Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 82
Текст из файла (страница 82)
г,з Рассмотрим А-линейный гомоморфизм о модуля Е, определенный формулой и (е;) = ~ч~ ~Ф (е;, е,) е„и К-линейный гомоморфпзм иг модуля Е, определенный формулой пг (агег) = ( Я Тгдгк (а о„) а,) ез. Тогда иг(п(азег)) =-го(~ч'„ауФ(е;, е,) е,)=-ч~~ ~Тгдгк(а;Ф(еы е,)а„)а„с„ г г,з поскольку иг (а е,) = ~ Тгд7к (аа„) а„е, для любого а Е Л; таким образом, и является композицией иг о и. Тогда, обозначив через пк отображение и, рассматриваемое как К-линейное, будем иметь равенство без (и) = с(еь (пк) бес(иг), но оес (ок) =- Идгыр (бес (о)) (гл. 17111, Я 12, и' 2, предложение 7) и, очевидно, аеь(п) = = О,р (е„, е„). С другой стороны, каакдый иа А-модулей Ле, (1 = 1,..., П) уСтОйЧИВ ОтНОСИтЕЛЬПО ОтОбражЕНИя иг И ОнрЕдЕ- литель сужения иг на Ае; равен ое( (Тгдгк (а;а„)) = Пдгк (а„...,ач), и поэтому йеь (иг) =- (Пдгк (а„..., ач))".
Следовательно, формула (8) сводится к равенству г(ес (и) = аеВ (ик) пе( (иг), которое уже доказано. ДИСКРИМИНАНТ ПОЛ УТОРАЛИНКЙНОЙ ФОРМ2Л 369 Слкдствик (формула транзитивности дискриминанта). Пусть К вЂ” коммутагнивног кольцо, А — коммутативная алгебра с конечным базисом (а>).; к „„е над кольцом К, Š— алгебра над А с конечным базисом (г;)2 1, „. Тогда (а>г>) явллгтся базисом алгебры Е над кольцом К и 1)я>» (а>г~) = ХА>» (1) в, А (с„..., е„)) (1)А>» (а„..., ат))". В самом деле, положив Ф (х, у) =- Тгн>л (х, у), получим, что форма Ф' из предложения 6 по формуле транзитивности следов (гл. Ч111, з 12, п' 2, следствие предлоигеиия 7) удовлетворяет равенству Ф' (х, у) = Тгл>» (ху).
У п р а ж и е и и я. 1) Пусть А — алгебра конечного ранга с единицей над полем К. а) Покааатгь что если радннал алгебры А отличен от нуля, то билинейяая форма (г, Р) — ~- Тг > (гу) ыа алгебре А вырождена. б) Предположим, что поле К имеет характеристику О. Пусть А — алгебра матриц лга (К), К вЂ” канонический базис алгебры А над полем К.
Показать, чго Пл>» (ь') чь О. в) Из утверждений а) и б) вывести, что алгебра А конечного ранга над >тлен характеристики 0 тогда и только тогда абсолютно полупроста, когда билинейная форма (г, у) — ~- Тгл,» (*р) не вырождена (пли, что то же самое, когда 1>А» (К) ~ 0 для любого базиса К алгебры А иад полем К). * 2) Пусть  — кольцо и А — его поднольцо, содержащее единицу кольца В; таким образом, В есть (А, А)-бимоорльл обозначим через 'В (соответственно гВ) множество В, рассматриваемое как левый (соответственно правый) А-модуль, в через 'В* (соответственно гВ*) — правый (соответственно левый) А-модуль, сопряженный к гй (соответственно к' вВ).
