Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 80
Текст из файла (страница 80)
5) Пусть К вЂ” поле характеристики 2, А — сепарабельное квадратичное расширение поля К, А = К (О), где Π— корень некоторого неприводнмого многочлена Хз+ Х+ [) нз кольца К [Х[. Пусть. далео, я' — К-автоморфивм полн А, отличный от тождественного итакой, чтоб = О+ 1 (гл. У, 411, упражненпе8); Е, à — вокторные пространства над полем А. Показать, что для всякого полуторалпнейного (относительно я) отображения Ф произведения Е Х Е в С справедливо тоясдество Ф(, у)=0(О +у) — К(х) — 0(Р) — (О+1) й(х+Р) — 1)(х) — 0(у)), где Д (х) = Ф (х, х). 6) Пусть А — тело, Š— векторное пространство над телом А, Ф вЂ” полугоралннейная форма на пространстве Е, и — вндоморфизм пространства Е.
а) Для того чтобм существовал единственный зндоморфизм ие пространства Е, удовлетворяющий условию Ф (и (х), у) = Ф (х, ие (у)) для любых х, у б Е, необходимо и достаточно, чтобы отображение сФ было инъективно и выполнялось включение 'в(ИФ(ЕИ~ 'Ф(Е) б) Привести пример, в котором пространство Е бесконечномерно, отображение а', пнъективно, но 'и (о', (Е)) не содержится в ИФ (Е).
7) Пусть Е, Е, — А-модули, Ф (соответственно Ф~) — полутора- линейная форма на модуле Е (соответственно Е,). Предположим, что форма Ф~ не вырождена и что существуют такой элемента б А и такая бнекция и модуля Е на Е„что для любых х, Р б Е выполняется равенство Ф, (и (х), и (у)) = Ф (х, у) сс. Показать, что: 1' форма Ф невы- рождена; 2' отображение к яизейно; 3' если А-модуль Е, точный, то модуль Е также точный; 4' если форма Ф, крпнпмает значения, НОЛУТОУАЛИНЕЙНЫЕ ФОВМЫ не являющиеся в кольце А левыми делнтелямп нуля, то форма Ф также принимает такие значения. 8) Пусть А — тело, Е„Ез — векторные пространства над Л, отличные от О, Фе (соответственно Фз) — невырожденная форма на пространстве Е, (соответственно Ег), полуторалинейная относительно антнавтоморфизма Х, (соответственно Хз) тела А.
Пусть и— линейное отображение пространства Е, иа Ез такое, что пз равенства Ф~ (з, у) = 0 следует Фз (и (х), и (у)) = О. а) Показать, что отображение и — бпекцня пространства Е, на -1 Ез. (Показать, что при и (0) ФО в пространстве Е, нашлись бы такие два вектора а и Ь, что и (а) Ф О, и (Ь) = 0 и. Ф, (а, Ь) Ф 0; заметить, что тогда было бы справедливо равенство и (Н) = Ез, где Н вЂ” гпперплоскость, состоящая на векторов а б Е, таких, что Фг (а, а) = 0.) б) Показать, что если ейш Ь", )~ 2, то существует алевгент а б Л такой, что Фз (и (а), и (у)) = Ф, (х, у) и для любых а, у б Е,. (Пока- вать, что для любо~о у б Е, существует элемент т (у) б Л тапок, что Фз (и (а), и (у)) = Ф, (а, у) та (у) для любого а б Е„н что если у и у' линейно независимы в Еи то т (у + у') = т (у) =- ле (у ).) 9) Пусть Л вЂ” тело, Е и Р— левые векторные пространства над А, ер — невырождепная форма на произведении Е Х Р, полуторалинейная относительно антиавтоморфнзма Х тела Л. а) Пусть М вЂ” подпространство в Е, Н вЂ” подпространство в Р, причем Л/ ~ Ме п М З Но.
Показать, что если одно из пространств Л'/Мо и М/Л'о конечномерно, то н другое конечномерно н размерности этих пространств совпадают. б) Пусть М и М' — подпространства в Е, Ме" = М и надпространство М' конечномерно; показать, что (М () М')е = Ме + М'е н (М + М')ее =- М+ М'. (Применив а) к подпространствам ЛХ' и Л/е+ЛХ'о, показать, что ьйш (ЛХ () ЛХ') =собйгл (Мо + М'е), применив а) к подпространствам М+ ЛХ' и Ме, покааать, что 4(ш ((М+М')ео/М) =д(ш ((М+М')/М). в) Показать, что если Ь' = Р и Е = Ме + Мое, где М вЂ” неноторое надпространство в .Е, то Е является прямой суммой надпространств ЛХо н Мео. г) Пусть Š— векторное пространство пад полем А, обладающее счетным бесконечным базисом (е„)а>е, и Ф вЂ” симметрическая билпнейная форма на пространстве Е такая, что Ф (е„, е„) = 1 для любого л, Ф (еы е!) = 0 для /,е 1, ! ) 1 н г Ф !' и Ф (ео, е„) = 1 для всех и ) 1.
