когда (е;) и Щ являются системами образующих, и могут быть выбраны произвольно, если (е;) и Ця) — базисы модулей Е и Р; если (е;) и Дз)— конечные базисы, то матрицу (Ф (е;, ез)) называют матрицей отображения Ф относительно этих базисов.
Как и для билинейных отображений, на множестве полутора- линейных справа отображений (относительно У) произведения Е Х Р в бимодуль С определяется структура бимодуля над центрами колец А и В. Понятие обратного образа для нолуторалинейного отображения определяется той же формулой, что и для билинейного отображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