Если з' б 'В* н Ь б В, то отображение г -~- (хЬ, г') будет А-линейной формой на модуле аВ, то есть элементом модуля 'В"; ато отображение обозяачается через Ьх', отображение (Ь, г') -~- Ьг' определяет на модуле 'В* структуру левого В-модуля (см. гл. И1, приложение 11, и' 7). а) Пусть Ф вЂ” гомоморфизм (А, А)-бимодуля В в (А, А)-бимодуль А; для того чтобы А-билинейное отображение Ф: (х, у) -~- ~р (ху) произведения 'В Х "В в А было невырожденным, необходимо н -1 достаточно, чтобы прообраа ц (0) пе содержал идеалов кольца А, отличных от (0) (пн левых, ни правых), В атом случае ~р нааывастся гзробелиусевмм гомоморфизмом нольца В в подкольцо г1.
б) Пусть ~Р— фробениусов гомоморфкзм кольца В в подкольцо А; показать, что отображение Ы,р, ассоциированное с формой Ф справа, является пзоморфизмом левого В-модуля 'В на некоторый подмодуль левого В-модуля 'Ве. Поназать, что отображение дт, биек- 24 н. Втрсакя 370 НОЛУТОРАЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ГЛ. 1Х, 1 2 тивно в каждом нз двух следующих случаев: 1' А — артнново с~сна и справа кольцо, удовлетворяющее условиям (Д>») и (Д>й) ($1, упражнение 11), 'В и С — свободные А-модули конечной длины (испольаовать упражнение 11б) з 1); 2' А — коммутативное и инволютивное артиново кольцо (гл. Ч111, $3, упражнение 11), содержащееся в центре кольца В, и»В — А-модуль конечной длкпы (испольаовать упражнение 11 гл. Ч111, $3).
в) Показать, что, обратно, если модули 'В и 'В» изоморфны, то в каждом иа случаев, рассмотренных в б), существует фробепиусов гомоморфиам кольца В в подкольцо А и модули 'В н "В имеют одинаковую длину (использовать упражнение 11б) $ 1). г) П предположениях и обоаначевиях пункта а) показать, что правый (соотзетственно левый) аннулятор всякого левого идеала 1 (соответственно правого идеала т) кольца В есть подмодуль 1о (соответственно тс), ортогональпый относительно формы Ф к подмодул>о 1 (соответственно т) модуля »В (соответственно АВ). д) Пусть >р — фробениусов гомоморфизм иольца В в подкольцо А. Показать, что если А — ннволютнвное артнново кольцо, то прп выполнении хотя бы одного иэ двух условий пункта б) кольцо В также будет инволютивным артиновым кольцом (использовать б) н г)).
3) Пусть А — поле,  — алгебра конечного ранта с единицей над полем А. а) Для того чтобы алгебра В была фробенлусовой, необходимо и достаточно, чтобы существовал фробеннусов гомоморфкзм алгебры В в А (упражнение 2). (Использовать упражиеяяя 2в) и д) и упражнение бб) гл. ЧИ1, 1 13.) б) Пусть >р — фробениусов гомоморфиам алгебры В в А; тогда всякая А-линейная форма на алгебре В может быть единственным образом записана в виде я -+. >)> (Ь'э) (соответственно э — ~- >р (хЬ")), где Ь' и Ь' принадлежат алгебре В; для того чтобы зта форма была фробениусовой, необходимо и достаточно, чтобы элемент Ь' (соответственно Ь") был обратим в алгебре В. в) Пусть х для всякого *бВ есть единственный элемент (см. б)) такой, что >р (зу) = <р (узс) для любого у б В. Показать, что отобра>кение э -»- эс является А-автоморфизмом алгебры В.
Фробениусова алгебра В называется силе»три»»ской, если автоморфпзм а внутренний; тогда су>цествует такой фробениусов гомоморфизм алгебры В в А, что автоморфпзм с — тождественный (см, б)), нлп, по то же самое, (В, В)-бимодули В и 'В* = АВ» (обоаначаемый В") пзоморфны (уира>инские 2в)).
