Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Дискриминантом формы Ф относительно системы Я называется,злемент де1 (Ф (хн х,)) кольца А. Дискриминант формы Ф относительно системы Я обозначается через ВФ (х„...,.х„) илн ОФ (Я). Если (х„..., х„) — базис модуля Е, то дискримипант формы Ф относительно этого базиса совпадает с определителем матрицы формы Ф относительно этого же базиса. 364 полутОРАлинейные и кВАдРАтнчные ФОРмы гл. >х, $2 Из определения продолжения формы Ф на модуль )'( Е (5 1, и' 9) следует равенство ПФ(ХМ..., Хз) = — Ф(а> (Х> Д Л Ха. ХГ /~ .
ЬХз)г (1) а где Ф,„,— продолжение формы Ф на/~Е. Следовательно, для любой перестановки о Е б„ РФ(хо<>>* хс(я>) = РФ(х>г хю хя). П р и и е р. Пусть  — алгебра над кольцом А, являющаяся свободным А-модулем конечной размерности и. Тогда отобра>ке- ние (х, у) -~ Тгв>А(ху) (гл. Ъ'111, з 12, и' 2) является билинейной формой на В. Пусть задана произвольная система (х,,..., х„) и элементов алгебры В; дискриминант этой формы относительно данной системы называется дискриминантом системы (хо..., х ) над кольцом А и обозначается через 1)н>А (хо..., х„). Таким образом, Рв>А (х,,..., х„) = г)еь (Тгн>А (х,х,)).
(2) 3 а м е ч а н н е. Пусть (е>, ..., е„) — базис алгебры В пад кольцом А и е;ту= ~', с>)ага — таблица умножения этого базиса(гл. П, л=> 1 7, в' 2). Матрица А-линейного эндоморфнзма х — ь еьх алгебры В отиосительнобазпса (ег) равна (са,„), н ноэтому Тгнгл(еа)= Х~Р~ г=! откуда тгн А(е;еу)= ~ спаса„„.Отсюдасяедуетравонство М г >>ваял (е>. -.' га) =беги > ~> спаса, (3) >,А,г / Пгвдло>кенив 1. Пусть Ф вЂ” форма на модуле Е, полутора- линейная относительно г, (х„..., х„) — система п элементов модуля Е и (а»)ил=.>... „> — множество пз элементов кольца 'А; положим у = ~ а;;х;. Тогда выполняется равенство >=> ПФ(у„..., у„) = де> (а>>) беь (а >)г Р,ь (х„..., х„). В самом деле, форма Ф полуторалинейна, так что Ф(уо у ) = = ч~~~ а,„Ф(хьх ) ахж. следовательно, матрица (Ф(у>, уу)) равна а, эг матрице А (Ф(х;, х>)) >Ах, где А =(а„).
Но Йеь('А) = бе$ (А» и де$(АУ) =бе$(А)У, откуда и следует наше утверждение. В частности, если (е;) и (е>) — два базиса модуля Е, Р и Р'— дискриминанты формы,Ф относительно этих базисов, и а — опре- днскРпмпнАнт полРТОРАлинкинои ФОРмы 365 делитель матрицы перехода от базиса (е ) к (е,:), то справедливо равенство 0' = аа~0. (4) Из предложении 1 следует, что если (е,) — базис модуля Е, то для любой системы (х„..., х„) и элементов Едискриминант 0Ф (е„..., е„) делит 0,э (х,, х„). В частности, два диснриминанта формы Ф относительно любых двух базисов модуля Е порождают один и тот же главный идеал в кольце А.
Пусть (Е;)мг — конечное семейство свободных А-модулей конечной размерности, Ф, — форма на Е;, полуторалинейная относительно У, и В; — базис модуля Е;. Обозначим через Ф прямую сумму форм Ф; ($1, и' 3) и через  — базис модуля 11Е;, г получающийся объединением базисов В~', очевидно, имеет место равенство 0Ф (В) П 0Ф. (В;). мг Пусть Ф вЂ” форма на модуле Е, полуторалинейная относительно У, и — гомоморфизм кольца А в коммутативное кольцо А', Ф' — полуторалинейная форма на тензорном проиаведении А' ЗА Е, получаемая продолжением формы Ф (З 1, и' 4), и (х„..., х„) — произвольная система элементов модуля Е.
