Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Из формул (24) (и' 6) и (35) следует соотношение Ф(хс З ° ° ° З хво Ус З ° ° ° З Уш)= = [1 (хи с(р. (у;)) = Ц (у„з,р (х,)) . Позтому з<р=) О (з~рс З ... З зр )1 с(Ф=!во (бср З... З с(<р ), (36) где 1, (соответственно 1з) — каноническое отображение тензорного произведения З Рс в (З Р,)* (соответственно произведения с с З Ев в (З Е,) ) (гл. 111, 4 1, и'и' 4 и 7). с с Пгкдложкник 9. Пусть А — поле с автоморфизмом У. Е; и Р; — конечномерные векторные пространства над полем А, и Ф;— форма на произведении Е; Х Р;, полуторалинейноя относительно Х (1(с<т).
Если все форлсы Ф, не вырождены, то их тензорное произведение Ф также является невырожденной формой. П этом случае форма Ф, обратная к форме Ф, является тензорным произ.ведением обратных форм Ф;. В самом деле, посколькуА — тело, из предлоясений 6 и 7 гл. 111, 4 1, и' 3, следует, что тензорное произведение инъективных ~(соответственно сюръектнвных) линейных отображений инъективно 350 полутоРАлннвйнык и квАдРАтичныв ФОРмы гл. гхр э э (соответственно сюрьективпо), По предположению, отображения аэ биектнвны (предложение 6 и' 6), и поэтому их тензорное произведение также бнективно. С другой стороны, каноническое отображение 1, тензорного произведения <«) Г," в (~3) Г;)э биективно (гл.
Ш, $1, в' 5, предложение 11). Следовательно, по формуле (36) отображение гФ биективно, откуда и следует первое доказываемое утверждение (предложение 5 и' 6): Аналогично устанавливается биектнвность отображения дФ. Во втором утверждении мы неявно отождествили модули <3 Гт н ® Г;)э, а также модули ® Ь7 и ® Е,)э посредством ( 1 отображений у, и дв являющихся в рассматриваемом случае изоморфиамами. Обратные формы, укаэанные в формулировке предложения, существуют, так как отображения эФ,, АФ,, АФ и АФ биективны (и' 7).
Положим х' = х' (3... <р х', У' = =у,'® ... Эу'(х,'сЕР, у сГ*, 1=1,..., т). По определению обратных форм и ввиду формулы (35) имеем Ф(!а(у ), 1А(х')) = = Ф(эФ (У,) ® ... Э 8~ (у' ), ИФ (х1) ®... ®дФ (х' )) = ~п и =П Ф ( ',(у') (Ф,( '))=-П Ф (у' ). (=1 1 ' $11 откуда н следует второе утверждение. Предложение докааано. Пусть Е н à — модули над коммутативным кольцом А, Ф— пвлуторалинейная относительно У форма на произведении Е эс Г, Отображение пронаведення Е'" х (Гз)'" в А, определенное формулой (хо ° . хин уп . ~увы)' „— «де" (Ф(х уа)) (хю Е Е, у~ Е Г, 1 = 1...,, т), А-полилннейно н'определяет, следовательно, билинейнуюформу Ф' ЯВ ~и на произведении(() Е) Х (З Гз), характеризующуюся равенством Ф'(х, (р... ®х, у1(9... ® у ) =бей(Ф(х;, уд)), Так как левая часть обращается в нуль, если х; = х„илн У, = УА (1~ л), то форма Ф' определяет посредством фактори- полуторллиненные Формы зации билинейнуго форму на произведении (/< Е) >< (/> Рз) или, поскольку модуль Д Рг отождествлен нами с (/> Р)г, полуторалинейную относительно л форму Ф< > на произведении т т (/>, Е) >< (/< Р).
Эта форма характеризуется равенством (37) Ф< >(х, Л ... Л х, у<Д ... /> у ) =<)еЬ(Ф(хн уь)) (х<6Е, у<ЕР, >=1,...,т). Определение 12. Пусть Е и Р— А-модули и Ф вЂ” форма на Е >< Р, полуторалинейная относительно У. Тогда полуторалинейная относительно / форма Ф< > на произведении (/~ Е) Х (/~ Р), определенная равенством (37), называется продолжением формы Ф на т-е внешние степени. Сохраняя обозначения определения 12, изучим отображения, ассоциированные с формой Ф< .>, Из формул (24) н (37) следуют соотношения Ф< >(х, Д ...
