Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Следовательно, по определению, Ф(х, у)=(х, йр(у)) =(у, г,э(х))г (хЕЕ, уЕГ). (24) Таким образом, йь (соответственно ге) является линейным отображением модуля Гг в Е* (соответственно модуля Ег' в Г*). ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ Если рассматривать / (соответственно /') как изоморфизм кольца Ао (противоположного кольцу А) на кольцо А и Р (соответственно Е) как пРавый А'-ыоДУль, то >/Ф (соответственно г,ь) бУДет полулинейным отображением относительно / (соответственно Х') модуля Р в Е'" (соответственно модуля Е в Рг).
Из формулы (24) и определения 6 в и' 3 немедленно следует, что для любого подмодуля Л' модуля Р (соответственно для любого подмодуля М модуля Е) выполняется равенство — 1 -> /Уо = гФ (/>") (соответственно Мз = ОФ (М')), (25) где Л" (соответственно М') — подмодуль сопряженного к Р модуля Р* (соответственно сопряженного к Е модуля Е"), ортогональный к />/ (соответственно к М) (гл. 11, з 4, и' 2). Пгедложенне 4. Пусть А — тело и Ф вЂ” билинейная (соответствеяно полуторалинейнол относительно /) форма на правоведении Е Х Р; для того чтобы факторпрсстронство Е/Рг было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы было конечно- мерным факторпрос>пранство Р/Ез; при етом их размерности совпадают. В самом деле, пусть Ф> — невырожденная форма на произведении(Е/Рг) х (Р/Ез), ассе>пгированная с формой Ф(п'3).Предположим, что факторпространство Е/Рз имеет конечную размерность и.
Отображение аФ> пространства Р/Ео (соответственно (Р/Ео) з) в пространство (Е/Рз)г ннъективно, и поэтому пространство Р/Ез имеет конечную раамерность и' < п. Точно так же, рассматривая отображение ге„можно убедиться, что и <и'. Следствие 1. Пусть А — тело и форма Ф не вырождена. Для -того чтобы подпростронство М пространства Е имело конечную размерность, необходимо и достаточно, чтобы подпространство Мз пространства Р имело конечную коразмерностпь, и тогда сод>ш Мз = й(>п М и Мюо М Так как Ро = (О), то первые два утверждения следуют из предло>кения 4, если применить его к сужению формы Ф на произведение М Х Р. Кроме того, надпространство Мо ортогональио к Мог, так что размерность Мог конечна и равна сой1ш М'= йпп М, однако Мзг.:> М, так что М'з = М ззг 340 полУтоРАлинеиные и кВАдРАтичные ФоРмы гл, 1х, з 1 Олкдствик 2.
Пусть, в предположениях следствия 1, М и Л'— подпространства пространства Е; тогда справедливо равенство (М + /У)~ =- М ПЛп; если, кроме того, М и Х конечномерны, то (М П Л~)о = Мз + Л/о. Первое утверждение тривиально. Пусть М н Л конечномерны, и пусть 6 = Мв + Л/о; тогда, по следствию 1, 6о = Мвг П/тгз =— = М П/т'; применив предложение 4 к сужению формы Ф на произведение М х 6 и пользуясь включениями Мь с: 6 и 6о с: М, получим йш М/М () Л/ = йш 6/М = сойш М~ — сойш 6, откуда, ввиду равенства сойш Мо = — дпа М, следует, что а1ш (М П /У) = сойш 6. Но, по следствию 1, справедливо равенство йш (МПЛ/) = сойш (М П Л')' и, кроме того, 6с:6" = = (МПЛГ)ь, так что окончательно имеем 6 = (МПЛ/)ь.
Предложение 4 позволяет дать следующее определение: Опгкдклкник 7. Пусть А — тело (соответственно тело с антиавтоморфизмом,/), Š— левое векторное пространство над телом А, Р— правое (соответственно левое) векторное пространство над телом А, Ф вЂ” б линейная (соответственно полутора- линейная относительно У) форма на произведении Е Х Р. Пусть, далее, пространства Е/Рь и Р/Еь конечномерны над телом А.
