Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Пусть Ч< — сужение формы Ф на проиаведение Р Х Р', если х' ЕР', то иа утверн<дания Ф (х, х') = 0 для любого х с Р следует, что х = О, поскольку Р'ПР' = (О). Поэтому вторая часть утверждения а), кроме неизотропности надпространства Р + Р', получается из следствия к предложению 1 з 1, и' 6. Далее, надпространство Н = (Р + Р') П (Р + Р')' равно (Р+ Р')()Р'ПР'.
Так как Р ~ Р', то (Р+ Р')ПР' = = Р + (Р'ДРе) = Р, о~куда Н = Р()Р'~; поскольку форма <У невырождена, то ХХ = (О). Это и оаначает, что сумма Р + Р' неизотропна. Для доказательства утверждения б) проведем индукцию по числу з = <<1ш 6. Достаточно доказать, что для з(г существует вполне изотропное (соответственно вполне сингулярное) надпространство 6' размерности з+ 1, содержащее 6 и такое, что 6' Д Рз = (0). Так как <)пп 6 ( бпп Р, сужение формы Ф на произведение Р Х 6 вырождено, и РП6е~ (О), поскольку 6 П Ре = (О). В подпространстве 6' существует элемент х, не входящий в сумму 6 + Ре; если бы выполнялось включение 6 + Ро ~ 6з, то, перейдя к ортогональным подпространствам и заметив, что Р = Роз и 6 = 6ез (з 1, и' 6, следствие 1 предложения 4), мы получили бы включение 6опР ~ 6, откуда 6з П Р с 6 П Р с 6 П Рз = (0), 392 полутогллинвиныв и квлдглтичныв еогмы гл. гх, 4 4 что неверно. Так как Р ~ Рэ, то, прибавив к элементу х ~ 6э некоторый вектор из пересечения 6' Д Р, мы не изменим его свойств.
Поскольку надпространство 6эП Р вполне изотропно (соответственно вполне сингулярно) и отлично от (0), то в силу леммы 1 элемент х можно выбрать изотропным (соответственно сингулярным). Тогда подпространство 6' = 6 + Ах имеет размерность г + 1 и вполне изотропно (соответственно вполне сикгулярно); более того, 6' П Рэ = (О): если элемент у = г + ах (г Е 6, а ~ А) входит в Р', то а = О, ибо в противоположном случае х ~ Р' + 6, что противоречит выбору элемента х; поэтому у = г Е 6 П Рэ = (0), то есть у = О. Следовательно, 6'— искомое подпространство. Слвдствив 1.
Для всякого вполне изотропного (соответственно вполне сингулярного) надпространства Р размерности г существует вполне изотропное (соответственно вполне сингулярное) подпространство Р' размерности г такое, что Р П Р' =- (0) и надпространство Р + Р' неизогпропно. Для доказательства достаточно в предложении 2б) положить 6= (0), Слкдствив 2.
Любые дее нейтральные с-эрмитовы формы на пространствах одинаковой размерности эквивалентны. 3 а и е ч а н и е. В условиях следствия 1 пространство Ь' является прямой суммой подпространства Р + Р' и ортогонального к нему надпространства. Следовательно, это разложение Витта для пространства Е. В силу предложения 2а) в подпространствах Р н Р' можно выбрать такие базисы, что блок У в матрице (1) формы Ф будет единичной матрицей 1„. Пгкдложкнив 3. Пусть Ф вЂ” невыроэкденная е-эрмитова форма, удовлетворяющая условию (Т) (соответственно билинейная форма, ассоциированная с невырохсденной квадратичной формой Д). Пусть, далее Р1 и Рэ — максимальные вполне изотропные (соответственно вполне сингулярные) подпространства пространства Ь", одно из которых имеет конечную размерность.