/> х, у, />... /> у ) =Йе1((хи Ню(уг)))= = <)е$ ((уи гю (хг))г). Поэтому й~ т г<р< > —— й, ° (/< гр) дф =йз й (/< а>е)~ (38) где й, (соответственно й„) — каноническое отображение модуля 1й т т т /> Рв в (Д Р)* (соответственно />> Е* в (Д Е)*) (см. гл. 111, з 8, и'2). Предложение 10. Пусть А — поле с автоморфизмом Х, Е и Р— конечномерные векторные пространства над полем А, Ф вЂ” полуторалинейная относительно Х форма на произведении Е >< Р.
Если форма Ф невырождена, то и еепродолжениеФ< >на т-е внешние степени не вырождено и форма, обратная к Ф<т>, является продолжением на т-е внешние степени формы Ф, обратной к Ф, В самом деле, по предположению, отобран<ения га и 4р биекгивны (предложение 6, и' 6); следовательно, их внешние степени также биективны (гл. П1, $5, и' 7). С другой стороны, канонические отображения й, и й„биективны (гл. 111, 1 8, и' 2, теорема 1). Следовательно, ввиду формулы (38) отображения г,р< > и д<р< > 352 полутогллинкннын и квлдвлтичнык Формы гл.
>х,е 1 биективны, откуда следует, что форма Ф! > не вырождена (предложение 6, и'6). Во втором утверждении мы неявно отождествили ва ат а1 ш модули /~ Ре и (/1 Р)е, а также модули /1 Е* и (/> Е)е посредством отображений Й, и )сю являющихся в рассматриваемом случае изоморфизмами (там же). Указанные в формулировке обратные формы существуют, так как отображения газ гваь ею! > и с(ю! > биективны (и' 7). Положим х' = х,' />... /> хж, У' = У; /> ° ° ° ... р, у' (х,'дЕ4', у'~Ее, г =- 1, ..., т). По определению обратной формы (и' 7) и ввиду формулы (38) справедливо соотношение Ф1т> (/гв (У') /сл (У')) = Ф(ж> (ва! (Уг) Л ' ' Л ас> (ут)) = = Ф„(о>-г (х,') /> .
/~ г(ю (х' )) = дес(Ф (аю (У>)* 4с)(ха))) = = бес(Ф(у>, ха)), откуда и следует второе утверждение. 3 а и е ч а н и е. Пусть Š— авабадвмн А-модуль и 6 — канонический изоморфиам модуля /, Е на псдмодуль антиснмметрических теизоров т-га порядка (гл. 111, 1 5, и' 6, предложение 6). Пусть, далее, Ф вЂ” палутсралииейная форма над Е, Ф „— продолжение формы Ф на модуль/,Е, и 8 — пслутаралннейная форма иа /~ Е, являющаяся обратным сбрааам при отображения О продолжения формы Ф на модуль 3 Е.
По определению отебражеяия 6 н вследствие аятисимметричности тенаара иа формулы (35) имеем раееяство Ю(е>Л ° ° /> а рг/> ° ° ° /тр )= ~~~ еастФ (васо умп) . ° ° Ф (еа<аа ртою) а,т где о и т пробегают симметрическую группу бга. Используя формулу вычисления определптелей и (37), зта выражение перепишем в виде стдес (Ф (еп ртоа) =т! де!(Ф (т>, рь)); тФж другими словами, 8 = т! Ф „.
10. Заматричное исчисление В этом и' мы расширим матричное исчисление, введенное в гл. 11, $ 6, и заново сформулируем на новом языке некоторые результаты, доказанные в этом параграфе. 353 полутОРАлинейные Формы 1. Пусть Т н Х вЂ” конечные множества индексов, Н вЂ” непустое множество, и М = (ап,а)к,д>ерхх — матРица над множеством Н (гл. 11, т 6, и' 1, определение 1).
