Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 83
Текст из файла (страница 83)
111, з 5, п' 1, определение 2). Напомним, что знакопеременная билинейная форма (гл. 111, з 5„п' 2, определение 4) является знтиснмметрической; обратное верно, если нз равенства 2а =- О в кольце А следует, что а =- О. Отношение ортогональности (з 1, и' 3) относительно некоторой е-эрмнтовой формы является, очевидно, симметричным (см.
упражнение 1). Если элемент а обратим, то отобранзение Т; )с-Р а-1)заявляетсяя антнавтоморфизмом кольца н, как легко проверить, форма Фа полуторалинейна относительно Т. Если, кроме того, а = а, то Т вЂ” инволютнвный антнавтоморфнзм, н если Ф е-эрмитова, то Фа также е-зрмитова; в самом деле, ()1 ) =ах(а Юа)а=-а зада ха=А, Ф(у, х) а=еФ(у, х)а= е(Ф(х, у) а) . В частности, если А — тело, то элементы его центра, удовлетворяющие условию а = а, образуют в А подполе К, а е-эрмитовы (относительно Х) формы на модуле Е образуют векторное пространство над телом К. 3 а меча ни я. 1) Если Ф вЂ” е-армитова форма на модуле Е, то Ф (х, Р) = гФ (х, Р) г дзи любых х, у б Е, Следовательно, если форма Ф принимает хоть одно обратимое гнзяенив, то ег = 1.
ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Зуо 2) Если в центре кольца А существует элемеет С такой, что7 =- ~е, то для того, чтобы форме Ф была е-эрмптовой, веобходвмо и достаточно, чтобы форма ~Ф была эрммтовой. Если отображение (у, х) — з- Ф (х, у). полуторалинейно относительно У, то форма Ф будет е-эрмитовой тогда и только тогда, когда Ф (у, х) = е Ф(х, у) при любых х, у, пробегающих некоторую систему образующих модуля Е. В частности, если Е имеет конечный базис (е1) »не~, то полуторалинейная форма Ф на Е е-эрмитова тогда и только тогда, когда ее матрица В = — (ры) =- (Ф (еы е;)) удовлетворяет соотношениям ои — — — еоы для любых 1, 1, то есть 'В = ВВ, "всякая матри.ца В, обладающая этим свойством, называется е-эрлитовой. Если е =- 1 (соответственно е = — - — 1), то В называется эрлитоеой (соответственно антиерлитовой) относительно автоморфизма У.
Если У вЂ” тождественный антиавтоморфизм (то есть кольцо Л коммутативно), то матрица В эрмитова (соответственно антиэрмитова), если В = В(соответственно В =- — В); тогда говорят,что матрица В симметрическая (соответственио антисиллетрическая). Для того чтобы форма Ф была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица В была антисимметрической и, кроме того, все диагональные элементы В были равны нулю; всякая матрица, обладающая этими свойствами, называется анакопереленной.
Пусть Ф вЂ” полуторалннейная форма ва модуле Е, и гФ и аФ— ассоциированные с Ф слева и справа отображения модуля Е в Ее (з 1, и' 6). Для того чтобы форма Ф была е-зрмитова, необходимо н достаточно, чтобы для любых х, у ~ Е выполнялись равенства (х, гю (у)) =- е(х, й» (у)) и (х, с(Ф (у)) =- е(х, го, (у)), то есть г,» - — — ес(Ф и аФ = его,. Пусть Ф вЂ” е-эрмитова форма, и ассоциированное с ней справа отображение аФ модуля Е в Е" биективно. Тогда для всякого эндоморфизма и модуля Е и"* = ееи. (1) В самом деле, дяя любых х, у Е Е имеем Ф(х, и*"(у)) =Ф(и*(х), у) =ВФ(у, и'(х)) =ВФ(и(у), х) = =еФ(х, и(у)) В=Ф(х, ееи(у)), то есть и'*(х) .=Веи(х), так как форма Ф невырождена. 374 полутогллннзинык н квлдэятичныв ФОРмы гл.