Положим Р = Р, () Рг. Пусть Я; (1 = 1, 2) — дополнение подпространства Р в Р;; полозсим Я = Я~ + Яг. Тогда существуют надпространства 6 и Н пространства Е такие, что Вполне нзотРОпные подпРОстРАнстВА а) надпространства 6 + Р, Я и Н неивотропны и попарно ортогональны; б) Е есть крамол сумма подпространств Р, Я, 6, Н; в) в Н не суи»ествует ненулевых ивотропных (соответственно сингулярных) векторов; г) 6 вполне изотропно (соответственно в»голне сингулярно), Более того, оба подпространства Р» и Рг конечномерны и йш Р» = = йш Р„йш 6 = »»»ш Р, йга Я, = йш Я„сойш Н ==-2йш Р». Заметим прежде всего, что если Н вЂ” максимальное вполне изотропное (соответственно вполне сингулярное) надпространство, то всякий иаотропный (соответственно сингулярный) вектор х, ортогональный к Л, входит в х, ибо в противоположном случае существование надпространства Х + Ах противоречило бы максимальности Л».
Таким обрааом, если х; с Р(' (» =- 1, 2)— изотроппый (соответственно сингулярный) вектор, то х, ~ Р,. С другой стороны, если элемент у б Я» ортогонален к Я„то он ортогонален и к Р„ поскольку Р, вполне изотропно, а следовательно, и к Р, то есть ортогонален к Рэ = Яэ + Р. Так как элемент у иэотропен (соответственно сингулярен), то убЯ»ПЯг=Я»ПР»()Рз=Я»ПР=(0).
Следовательно, Я, П Я,' = (0) и аналогично Я, П Я,' = (О). Так как одно иэ надпространств Р, н Рэ, скажем Р„ конечно- мерно, то Я, конечномерно, и следовательно, Я; имеет конечную кораамерность (э 1, и' б, следствие 1 предложения 4). Поэтому Я, конечномерно, так как Яг П Я,' = (0); более того, отсюда следует соотношение йш Я» < со»11ш Я,' = дпп Я,; аналогично йш Я» < <»11ш Я„так что й»п Я, = йш Я,. В силу предложения 2а) надпространство Я = Я» + Яг неизотропно. Тогда надпространство Л', ортогональное к Я, неиаотропно (и' 1, следствие предложения 1) и содержит Р. Тем самым, по следствию 1 предложения 2, существует вполне нэотропное (соответственно вполне сингулярное) надпространство 6 пространства Х такое, что йш 6 = йш Р, 6П Р =- (О), и надпространство 6 + Р неиэотропно.
Таким образом, утверждение г) установлено. Взяв в качестве Н подпространство в Л', ортогональное к 6+ Р, мы установим справедливость а) и б). Далее, ввиду замечания в начале доказательства и равенства НПР, = (0), 394 полутОРАлинейные и кВАдРАтичныв ФОРмы Гл. гх ! 4 подпространство Н, ортогональное к Р, = Я! + Р, не может содержать ненулевых изотроппых (соответственно сингулярных) векторов. Это доказывает утверя»денио в). Наконец, некоторые из равенств, относящихся к размерностям, установлены в ходе доказательства, а остальные тривиально следуют из них, Следствие 2.
Пусть () — невырожденная квадратичная Форма на векторном пространстве Е конечной размерности и над алгебраически замкнутым полем А. Тогда в Е существует базис (е!)»<» „ такой, апо ()( ~! х;е!) = ~~~~ х;х»+„ если к=2т, »=! »=! »',)( ~~ х;е!)= ~г »х»х»+„+х~~ +, если к=2Р+1. »=! »=! (2) (3) В самом деле, пусть Р, и Р! — максимальные вполне сингулярные подпространства, Р,ПР, = (О) и д — их размерность. Тогда, в обозначениях предложения 3, 6 = (0), Взяв в Р, и Р, такие базисы (е;)»<»<г и (е!)г »<»<гю что»)» (е;, ет~г) = бн для 1,1 = 1, ..., д (предложение 2а)), получим, что достаточно доказать неравенство йпа Н < 1.
Но если х Е Н, у с Н и х чь О, то уравнение »,» (у — ах) = »,» (у) — аФ (х, у) + аг»;» (х) = 0 имеет по крайней мере одно решение ао (поскольку !»(х)чьО), и тогда у = а,х, так как единственный сингулярный вектор Н вЂ” нулевой.