Транспонированной матрицей к матрице М называется матрнЦа 'М = (т'а;)(а,оекхы опРеДелЯемаЯ Условием таа = = ты((а, Ь) Е У ~~ К). Очевидно, г(сМ) М (39) М =(иааа)0, адпХК М =(авы)рспЕКХЬ соответственно над множествами Н' и Н", такие, что множество К индексов столбцов матрицы М' совпадает с множеством индексов строк матрицы М". Лроизведением матриц М' и М" (в соответствии с отображением 1) называется матрица М'М" над группой Н, определенная равенством М'М"= ( ~ ап;'ата ) хаен,/0, не кхь (40) Это определение обобщает понятие произведения, введенное в гл. 11, $6, и' 4. Если Н' = Н" =- Н, иХ вЂ” кольцо, то произведение М'М" подразумевается, если не оговорено противное, вычисленным «в кольце Н», то есть в соответствии с отображением (х, у) -а- зу.
Б случае, когда Н' и Н" — коммутативные группы (с аддитнвной композицией) и отображение / билинейно, справедливы равенства (М'+ М,') М" = М'М" + М;М", 1 М (М + и,") = М'М" + М М;, ~ (41) 23 н Бтрбаии Это обобщает понятие транспоннрованной матрицы, введенное в гл. 11, 3 6, и' 6. Предположим, что Н вЂ” коммутативная группа (с композицией, записываемой адднтивно), Тогда множество матриц над группой Н, имеющих множества индексов 1 и К, наделено структурой коммутативной группы, поскольку каждую матрицу можно считать отобраяаеннем множества 1 х К в группу Н. Композиция в этой группе записывается аддитивно. Пусть Н и Н' — непустые множества, Н вЂ” коммутативная группа (с аддитивной композицией) и 1: (Ь', Ь") а Ь'Ь' — отображение мнояаества Н' Х Н" в Н. Пусть, далее, даны две матрицы 354 полутОРАлинкиныв и квАдРАтичныв ФОРмы гл.
)х, г 1 где М', М; — матрицы над группой Н', М", М, — матрицы над группой Н" (при этом предполагается, что все написанные суммы и произведения имеют смысл). Пусть М' и М" — матрицы над мпожествамн Н' н Н" и 1о — отображение произведения Н" х Н' в Н, определенное формулой (Й", Й') -~ Й'Й"; тогда выполняется равенство ' (М'М") = 'М" 'М', (42) где произведение в левой части (соответственно в правой части) вычислено в соответствии с отображением 1 (соответственяо 1о).
Если Н' = — Н" = 11, и Π— кольцо, то (42) лревравтаетсл в формулу (12) гл. 11, 1 6, п' З. Пусть А — кольцо, иУ вЂ” антиавтоморфизм кольца А. Для всякой матрицы М =- (и;А) над кольцом А через Мг будем обозначать матрицу (игты). Пусть М, и Мг — матрицы над кольцом А, для которых определено произведение М,М,. Так как У является иаоморфизмом кольца А на противоположное кольцо Ае, то выполняется равенство (М~Мг)1 = М М:,', где левая часть вычислена в кольце А, а правая — в кольце Ао. Вследствие (42) и (39) отсюда получается равенство (М,М,) ='('М., Мт), (43) в котором обе части вычислены в кольце А.
Пусть Н„Н,, Нг, Нгю Н„и Н вЂ” коммутативные группы (с аддитивной композицией), ~,г: Н, Х Н, -~ Н~„~та. Н, х Н, — ~ -+' Нгг, Ь: Нгг Х Нг -' Н~ 6: Нг Х Ни +' Н вЂ” билинейные отобрантения, и пусть МО Мю Мг — матрицы над Н„Нг, На соответственно. Если для любых х~ б Н; (1 = 1, 2, 3) выполняется равенство 1г (1гг (хы хг), хз) = 1~ (х„Ь (х„х,)), то произведения (М,Мг) Мг", и М, (МгМ,) (вычисленные з соответствии с отобраятениями ~~г, 1г~)гг и)г), если они имеют смысл, совпадают и обозначаются М~МгМг Если Н = Н вЂ” Нг Нгг Нгг Н, Н вЂ” кольцо и отобра;кения ( ~гг, ~г ~, совпадают с отобРажением (х, д) -~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