ах, а 3 Если Ф вЂ” е-эрмитова форма и отобранаенпя гф и а(ф биективны, то ее обратная сборлаа Ф (5 а, п'7) является е-грлттовой формой, В самом деле, положив для краткости г=гщ, аа=а(ф, из условия аа= ее получим г '= еаа ', так как г полулвнейно.
далее, для любых и, оЕЕ имеем Ф(и, и) =Ф(» '(и), а( '(и)) =еФ(д '(и), а( '(о)), откуда Ф (о, и) = ееФ (аа а (и), оа ' (о)) = еФ (и, и), так как е входит в центр кольца А. Наконец, в случае, когда кольцо А коммутатнвно, канонические продолжения е-эрмитовой формы Ф на тензорные и внешние степени ® Е и /~ Е являются е-эрмитовымн формами. Это немедленно следует из формул (35) и (37) $1, и' 9.
М. Модули наад кваадраатичнеам расиаиренмем Пусть К вЂ” коммутативное кольцо, А = К (а) — его квадратичное расширение, Р = — '$ и У вЂ” автоморфиам )а + ад— -+Х вЂ” ар(ЛЕК, рЕК) (гл. И, $7, и'7). Взяв А-модуль Е, обозначим череа Ев К-модуль, получаемый из модуля Е суаааением кольца скаляров, а через у — автоморфиэм х а ах модуля Ев; очевидно, уа = -1, где 1 — тождественное отображение модуля Ев.
Обратно, пусть Е, — К-модуль н 1 — его автоморфизм такой, что уа= -1; тогда отображение ). + ад -а Х1 + )а) является, очевидно, гомоморфизмом кольца А в кольцо Х (Ев) эндоморфизмов модуля Ев, 'следовательно, на Ев определена структура А-модуля, для которой (Ра+ааа)х=-Хх+)ау(х) (х~Ев) ЕК, ~а~К). (2) Пусть Е' — еще один А-модуль, Е,' — соответствующий К-модуль, у' — автоморфизм х' — а- ах' модуля Е;; тогда А-линейные отображения 1 модуля Е в Е' представляют собой не что иное„как К-линейные отображения модуля Ев в Е;, удовлетворяющие соотношению1о 1 = у' о 1.
В частности, если заданы два отображения 1а и 1а модуля Е в К, то отобралаение х — ~~а (х) + Ях) модуля Е в А будет А-линейным тогда и только тогда, когда 1а и ~а принадлежат сопряженному модулю Е* и 1а о)+ а (1г о 1)= =- а~а — 7ю то есть 1а — — — 7а л 1 к 1а оу = — ~а. Эти два условия 375 эгмнтовы и КВАдРАтичнык ФОРмы эквивалентны, так как у — автоморфизм модуля Ео ну' = — 1. Исключая одно из отображений, у, или уг, получим, что формулы у(х) =у1(х) — у1,(у (х)), (3) у (х) = ~г(у'(х)) + цг(х) (4) (х Е Е, у' ~ Ее, у „Е (Ег)*, уг Е (Ес)*) устанавливают взаимно однозначное соответствие между сопряженными модулями Е" и (Ео)" Б. Билинейные формы, асеоцыырованные с эрмитпоаой формой Мы сохраняем адесь предположение, что А является квадратичным расширением А = К (У) (где Уг = — () коммутатнвного кольца К и У вЂ” автоморфизм Л + У)х — э Л вЂ” У)х (Л Е К, )х ч К) этого кольца.
Пусть Е и Е' — А-модули, Ес и Е; — соответствующие К-модули, у и у' — автоморфизмы х -+. ух и х' -+. ух' модулей Ез и Е; (ср. и' 2). К-билинейная форма у на произведении Ез Х Е называется шгвариантной относитпельно овтоморфизмов у н у', если для любых х Е Ес н х' Е Е; у (у (х), у' (х')) = у (х, х ). (5) Заменяя здесь х на у (х), получим, что это условие эквивалентно выполнению равенства у(х, у'(х )) = — у(у (х), х') (б) для любых х Е Ес н х' Е Е;.