Рангом формы Ф называют тогда совпадающую (конечную) размерность пространств Е/Рв и Г/Еь. Если же факторпространства Е/Рь и Г/Еь бесконечномерпы, то Ф вЂ” форма бесконечного ранга. Пгкдложкник 5. В предположениях и обозначениях определензьз 7 линейные отображения аь и с/е, ассоциированные с формой Ф, имеют один и тот же ранг, равный рангу формы Ф.
В самом деле, ядро отображения бф модуля Р в Е* равно, очевидно, Е', так что ранг бф равен размерности пространства Р/Еь. Аналогично ранг отображения зь равен размерности пространства Е/Ро. Пгкдложкник б. Сохраняя предположение и обозначения определения 7, предположим дополнительно, что пространства Е и р конечномерны. Тогда следующие условия гквивалентны: 341 полттоэ»лянкйнык ФОРмы а) с(ф инъективно б) аф сюръективно; в) аэ инъективно; г) вф сюръективно, д) Ф не вырождена. Действительно, пространства Е,.Р, Е* и Р* имеют конечную размерность, так что условия а) и б) эквивалентны, так же как и условия в) и г) (гл.
111, 4 3, и' 4). Отображения вф и с(ф имеют одинаковый ранг (предложевие 5), так что а) и в) эквивалентны. Условие д) эквивалентно соотношению Ео=рг = (О) и, следовательно, оно эквивалентно конъюнкции условий а) и в), откуда и следует эквивалентность всех указанных условий. Слвдствив. Сохраняя предположения и обозначения определения 7, предположим, что, сверх того, пространство Е конечномерно, а форма Ф не вырождена. Тогда б!ш Е = б!ш Р и для всякого базиса (е ) пространства Е (1 <! <б!ш Е) суи!ествует такой базис (1~) пространства Р, что Ф (ен !») = б;» (!, й = 4, ...
б!ш Е). В самом деле, форма Фпевырождена, тоесть Ег = Рг — (0), откуда д!ш Е = б)ш Р (предложение 4). Отсюда следует (предложение 6), что отображение Нф есть изоморфизм пространства Р (соответственно Рг) на Е*; поэтому элементы 1, =- 4„' (ев), где (е ) — базис пространства Е и (е,*) — сопряженный базис, образуют некоторый базис пространства Р, который по формуле (23) (соот.ветственно (24)) удовлетворяет условию Ф (ен /») = бт. Совершенно очевидно, что в этом следствии можно поменять ролями пространства Е и Р, заменив при этом в доказательстве отображение Ыъ ва ге. 3 а и е ч а н и е. Пусть А — кольцо с антиавтоморфизмом У, М н Л' — правые А-модули, Ф вЂ” форма на произведении М х Л~, полуторалинейная слева относительно У (и' 2, замечание).
Тогда справедливо равенство Ф(ха, уа') =агФ(х, у) а' (а, а'чА, хсМ, ус!У). Отображение Ф' произведения !У х М в кольцо А, определенное формулой Ф' (у, х) = Ф (х, у)м (где У' =- У '), является фор- 342 полУтОРАл11неиные и кВАдРАтичные ФОРмы Гл, 1х, 1 1 мой, полуторалинейной слева относительно», н формы Ф и Ф' отождествляются с билинейными формами соответственно на про- изведенияхМ» х»т' н»т»' х М. Отображения го и ге, ассоциированные с этими билинейными формами, называются отображениями, ассоциированными слева и справа с полутораликейяой формой Ф, и обозначаются символами ге и с(е. Таким образом, по определению, Ф (х, у) = (у, гФ (х)) = (х, 1(Ф(у))» (хЕ М уЕД') (26) и отобрЬкение ге (соответственно до) является линейным отображением модуля М» в Л'* (соответственно модуля Х»' в М*). Для этих понятий легко сформулировать и доказать' утверждения, аналогичные определению 7 и предложениям 4, 5, 6.
». Об7оатиегм фоума для билииейиой и полу»поралииейиой форм Пусть А — кольцо, Š— левый А-модуль, à — правый А-модуль, Ф вЂ” билинейная форма на произведении Е х Р. Предположим еще, что ассоциированные с формой Ф отображения, обозначаемые в дальнейшем г и с(, бнектнвны, Тогда их произведение — отобран1ение (г, д) — будет биекцией произведения Е х Е на Е" х Е* и с помощью перенесения структуры определяет на Р" х Е" билинейную форму Ф. Форма Ф удовлетворяет, следовательно, условиям Ф(у',х') =Ф(г '(у'), д '(х')) = = (г '(у'), *') = (д '(*'), у') (х' Е Е", у' Е Р").