Следствие 1. В предположениях предложения 3, любые два конечномерных максимальных вполне изотропных (соответственно вполне сингулярны ) подпространства имеют одинаковую размерность. Для всякого конечномерного максимального вполне изотропного (соответственно вполне сингулярного) подпространства Р существует другое подпространство Р' с такими же свойапвами, такое, что РДР' = 10) и пространство Р + Р' неиготрокг»о. Если РПР' = 10), то, в обозначениях предложения 3, 6 = (0) и Р+ Р' неизотропно. Остальные утверждения тривиально следуют из предков»ения 3 и следствия 1 предложения 2. 395 ВПОЛНК ИЗОТРОПНЫВ ПОДПРОСТРАНСТВА Опгвдклкннк 3. Пусть пространппво Е конгчномерно и Ф— невырождгнная е-эрмитова форма, удовлетворяющая условию (Т) (соответственно билинейная форма, ассоциированная с нгвырожденной квадратичной формой Ч).
Индексом формы Ф (соответственно формы 6) называется общая размерность максимальных вполне изотропных (соответственно вполне сингулярных) подпрогтранств пространства Е. Ясли размерность Е равна и, а индекс формы Ф (соответственно формы 6) равен ч, то из предложения 3 следует неравенство пр 2ч. (4) Более того, поскольку всякое вполне изотропное (соответственно вполне сингулярное) подпространство содержится в максимальном вполне нзотропном (соответственно вполне сингулярном) подпространстве, то максимальными вполне изотропнымн (соответственно вполне сингулярными) подпространствамн будут в точности те, размерность которых равна т.
Утверждение, что форма Ф (соответственно ~) имеет индекс О, означает, что Е не имеет ненулевых изотропных (соответственно сингулярных) векторов. На пространстве четной размерности и нейтральными будут формы индекса — и; на пространстве нечетной размерности нейтральных форм не существует. Предложение 3 показывает, что всякая форма является прямой суммой нейтральной формы и формы индекса О. Пгкдложкник 4. Пусть 6 — нгвырождгнноя квадратичная форма на пространство Е, и существует ненулевой вектор х ~ Е такой, что Д (х) =- О. Тогда для всякого элемента а с А существует у Е Е такой, что 9 (у) = а. В самом деле,по следствию 1 предложения 2, существует подпространство 6 = Г + Г' (Г и Г' — вполне сингулярные подпространства размерности 1) пространства Е размерности 2, такое, что сужение формы 6 на 6 — нейтральная форма.
Пусть (е, е') (г б Г, г' с Г') — некоторый базис надпространства 6; тогда имеем 6 (хг+ х'г') = Ьхх' (х ~ А, х' б А, Ь б А, Ь =ф О). Таким образом, достаточно взять у = ае + Ь-"е'. 396 110лутОРАлинейные и квАдРАтичные ФОРмы Гл, 1х, 5 4 3. л'еорема .Выгпгпа Пусть Е и Е' — векторные пространства над телом А, Ф и Ф' (соответственно (г и ()') — полуторалинейные (соответственно квадратичные) формы на Е и Е'. Метрическим гомоморфизмом пространства Е в Е' называется всякое линейное отображение и пространства Е в Е', удовлетворяющее условию Ф' (и (х), и (у))= = Ф (х, у) (соответственно ~)' (и (х)) =.
(г (х)) для любых х ~ Е, у ~ Е. Если Е и Е' имеют одинаковую конечную размерность и форма Ф (соответственно форма ч) невырождена, то всякий метрический гомоморфизм и пространства Е в Е' будет изоморфизмом, так как равенство и (х) = О влечет за собой, что Ф (х, у) = О для любого у ~ Е, то есть х = О; позтому гомоморфизм и инъективен, а следовательно, и биективен, поскольку Е и Е' имеют одну и ту же конечную размерность. ТеОРемА 1 (Витт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