11оиазать, что форма Ф невырождена. Пусть М (соответстзенно Н) — подпространство, порожденное в Е злементами езь (соответственно еш,) для Ь > 1, так что ЕХ = ЛХ+ Н вЂ” гиперплоскость в пространстве Е. Показать, что ЛХе =- Н, /Уе = ЛХ, Нзе = Ь' ы- =А Н, (ЛХ () /У)е чь ЛХе + /Уе, (ЛХ + Л')ее Ф М + /У, а также ЛХое = = — М п Л'ое = — /у. Показать, что (/ П Н)о Ф /е+ Но, где Ь вЂ” подпространство размерности 2, порожденное элементами ее п е,. 62 полутОРАлннейные и кВАдРАтичные ФОРмы гл. 1х, 1 ! з!0) Пусть Е, Е' — левые векторные пространства размерности >3 над телами Л, Л' соответственно; пусть 5 (Е) (соответственно 5 (Е')) — решеточно-у®орядоченное (по включению) множество конечномерпых подпространств пространства Е (соответственно Е').
а) Пусть отображение р множества 5 (Е) в 5 (Е,) удовлетворяет условиям: для любого М б 5 (Е), йпп р (М) =- Жпз М н для любой вары элементов М, Л1 множества 5 (Е) р(М+ )у) = Р (М) (.(р (Л1).ПО- казать, что отображение р пнъеитнвно; если отображение р биеггтивпо, то существует полулпнейиое бнектизиое отображение и пространства Е в Е' такое, что для любого М Р 5 (Е) выполяяется равенство и (М) = р (М) (использовать упражнение !О гл. 11, приложение 111), б) Привести пример, в котором Л' = А коммутатввно, пространство Е' =.- К конечномеряо и существует отображеипе р множества 5 (Е) в себя, при котором ейш Р (М) = й !ш М, Р (М+ Л1) = Р (М) + Р (Л), Р (М П )У)— — Р (Л1) П Р (Л1) но не существует внъектпвиого полулинейного отображения пространства Е в себя такого, что и (М) = р (М) для любого М Е 5 (Е).
(Рассмотреть случай, когда существует падполе Л" поля А, имеющее конечную степень и нзоморфное полю А, например А =- Рр (Х), где р — простое число; тогда векторное пространство Е' .—.= Л" 3 АЕ над полем Л" имеет ту же размерность, что пространство Е над полем А; рассмотреть отображение М вЂ” в Л Я АМ.) в) Возьмем А' = А. Пусть ю — бнектизное отображение множества 5 (Е) на множество $'(Е') подпростраяств пространства Е', кмеющвх конечную факторразмерность, причем сей!ш Ф (М) = = гйш М н со (М + Л') =- оэ (М) () ю (Л1).
Покааать, что на произведении Е Х Е' существует полуторалинейная форма Ф, невырожденная спрзва и такая, что ю (М) = Мо для любого М Е 11 (Е) (попользовать теорему ! гл. 11, 5 4, и' 6). !!) а) Пусть кольцо А артниово слева и справа (гч. У!11, $2, и' 3). Показать, что следующие условия згшиваленткы; !' правый (соответственно левый) аниулятор всякого левого (соответственно правого) идеала, отличного от А, не равен 0; 2' для любого простого левого (соответствеяно правого) Л-модуля сопряженный модуль отличен от 0; 3' для всякого левого (соответствеяна правого) А-модуля конечного типа сопряженный модуль отличен от О.
Говорят, что кольцо А удовлетворяет условию (Л1в) (соответственно (Лз), если для любых левых (соответственно правых) А-модулей выполняются укааанные условия. б) Пусть кольцо в! артпново слева и справа и удовлетворяет условию (Ел), Е (соответственно Р) — сввбвдиый левый (соответственно правмй) Л-модуль, имеющий счетный базис над кольцом А. днскрныинАнт полутОРАлинкйной ФОРмы 363 Ф вЂ” билинейная форма на произведения Е Х Г п отображение е, внъектнвно. Пусть М вЂ” свободный подмодуль в Е.
Показать, что существуют свободный подмодуль )у ыодуля Е и такой базис (е„) (соответственно (1„)) модуля Е (соответственно Р), что Ф (ен 11) = бе~,' более того, в качестве е, можно взять. произвольный элемент подмодуля М. (Заметпть, что если з — свободный элемент модуля М, то образом модуля Г при отображении у — Ф (з, у) будет все кольцо А; затем по индукции построить базисы (е„) и ((„).) Вывести отсюда, что если базис (е„) подмодуля М конечен, то модуль Е является прямой суммой подмодулей М н Део, причем Моз = М.
в) Сохраняя предположения пункта б)е предположим дополнительно, что кольцо А удовлетворяет условию (Л'е) н что отобран;ение е(Ф инъективно. Показать, что в этом случае в пространствах Е и Е существуют базисы (е„) и (/„) такие, что Ф (ен 11)=бы (используя б), строить по индукцгщ попеременно элементы базисов (е ) (( )). '12) Пусть Š— вещественное гильбертово пространство счетного типа, Ф (з, у) — скадярное произведение в пространстве Е.
Показать, что в векторном пространстве Е над полем лс яе существует системы из двух алгебраических базисов (еь), ((„) таких, что <р (еь, (э) =- бь для любой пары индексов. Заметить сначала, что множество индексов этих базисов имело бы мощность континуума. (Векторные топологпческпе пространства, гл. 11, $3, упражнение 15); рассмотреть затем (счетный) ортовормальный базис (о„) пространства Е и заметить, что подпростравство, порожденное элементами а„, содержится в подпространстве, порол<денном некоторым счетным подмножеством пз (е>).) ф 2. Дискрнминант полуторалинейной формы В этом параграфе приняты обозначения: А — коммутативное кольцо, з" — антиавтоморфизм кольца А, Š— свободный А -модуль конечной раз.керности и, Опэкдклкпик 1. Пусть Ф вЂ” полуторалинейная относительно ,е форма на модуле Е и Я=-(хо..., х„) — система из и'элементов модуля Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