г) Пусть Š— левый В-модуль конечной длины, Е' — его сопряженный модуль и Е'» — модуль, сопря>кенный к Е', рассматрпваеммй как векторное пространство над полем А; Е>» можно наделить структурой левого В-модуля, положив для любых х' б Е', з' Я Е'*, Ь б В (э', Ьэ ) = (ЕЬ, э') (гл. 111, прнло>кение 11, п'7). Пусть |е (э) (яли ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 37( просто 1 (х)), х Р Е, — элемепт модуля Е'* такой, что (х', 1 (х)) = =ц ((х, х')) для любого х' г Е", полазать, что ( — биеиция левого В-модуля Е ла левый В-модуль Е'*, полулппейлая отвосптельво автоиорфизма о (испольаовать упражнение 10 гл.
У(11, $4). Если Е =аВ, то (в обоапачепэях упражнения 2б)) оФ (хо) = й (х) для всех х ЕВ. В 4) а) Пусть 6 — конечная группа, Поиааать, что алгебра В группы б вад произвольным нолем А является симметрической фробепиусовой алгеброй (упражиепие 3). (Рассмотреть отображеиие д алгебрм В в А, которое каждому элементу х = Ч~~ ~э, е ставит в соотаеа ветствие элемевт ц (х) =. $, где е — единица группы 0.) б) Пусть Š— векторное пространство иовечной размерности я пад полем А, и  — внешняя алгебра Л Е.
Полазать, что алгебра В фробениусова. (Пусть (е~)1; „- базис простраиства Е; рассмотреть отображение, которое паждому элемеату х Р В ставит в соответствие коэффициент я-вектора е, Л ег Л... /~ е„в вырзжеиии элемента х через бааис алгебры В, соответствующий базису (е~).) бэробеииусова алгебра В будет симметрической тогда и только тогда, когда число л четно или поле А имеет характеристику 2. 5) а) Показать, что тензорное произведеиие двух фробеииусовыл (соответственно симметрических фробеииусовых) алгебр иопечпого ранга пад нолем К является фробевиусовой (соответствеппо симметрической фробепиусовой) алгеброй (см.
$ 1, пе 9, предложение 9). б) Пусть  — алгебра конечного ранге лад полем К, Ь вЂ” ее расширение конечной степени над полем К. Показать, что есля алгебра В<Ы вЂ вЂ вЂ В 3 яЬ пад полем Ь фробениусова (соответствеипо симметрическая фробепиусова), то алгебра В также фробепиусова (соответственно симметрическая фробевиусова).
(Испольэовать упражвевпя 2в) и Зв) и упралгпеиие 2 гл. У111, $2.) 6) Показать, что всякая абсолютно полупростая алгебра В навечного ранга иад полем К является симметрической фробеввусовой алгеброй. (Свести доваэательство и случаю, когда алгебра В простан; воспольаоваться упражнением 5б), а также предложением 9 гл. У1П, 1 12, пе 3.) 9 3. Эрмитовы и ивадратичиые формы В дальнейшем, если не оговорено противное, мы обоаначаем через А некоторое кольцо и черее Š— левый А-модуль.
Вты предполагаем, что кольцо А имеет инволютиеный антиавтоморр7ием д, обозначенный сс -ь а; таким образом, (а + р) = сс + р, (ар) = рос и сс = а для любых а, р е А. Преполагается, кроме того, что 24* 372 полутОРАлинейные и НВАдРАтичные ФОРмы гл. 1х„г 3 рассматриваемые полуторалинейныз формы, если не оговорено противное, полуторалинейны справа (т 1, и' 2, определение 4) относительно этого антиззтоморфизма. 1.
Эрмытпооы ы е-эрмытпооы формы Опгедкленик 1. Пусть е — элемент центра кольца А. Полуторалинейная форма Ф на модуле Е называется Р;эрмитповой, если для любых х, у ~ Е выполнено равенство Ф (х, у) = ЕФ (у, х). 1-эрмитова (соответственно ( — 1)-эрмитова) форма называется эрмитовой (соответственно антиэрмитовой), . В случае, когда э — тождественный антиавтоморфизм (то есть А обязательно коммутативно), понятие эрмптовой (соответственно антиэрмитовой) формы совпадает с понятием симметрической (соответственно аптисимметрической) билинейной формы (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
