Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 85
Текст из файла (страница 85)
а) Показать, что для всякого векторного подпространства М пространства Е выполняются равенства (Мо)э = М + Ее и йш Лус + + а)!ш М = йш Е + йш (М [) Ее). б) Показать, что для любых подпространств М, и Мз пространства Е справедливо равенство а[(ш (Ма [) Мэс) + йш (Мэ+ Мас) .—— = йш Е+ йш (М, [) Ео) (рассмотреть каноническое отображение пространства Е на Е/Еч).
3) Пусть К вЂ” коммутатияное кольцо, ) б К [Х[ — унитарный многочлен степени п уь 1; пусть А — факторалгебра К [Х[аг с базисом 1, с, сэ, ..., зз-а над кольпом К (гл. 1г, 4 1, и' 5, предложение 4). Показатгч что задание А-модуля Е равносильно задаипао К-модуля Ео и К-эндоморфизма ) модуля Ес такого, что 1 Ц) = О.
в-1 Для любого и б е* положим и (х) = ч~~ ~иь (х) зь; показать, что если а=с элемент ао = г (0) обратим в кольце К, то отображение и — ио является К-иаоморфизмом модуля Е" на (Ес)', который называется обратным пзоморфиэмом. "4) а) Пусть А — кольцо (коммутативное или нет), о — автоьюрфиам кольца Л, для которого существует обратимый элемент у Р Л, удовлетворяющий условию уо = — у, и пусть для любого $ Р А справедливо равенство фо = усу Ц Пусть  — левый Л-модуль с базисом иэ двух элементов (см еэ); показать, что завоя композиции (зг1+ а)ез) (з'е1+а)'еэ) = (Ц'+ а)чоу) е1+ (а)з 'а+ за)') гэ определяет на модуле В структуру кольца.
Злемент еа является единичным элементом для этой структуры кольца (и отождествляется с единицей 1 иольца Л); если еэ обоавачить через Ф то будут выполняться равенства оз = у и оэз = ~ор для любого з б А; кроме того, В является правым А-модулем с базисом 1 и Ф Если А — тело, то кольцо В будет телом тогда и только ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИз1НЫЕ ФОРМЫ ЗОЗ тогда, когда влемевт у ке представим в виде АсХ (где й бА) (см. гл. У111, $12, упражнение 8). б) Пусть У вЂ” ивволютивный актвавтоморфизм кольца А. Предположим, что существует обратвмый злемевт б Е А, удовлетворяющий следующим условиям: Ь~=Ь, Ьеб=уух, (фз)о=6($с)зб г для любого збА.
(1) Показать, что, положив а+Чу)'=~'+у- бе(ц')'0, (2) автиавтоморфизм У .можно продолжить до ивволютвввого аитиавтоморфизма кольца В (также обозначаемого через У). Предположим дополнительно, что А и  — тела и аитиавтоморфпзм У пе впутренйий. Показать, что условия (1) необходимы для существования продолжения автиавтоморфизма У до ивволютивлого антиавтоморфязма тела В (положпв у~ = а + ~0, где ы, р б А, показать, что при выполнении условия (дз)у = с~у~ для всех $ Е А должно быть и = 0).
в) Предположим, что условия (1) выполнены п что янволютивный актиавтоморфивм Х продолжен на кольцо В по формуле (2). Пусть г— упитарвый В-модуль,  — уиитарвый А-модуль, волучеввый из модуля Г сужением кольца скаляров до А; тогда отображение ): х — ух является биективвым отображением модуля В ва себя, полуливейиым относительно автоморфизма о кольца А, п выполняется равенство уз (х) = ух.
Пусть Ф вЂ” зрмитова форма па модуле В (отпосительно У); для х Е Я, у б В положим Ф (х, у) = Ф, (х, у) + + Фз (х, у) о, где Ф, (х, у) б А, Фз (х, у) б А. Показать, что Ф,— зрмптова форма ка модуле В (относителько Х) и Ф, (((х), у(у))=(Ф~(х, и)) б Далее, Фз (х, у) = Ф, (х, ) (у)) б-г, Фз — форма ва модуле Е, полуторалпвейвая относительно автяавтоморфиама ч — |- (зГ)с (вообще говоря, ке икволютивного), и выполняются равенства Фз П (х) г' (у)) = Ф~ (х, у))с бс Фз (у х) — у ~6 г ((Фз (х у)) ) Обратно: для того чтобы форма Ф была невырождена, необходимо и достаточно, чтобы были кевырождевы формы Ф~ и Фз. Частный случай:  — алгебра кватерниоков над коммутатввпым кольцом К, соответствующая паре (а, Р) элементов кольца К, где р— обратимый элемент, А — подалгебра К+ Ки алгебры В, У и о— отображения з — з (гл. 11, $ 7, и' 8). г) Пусть и — автоморфизм А-модуля В.
