Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 79
Текст из файла (страница 79)
хр, то предыдущее условие выражает ассоциативность этого отображения и, следовательно, выполнено. Аналогичные условия мы полутОРАлинейпык ФОРмы будем считать вьпюлненными и в случае произведения более чем трех сомножителей. Пусть А и  — кольца, М = (т ь)<,,ю е ~хк и М' = =- (т';ь)пл~ е гкх — матрицы над (А, В)-бнмодулем 6 (и' 1). Если для всякой матрицы Х, = (а,);ет, состоящей из одной строки, с элементами из кольца А, и всякой матрицы С = (Ьа)вел, состоящей из одного столбца, с элементами из кольца В, справедливо равенство ВМС = ХМ'С (произведения вычислены в соответствии с отображениями, определяющими структуру (А, В)-бимодуля 6), то матрицы М и М' совпадают. В самом деле, положив а; = 1, а, =- О для в ~ 1 и Ь» — — 1, Ь~ = О для г ~ь й, получим, что матрицы ВМС и ХМ'С будут скалярными и равнымн соответственно ты н т ы.
11. Рассмотрим кольцо А и А-модуль Е (левый или правый), имеющий конечный базис (е,); е т. Для всякого х ~ Е матрклей элемента х огпповительпо базиса (еД называется матрица, состоящая из одного столбца, образованного координатами х; (1С Х) элемента х относительно базиса (е,) (ср. гл. 11, 5 6, и' 4); зта матрица обозначается через М (х) или ю. Чтобы напомнить, что 1 является индексом строки, при вычислениях удобно приписывать к нему индекс стобца, принимающий одно аначевие, и обозначать матрицу М (х) символом (хга).
Рассмотрим теперь два А-модуля Е и г (левых илн правых) с конечными базисами (е;); е г и (Хь)аех, пусть (11) — базис модуля Ев, сопряженный с базисом (Хь). В нижеследующих четырех случаях мы определим относительно этих базисов матрицу отображения и модуля Е в г": (П) Е и Š— правые А-модули, отображение и А-линейно; (Л) Е и К вЂ” левые А-модули, отображение и А-линейно; (ЛП) Š— левый А-модуль, г — правый А-модуль, в А имеется антиавтоморфизм У, отображение и Я-линейно и удовлетворяет соотношению и (ах) =- и (х) аэ (а Е А, х Е Е) (иными словами, и — А-линейное отображение модуля Еэ в г (и'2, определение 5)).
(ПЛ) Š— правый А-модуль, г" — левый А-модуль, в А имеется антиавтоморфизм Х, отображение и 7-линейно и удовлетворяет соотношению и (ха) = аэ и (х) (х б Е, а ~ А) (иными словами, и — А-лннейное отображение модуля Еэ в Е), 356 полутогалинаиныв и квлдглтичнык еогмы гл.зх,11 В каждом из этих случаев, манзрицей отображения и называется матрица (из,)1адык„и определяемая равенством иы = (и (е ), )а). (44) В случае (П) это определение совпадает с определением в гл. 11, .$6, и' 3. Матрица М (и (х)) образа элемента х Е Е задается следующими формулами: М(и(х)) =М(и) М(х), (45 П) 'М(и(х)) ='М(х)'М(и), (45 Л) М(и(х)) =М(и) М(х)', (45 ЛП) 'М (и (х)) = 'М (х)з 'М(и).
(45 ПЛ) Проверим, например, равенство (45 ПЛ) (остальные проверяются аналогично н несколько проще). Положим х = ~~~„езх,з, и (х) = ч~~ ~Уазуз, тогда и (х) = 4 = и („"~~~ е; х*о) = 'Я~хззиа;~а откуда уаз = ~х|еиаь чч х Чтобы поставить оба индекса ( рядом, рассмотрим транспоннрованные матрицы 'М (х) = (хо;), где хз, =- х1е, и 'М (и) = (и,'а), где и(а — — изб тогда получим уае = ~хезича,. правая часть этого равенства является элементом с индексом Й матрицы 'М(х) 'М (и), состоящей иа одной строки, так что формула (45 ПЛ) доказана.