(27) Опгеделение 8. Пусть Ф вЂ” билинейная форма на произведении Е Х Р и ассоциированные с ней отображения г и 1( биентивны. Билинейная форма Ф, определенная равенством (27), называется товда обратной формой для формы Ф, Пусть теперь г и е( — линейные отображения модуля Е* в Е*" и модуля Е* в Р*е, ассоциированные слева н справа с формой Ф. По определению, для любых х' Е Е* и у' б Р* выполняются равенства Ф(у', х') =(у', Й(х')) =(х', з(у')).
полутоРАлинеинын Фогмы 343 Сравнивая эти равенства с формулой (27), получаем, что линейная форма И (х') на ре совпадает с линейной формой, определенной элементом а'-' (х') модуля г". Отсюда следует, что композиция а'в Ы является каноническим отображением модуля Р в его дважды' сопряженный модуль Рее и, кроме того, биеятивна, так как отображения,с( и с( биективны (а биективпо по перенесению структуры); следовательно, канонически, отождествляя модули р и Рее, имеем а' = — а-'. Аналогично модуль Е канонически отождествляется с модулем Е"е; каноническое отображение модуля Е в Еее является композицией г о г и г = г-'. Отсюда следует, что форма, обратная к форме Ф, совпадает с Ф. Рассмотрим теперь кольцо А с антиавтоморфизмом У, два левых А-модуля Е и Р и форму Ф на пронэведении Е Х г", полуторалинейпую справа относительно У и такую, что ассоциированные с ней отображения, обозначаемые ниже г н с(, биективны.
Первое уравнение в формуле (27) определяет отображение Ф произведения Ре х Ее в кольцо А. В соответствии с формулой (24) (и' б) это отображение удовлетворяет условию Ф(у', х')=<г '(у'), х'>=(а '(х'), у'>г (х'бЕ", у'ЯР"). (28) Очевидно, отображение Ф Я-билинейно, и, сверх того, по определению отображений г и а, для любых а, Ь ~ А, х' ~ Ее и у' ~ ре справедливы равенства Ф(у'а,х'6)=Ф(агг '(у'), Ьма '(х'))=агФ(у', х') 6. Поэтому Ф является формой на ре Х Е*, полуторалинейной слева относительно У (пс 2). Опгкднлвпии 9. Пусть Ф вЂ” форма на произведении Е Х Р, полуторалинейная справа относитлельно У, и ассоциированные с ней отображения г и Ы биеятивны. Форма Ф на Г* Х Е*, полуторалинейная слева относительно У, называется обратной формой для формы Ф.
Мы оставляем читателю определение и изучение обратной формы. для формы, пслуторалпнейнсй слева. Эта обратная форма будет иолуторалинейпсй справа. 344 полутогглинкннык и квлдгатичныв Фогмы гл. ~х, з ~ Пусть г и Й вЂ” отображения, ассоциированные с формой Ф; по формуле (26) (и' 6) справедливо равенство Ф(у', х')=(у', Ы(х'))г=(х', г(у')). (29) Отображение Ы биективно: зто следует из биектнвностн отображения г и равенства (г 1 (у'), х') = (у', д (х'))г, справедливого в силу формул (28) и (29).
Поэтому композиция а' о Н биективна. Тогда равенство (Ы-~ (х'), у') = (у', с~ (х')), справедливое в силу формул (28) и (29), показывает, что д о И является каноническим отображением модуля Е в дважды сопряженный к нему модуль Ег*. Аналогично, отображение г биективно, и композиция г о г является каноническим отображением модуля Е в Е**. Следовательно, отождествляя с помощью этих канонических отображений модуль Е** с Е и модуль Р** с Р, получим, что г = г-', с~ =-- с( ', и форма Ф обратна к Ф. Сохраняя предыдущие обоаначения и предположения, возьмем в центре кольца А произвольный обратимый алемент а. Тогда по формуле (23) (соответственно (24)) отображения, ассоциированные с формой аФ, имеют вид а4 и аг (соответственно ахг) и, следовательно, биективны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