Для того чтобы и был автоморфвзмом В-модуля )г, оставляющим ииварвантпой форму Ф, необходимо п достаточно, чтобы он удовлетворял двум нз следую- щих трех условий: 1' и оставляет инваркаытыой форму Ф», 2' и оставляет иывариантыой форму ФИ 3' и перестановочен с >. Ь) Пусть А — коммутатнвное кольцо, Š— А-модуль, (х;)»ег— система образующих модуля Е; пусть  — подмодуль модуля А» >, »г> состоящий нз элементов (у;)» г таннх, что ~~~~ у»х» = О, и пусть (ах) — сыстеиа образующих подмодуля В (здесь аь = (ат)»61).
Пусть (ЬП) — некоторое семейство элементов кольца А (» б 1, > 6 1). Для того чтобы существовала квадратичная форма»1 такая, что . »> (х») = Ь;» и Ф (хы х1) = ЬП при» ~ 1 (Ф вЂ” ассоциированная с»> билинейная форма), необходимо и достаточно, чтобы ЬП = Ь)» для любых», 1 с 1 н для любых Х с Е и» 6 1 выполнялось равенство Г' Ьыа>»ЬЫ= — ~~~~~ Ьыахг»;2ЬЫаЫ=О. »ц »>»и» (3) Тогда (> (~ а;х;) = ~ ЬИ а;а . Пывест»» отсюда новое доказательство (»,»> предложеяня 3 п' 4. (Эаметить, что элементы х» = ! (к) х; составляют систему образующих модуля А' 8 АЕ н что Л'-модуль А' (х> АЕ наоморфен А'(~>1В', где А'»Г> отождествлси сЛ' (х) ААП>, а В' порождается образом подмодулн В прп каноническом отображении модуля А»г> в А'»г>.) 6) Пусть А — коммутативное кольцо характеристики 2, В— гвободпый Л-модуль, Я (соответственно 5, Я) — А-модуль знакоперемениых билинейных (соответственно симметрических билинейных, квадратичных) форм на модуле В.
Тогда Яс $; следующим образом определим линейные отображения Ф модуля $ в л» и О— модуля л' в Я: для любой билинейной формы Ф 6 $ ы (Ф) есть квадратичная фариа х — Ф (х, х), н для любой квадратичной формы »> с л» д(»3) есть билинейная форма, ассоциированная с 1>1 эта форма -1 -1 знакопеременыая. Покааать, что Ф (0) — — Я, О (л») = Я н О(0) = = ы (э). *7) Пусть А — коммутатывное кольцо, Е, г" — Л-модули.
Отображение 1> модуля Е в г" называется яеадратичеехии, если выполняются следующие условна: !»>(их) =- »ьз»> (х) для а сА, х бе, 2' отображение (х, у) — ~- (> (х + у) — (> (х) — (> (у) произведения Е Х Е в г билиыейно. Есл»» отображение 1 А-модуля Е, в Е линейно, то композиция 1> е1 является квадратическим отображением ъ»одуля Е» в е". а) Пусть Š— А-модуль, А > — модуль фориальных линейных »и> комбинаций элементов модуля Е с коэффициентами из кольца А (гл. 11, 4 ИОиутОРАлинийныи и кпадРАтичныи ФОРмы Гл. »х, 1 3 арыитоиы и квьдрьтичныи юормы 385 З 1, и' 8) и для любого х б Е е„— элемент канонического бааиса модуля А(к1, соответствующий х.
Пусть Гз (Е) — фактормодуль модуля А(к) х (ез,ле) по подмодулю В, порожденному элементами (сх+з — е„— ез, — х 8 р) и (ел„— Лзех, 0), х б Е, у б Ел Л бА. Положим для любого х б Е у(х) = лр (е„,' 0), где ~р — каноническое В отображение модуля А1 ) х (Е я) К) на Гз (Р), у называется наненичееиилл отображением модуля К в Гз (Е). Доказать, что у — квадратическое отображение модуля Е в =Гз (Ь) и что для любого квадратического отображения О модуля Е в А-модуль Р существует единственное линейное отображение д модуля Гз (Е) в Р такое, что О = = — б е у (другими словами, пара (Гз (К), у) является решением проблемы универсальяого отображения; см. Теор. мн., гл. 1У, з 3). Покааать, что для любых А-модулей Е и Е' любого линейного отображения 1 модуля Е в К' существует единствеяное линейное отображение 1 модуля Гз (Е) а Гз (Е') такое, что у' е 1 = 1 е у, где у' — каноническое отображение модуля К' в Гз (Е').