Так как А ' ®А Е является свободным А '-модулем, определен дискриминант 0Ф (1 8 хп..., 1 8 х„) и очевидно равенство 0Ф (1 ®х„..., 1(я) х„) =й(0,в(х„..., х„)). (6) П р н и е р. Пусть  — алгебра нвд кольцом А, являющаяся свободвынА-модулем конечной размерносгп я, (хи..., гя) — базис алгебрм В, 1п — идеал кольца А, Ь вЂ” канонлческяй гомоморфнвм алгебры В на В/тВ. Тогда снстеиа влвмегпов (я (г,,..., я(гв)) является бавнсон алгебры В/тВ над А/т (гл. 1, 1 б, и' 5, предложение 5) н В/тВ нвоморфна (А/в~) Я АВ. Следояательно, Цв/тв)/(А/т/("(гг) ° "(гя))=/'(пв/А(гг . *я)).
ПРедлОжение 2. Предположил, что А — кольцо бег делителей нуля. Пусть Ф вЂ” форма на Е, полуторалинейная относительно У, (е„..' ., е„) — базис лодуля Е и 0Ф (ею..., е„) чь О. Тогда: а) Для гпого чтобы система (хы ..., х„) и элементов модуля Е была свободна, необходимо и достаточно, чтобы 0Ф(хп...,хя)чьО. 366 полттогллникинык и квлдвятичнык астмы гл.1х,э в б) Для того чтобы систеэга (х„..., х„) и элементов модуля Е была базисом, необходимо и дос1паточно, чтобы элементы Поэ (х„..., х„) и Пф (е„..,, е„) были ассоциированы в кольце А (ср. гл. У1, 1 1, и' 5). о Положим х, = ~ ан е~ (а;; 5 А). Сначала докажем утвержде- 1-1 ние а). Если В,р(х„...,.х„) = О, то бе1 (а;,) Лет (ал)э = О (предложение 1), так как 1),ь(еп..., е„) =Ф О, а кольцо А не имеет делителей нуля.
Следовательно, пе$ (а;;) =. О, то есть векторы хг линейно зависимы (гл. 111, $ 7, и' 1, теорема 1; применить эту теорему к векторному пространству К Зл Е, где К вЂ” поле дробей кольца А). Обратно, если эти векторы линейно зависимы, то бе1 (а;;) = О (там н'е), откуда П,р (хо..., х„) =- О (предложение 1).
Докажем теперь утверждение б). Если элементы Пф (хи..., х„) и Рф (е„..., е„) ассоциированы в Л, то вследствие предложения 1 элемент бе$ (аы) с(ес (аю)э обратим в кольце А. Точно так же бес (агэ) обратим в Л, так что матрица (а;,) над кольцом А обратима (гл. 111, 1 6, и' 5, теорема 2). Поэтому эндоморфизм д модуля Е, определенный равенством у (е) = х; (1 = 1,..., п), является автоморфизмом; следовательно, система (х„..., х„) является базисом модуля Е. Обратное немедленно следует нэ предложения 1. Пткдложкник 3, Пусть Ф вЂ” полуторалинейная относительно У форма на модуле Е.
Следующие условия эквивалентны: а) отображение аэ модуля Е в Е*, ассоциированное с Ф, биективно' б) отображение 4р модуля Е в Еэ, ассоциированное с Ф, биективно' в) элемент П,э (Е) обратим в А, эде Š— базис модуля Е. В самом деле, условие в) означает, что матрица формы Ф относительно базиса Я обратима (гл. 111, 1 6, и' 5, теорема 2). Следовательно, утверндения в) и а) эквивалентны ($1, и' 1О). Аналогично эквивалентны утверждения в) и 6). Пгкдложкник 4.