Замечания. 1) Если кольцо А коммутатнвно, то нз равенства ~(М'М")=СМ"~М' (см (42)), где обе частя вычислены в кольце А, следует, что формула (45 Л) сводятся к (45 П), а формула (45 ПЛ)— к (45ЛП). 2) Пусть Е, Р, П вЂ” левые А-модуля с конечными базисами, в; Е-ч.Рнз; Р-з-С вЂ” А-лннейные отображения.
Из формулы (45Л) следует равенство 'М (х и) = ~М (в) 'М(о). (46) В самом деле, для любого х 6 Е нмеем ~М (х) ~М (о о в)=~М (о(в (х))) =М (в(х))' М (с)='М(х) ~М (и) зМ (в), откуда н следует (46). Напомннм, что в случае правых А-модулей М (о ' в) = М ( ) М (в) 1И.
Пусть теперь А — кольцо,  — кольцо (соответственно кольцо с антиавтоморфизмом У, Х' = У '), Š— левый А-модуль полутоиллинкйныи ФОРмы 357 с конечным базисом (е; )мт и Р— правый (соответственно левый) В-модуль с конечным базисом Дь)ьек. Через (е*;) и Я) обозначим сопряженные базисы модулей Еэ и Р*. Если не оговорено противное, то рассматриваемые ниже матрицы предполагаются взятыми относительно этих базисов. Пусть 6 — (А, В)-бимодуль (и' 1), Ф вЂ” билинейное (соответственно полуторалинейное справа относительно У) отображение произведения Е х Р в 6 и Л = (Ф (ео ~ь)) — матрица отображения Ф. Тогда, используя введенные обозначения, перепишем формулу (6) и' 1 (соответственно (8) и' 2) в виде Ф (х, у) = 'М (х) ЛМ (р) (соответственно Ф (х, р) = — 'М (х) ВМ (у)х), (47) где произведения вычислены в соответствии с отображениями, определяющими структуру (А, В)-бимодуля 6; в частности, если А ~В = — 6 (в этом случае Ф вЂ” форма), эти произведения вычисляются в А.
Пусть Е' — левый А-модуль с конечным базисом (е,'),ез, Р' — правый (соответственно левый) А-модуль с конечным базисом Ямт, ьк Е-~- Е' и ьч Г-~ Р' — А-линейные отображения и Ф' — билинейное (соответственно полуторалинейное справа относительно 1) отображение произведения Е' х Р' в 6. Обозначим через Ф обратный образ формы Ф' (относительно отображений и и и) и черезУ, У, Л, В' — матрицы отображений и, э, Ф и Ф'относительно рассматриваемых базисов. Тогда справедливо равенство Л = 'УЛ''г' (соответственно В =- 'б й'Гг), (48) где произведения вычислены так же, как и в формуле (47). В самом деле, по определению, для любыт х ~ Е и у Е Р выполняется равенство Ф (х, у) =- Ф' (и (х), в (у)), откуда по формуле (47) 'М (х) ЛМ (у) = 'М (и (х)) В'М (и (у)) (соответственно 'М(х) ЛМ (у)х = 'М (и (х)) В М (п (у))~. Из формул (45Л) и (45П) (соответственно (45Д)) н формулы (43) следует равенство 'М (х) ЛМ (р) =- 'М (х) 'УЛ'(гм (у) (соответственно 'М (х) ЛМ (у)э = 'М (х)ЧУЛ' '('М (у) 'г')~ = ='М(х) 'УВ УгМ (у)х), что и доказывает наше утверждение.
358 полутовллннкйныи н квлдглтичнгик юогмги гл. гк, 1 1У. Предположим теперь, что кольца А и В совпадают и обозначим через Ф билинейную (соответственно полуторалинейную справа относительно Х) форму на произведении Е х Р и через В— матрицу формы Ф. Найдем матрицы ассоциированных с формой Ф отображений гю и Ию. Так как по формуле (23) и' 6 имеем равенство Ф (х, у) = (у, г(х)) = (х, г) (у)) (соответственно по формуле (24), и' 6 равенство Ф (х, у) = (х, гХ (у)) = (у, г (х))г), то верны и равенства Ф (еы Ха) = (Хд, г (е;)) ==- (е;, г) (Ха)) (соответственно Ф (е;, Ха) = (ен г( (Ха)> = (Ха, г (е;))г). Но базис (е;) сопряжен с базисом (е,*) и базис (Ха) сопряжен с базисом (Хае), так что, в силу (44), из последнего равенства получим М(г() = В, М(г) = 'В- (соответственно М(д) = В, М(г) = — 'Вх). (49) 3 ам е ч а н и я.