б) Предположим, что модуль Е является прямой суммой двух подмодулей М и Л'. Определить канонический изоморфизм модуля Гз (Е) на прямую сумму модулей Гз (М), Гз ()у) и М я) Ьл (наказать, гго эта прямая сумма является решением той же проблемы универсального отображения, что и Гз (Е)).
в) Пусть Р— подмодуль в К, 1 — каноническая инъекция модуля Р в Р. Определить канонический изоморфиам модуля Гз (Е(Р) ва Гз (Е)1(1 (Гз (Р))+ф (Е Х Р)), где лр (х, у) = ~р (О, *®1 (у)) для х б Р, у б Р. (Тем же способом, что и в предыдущем упражнении.) г) Пуоть А' — коммутативное кольцо, Ь вЂ” гомоморфизм кольца А в А'. Определить канонический изоморфизм модуля Гз (А' 8 иЕ) на А' Я иГз (Р) (теле же способом). д) Существует единственное линейное отображение е модуля Гз (Е) в Е Х Е такое, что е (у (х)) = х Я х для всех х б Е; поьазатлч что если модуль Р свободный, то е является изоморфизмом ва подмодуль симметрических тензоров порядка 2 на модуле Е.
е) Пусть А = Я, и Ь' — циклическая группа конечного порядка п. Показать, что Гз (Е) — циклическая группа порядка и, если и нечетко, и порядка 2и, если и четно. (Заметить прежде всего, что Ф если а — обрааующий элемент группы Е, то у (а) — образующий группы Гз (Е), и что для любого целого Ь у( — Ьа) = — у (Ьа); если и нечетко, то прп Ь = (и — 1)!2 вывести отсюда, что пу (а) = 0; точно так же получить равенство 2пу (а) = 0 при и четном. Наконец, доказать, что если и нечетко (соответственно четно), то существует квадратическое отображение О группы Ь' в цннлическую группу порядка и (соответственно 2п), переводящее элемент а в образующий этой группы.) л Н.
Бурбаки 86 полуторалинкинык и кнлдрлтичнык хорны гл. гх, ь з 8) Пусть А — поле, Е, Р— векторные пространства над полем А. Пусть у — отображение пространства Е в Р такое, что существуют три отображения а, Ь, с проиаведения Е Х Е в Р, удовлетворяющие равенству у (йх+ру)=авва (х, у)+)>РЬ (х, у)+рас (х, у) (4) для любых х, убЕ, )>, рбЕ, а) докааать равенства: а(х, у)=у(х), с(х, у)у й(у) Ь(у х)= =Ь(х, у), Ь()>х, у)=ц>(х, у); поиааать, ироме того, что, положив »'(х, у, в)=Ь(х+у, в) — Ь(х, в) — Ь (у, в), будем иметь равенства е((х, у, в) = ь>(у, е, х) = с> (е, х, у); вывести отсюда, что» (Хх, ру, тв) = )>рте( (», у, е). б) Вывести иа а), что если А ~ Ьва, то обязательно с> (х, у, в) = 0 и, следовательно, отображение у — квадратическое (упражнение 7). напротив, для А =- .Р'а и Жш Е > 3 доказать, что существуют ото- бражения у пространства Е в А, удовлетворяющие условию (4), для которых с> (х, у, в) — не тождественный нуль.
9) Пусть А — коммутативиое кольцо, Š— А-модуль, имею- щий баэис из л влементов, Ф вЂ” симметрическая билинейная форма на модуле Е. Пусть е — элемент модуля /> Е, обрааующий бааис этого модуля, Л вЂ” дискриминант формы Ф относительно е, Ир — канонир в-р ческий взоморфизм модуля /> Е на /> Е* относительно е (гл.
(П, Ь 8, -1 р и' 5). Положим с><р> (х) = >р „р (>)е>(р) (х)), х б/>,Е, показать, что р е — р отображение»<р> модули />, Е в />, Е обладает следующими свойствами: р а) >>и р> (Ы>р> (х)) = ( — >)Рщ-Р> >)х длЯ любого х б />, Е. б) х />, »>р> (у) = Ф>р> (х, у) е н Фе> р> 0)>р> (х), с>>р> (у)) = р = />Ф,р> (х, у) для любых елемевтов х, У б />Е. в) Предположим дополнительно, что А — поле и форма Ф не- вырождеиа, Тогда, если х — разложимый Р-вектор ~0, соответ- ствующий подпростраиству Р пространства Е (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