Пусть Л вЂ” кольцо беэ делителей нуля, и Я— базис модуля Е. Полуторалинейная форма Ф на модуле Е не вырождена тогда и только тогда, когда Р э (Я) Ф О. ДИСБРИМИНАПТ ПОЛУТОРАЛИНЕИНОЙ СЬОРМРЛ 367' В самом деле, пусть К вЂ” поле дробей кольца А, Ф' — продолжение формы Ф на векторноеК-пространстзо К 3„Е; отождествим Е с соответствующей частью этого пространства. Но формуле (6) условие Рю (Я) ~: О равносильно условию Рф (Я) чь О, которое означает, что отображение зф биективно (предложенне 3), то есть форма Ф' невырождена Я 1, и' 6, предложение 6). Тогда для любого х Е К ЗА Е найдется элемент а Е А такой, что ах й Е, следовательно, форма Ф будет вырожденной тогда и только тогда, когда вырождена форма Ф'.
Это доказывает наше утверждение. Нгкдложкниз 5. Пусть А — поле,  — коммутативнал а иебра конечной размерности и над нолем А, Я вЂ” базис алгебры В. Д'ля того чтобы алгебра В была селарабельной (гл. У111, $7, и' 5, определение 1), необходимо и достаточно, чтобы Рзгл (Я) чь О. В самом деле, пусть А' — алгебраическое замыкание поля А, В' — алгебра А ' Ял В над А '. Если алгебра В сепарабельна, то алгебра В' полупроста (гл. У111, з 7, и' 5, следствие предложения 7) и является, следовательно, прямой суммой и полей, изоморфных А ' (гл. Ч111, 3 6, и' 4, следствие предложения 9). Если Я' — канонический базис алгебры В ' (отождествленной с А'"), то Рвгл (Я') = 1, откуда Рв АА, (В) ~ О (предложение 1) и Рв;А (Я) Ф О (формула (6)). Обратно, предположим, что Рлгл (Е) ~ О.
Для доказательства сепарабельности алгебры В достаточно показать, что В' полупроста, то есть не содержит нильпотентных элементов, отличных от О, Но если х' — ненулевой нильпотентный элементВ', то, взяв его в качестве первого элемента базиса Я' алгебры В', мы получили бы, что Тгв гл (х'у') =- О для любого у' ~ Я', так как все собственные значения нильпотентного эндоморфизма равны нулю (гл. Ч11, з 5, и' 3, следствие 3 предложения 8); следовательно, след равен нулю, но тогда Рл гл (Я') = О, откуда и Рл гл (Я) = О (предложение 1) и Рл1А (Я) =.
О (формула (6)), что противоречит предположению. 3 а м е ч а н и е. Предположим, что  — аадаоле поля А. Пусть. Ю = (ао, „ла) — бааис В и (г„..., г„) — А-иаоморфиамы надполя В в алгебраическое замыкание А' поли А (каждое ь повторяется [В: А); раа). Напомним, что для любого а б В выполняется равенство Тгн А (г) = ~ зг (г) (гл, У111, $12, в' 2, предложенве 4). 1=1 368 политОРАлиняиные и квАдРАтичные Формы Гл. 1х, Тогда из формулы умиожеиил определителей следует равенство (без(гг (з1)))з=)гвгд(*1г ° ' *о).
(7) Эта формула показывает, что предложение 5 обобщает условие сеоарабельиости, приведенное з гл. г', 1 7, и' 2, замечание. Пгедложение 6. Пусть Ф вЂ” А-билинейная форма на Е, К— такое подкольцо в А, что А является свободным К-модулем конечной . размерности д. Пусть (е1)1 1,, — базис модуля Е над кольцом А и (а,);=1, „, ч — базис модуля Л над кольцом К. Тогда (агег) является базисом модуля Е над К, отображение Ф' произведения Е Х Е в кольцо К, определенное равенством Ф' (х, у) = = Тгд7к (Ф (х, у)), является К-билинейной формой на модуле Е и выполняется равенство Пе (аге1)=ЖА7к(0р(е„..., е„))(УА7к(аы ..., ач))". (8) Первые два утверждения очевидны, остается доказать равенство (8). По определению, левая часть этого равенства есть определитель К-линейного эндоморфизма и модуля Е, заданного формулой и(а;е;) = ч~~ ~Тгдгк(ага„Ф(ео е,)) а„а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