Пгкдложкннв 1. Пусть Ф, (соответственно Фг) — К-билинейная форма на произведении Ев Х Е;, инвариантпая относительно у и у'. Отображение, которое форме Ф, (соответственно Фг) ставит в соответствие отображение Ф произведения Е Х Е' в кольцо А, определенное формулой Ф (х, х') = Ф, (х, х') -)- 1Ф, (х, у' (х')) (7) (соответственно Ф(х,х') = — Фг(х, у'(х'))+уФг(х, х')) (8) (х ~ Е, х' ~ Е'), является изоморфизмом векторного К-пространспьва К-билинейных форм на произведении Ег Х Е,', инвариантных относительно у и у', на векторное К-пространство полуторалинейных форм на произведении Е Х Е'.
Если, кроме того, Е = Е', 376 полутовллинпнньгв и квлдглтнчныз Фогмы гл, тх, ) з то форма Ф эрмитога тогда и только тогда, когда форма Ф, симмгтарична (соответственно форма Фз антисиммгтрична) (см. упражнение 4). В самолт деле, всякое отображение Ф произведения Е х Е' в кольцо А можно однозначно записать в виде Ф = Ф1+ 1Ф.„ где Фг и Фз — отображения произведения Е х Е' в кольцо К. В силу формулы (3) (соответственно (4)) и' 2, для того чтобы отображение х — ~ Ф (х, х') было А-линейным, необходимо и достаточно, чтобы форлга Ф, (соответственно Фз) была К-лннейна по х и удовлетворялось соотношение Ф(х, х') =-Ф, (х, х') — гФ, ()'(х), х') (9) (соответственно Ф(х, х') = — Фг(у(х), х')-',.1Фз(х, х')).
(10) Аналогично, для того чтобы отображение Ф (х, х') было А-линейно по х', необходимо н достаточно, чтобы отображение Фг (соответственно Фз) было К-линейно по х' н удовлетворялось соотношение Ф (х, х') = Ф, (х, х') + гФ, (х, у' (х')) (11) (соответственно Ф(х, х')= — Фз(х, у'(х')+)Фз(х, х'))). (12) Отсюда немедленно следует, что отображение Ф полуторалннейно тогда и только тогда, когда оно может быть записано в виде (9) или (11) (соответственно (10) или (12)), где К-билинейная форма Фг (соответственно Фз) инвариантна относительно автоморфизмов ) н). Отсюда следует, что для того, чтобы полуторалинейпая форма Ф = Ф, + гФз была нулевой, необходимо и достаточно, чтобы фовма Ф, (соответственно Фз) была нулевой. Наконец, если Е = Е', то Ф (у, х) = Ф, (у, х) + )Фз (у, х) и Ф (х, у) =.
Ф, (х, у)— — рФз (х, у), и для того, чтобы зтн два выражения совладали, или, что то же, форма Ф была зрмитовой, необходимо и достаточно, чтобы форма Ф, была симметрической (соответственно форма Фз была антиснмметрической). И а и е ч а и и н. т) Формулы (7) и (8) показывают, что прп х б и равенство Ф (х, х') = О выполннетсн для любого х' б й' тогда и только тогда, когда Ф, (х, х') = О (соответственно Фг (х, х') = О) для всех х' с и'. ЭРМИТОВЫ И НВАДлРАТИЧНЫК ФОРМЫ 377 2) Пусть и — зндоморфвзм модуля Е; сопряженный с ннм относительно Ф эндоморфпэм Я 1, и' 8) совпадает с сопряженным относительно Ф, (соответственпо Фз) зндоморфнзлюм (если рассматривать и как эндоморфнзм модуля Ез), 4. Хвадратпнмные Яормье Опгкдклкник 2. Пусть кольцо А коммутативно. Отображение () модуля Е в кольцо А называется квадратичной формой на модуле Е, если 1) Яах) = аз 9 (х) для а ~ А и х Е Е; 2) отображение й): (х, у) — л- () (х + у) — )') (х) — е) (у) произведения Е х Е в кольцо А является билинейной формой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