1) Если А — тело, то линейные отображения г и в' имеют одинаковый ранг. Убедимся, что и ях матрицы РХ (в) и М (о) имеют одинаковый ранг; в самом деле, ранг всякой матрицы над телом А равен рангу ее транспоннрованвой матрицы (гл. 11, 1 6, п' 7, предложение 3). В случае полуторалппейного отображения Ф ив равенства рангов матриц Л над телом А и 'й над телом Ао (там же), учнтывая, что Х' является паоморфиамом тела Ае на А, можно ваключпть, что матрицы ХГ и ГЛХ над телом А имеют одинаковый ранг. 2) Пусть М п Л' — правые А-модули с коиечнымв бааисам~ (вп) н (ла), Ф вЂ” форма на ЬХ Х Дг, полуторалинейнан слева относительно Х (и' 6, замечание), г и Л вЂ” ассоциированные с ней отображения, В = (Ф (жо ва)) — матрица формы Ф.
Тогда ив формул (26) и' 6 следуют равенства М И) —. д', и (г) =~в. Предположим теперь, что отображения г и с(, ассоциированные с формой Ф, биективны, н вычислим матрицу В обратной формы Ф (и' 7). Коли Ф вЂ” билинейная форма, то Ф является обратным образом формы гЬ относительно линейных отображений ь: Е-г-Е" и г(: Г-ч- Ее; значит, ввиду равенств' (48) и (49), В = ВВВ, откуда, поскольку матрица В обратима (гХ вЂ” биекция), следует, что В .== В '. Это равенство справедливо и для полуторалинейной формы Ф, так как, рассмотрев Ф как билинейную форму на произведении Е х Рг и отождествив (Р")е с (Ее)г (ср. и' 9), получим, что обратная форма для этой билинейной фор- 359 полутОРАлинейные ФОРмы уо мы совпадает с Ф, рассматриваемой как билинейная форма на произведении (ЕЯ)л х Ь'*.
В обоих случаях матрица обратной формы Ф обратна и матрице формы Ф. Пусть, наконец, Е' — левый А-модуль и р' — правый (соответственно левый) А-модуль с конечными базисами (е,') и ((е); пусть, далее, Ф' — билинейная (соответственно полуторалинейная относительно л) форма на произведении Е' х Р', и В' — ее матрица. Предполоеким, что отображения ав и с(Ф биективны. Пусть и: Е-+Ь"' и и: Р-ь Р' — линейные отображения, и»: Р'-~Г и и»: Ь" -~ Š— их сопряяеенные гомоморфизмы (и' 8, предложение 7); обозначим через О', )т, Пе, у'» матрицы отображений и, Р, и», и» относительно данных базисов. Тогда справедливы равенства тт» Л-1 77Л' ер» Л'Р Л-е (5О) (соответственно 1л» ='В ' 77 Л', р» =.
Л улВ '). В самом деле, для л1обых х Е Е и у г Р' имеем равенство Ф' (и (х), у) = Ф (х, и» (у)) (и' 8, определение 40). Голи Ф— билинейная форма, то по формуле (47) 'М (и (х)) Л' М(у) = = 'М (х) В М (и* (у)); отсюда по (45 Л) и (45 П) следует равенство М (х) '(7 В' М (у) = М(х) ВЮ» М (у), такчто ел'В' = Вб», то есть первая формула доказана (так как отображение с( биективно, а матрица Л обратима). Если Ф вЂ” полуторалинейная форма, то из (47) и (45 Л) следует равенство 'М (х) 'И~'М (у)л =- = '(М (х) Л'('М (у) '(Р")л; но в силу (43) ('М (у) 'П»)л = = '(П1лел ПМ(у)л), откуда ( М (у) 'гл»)л = елее М (у)л; следовательно, 'М (х) 'слВ'М (у)л = 'М (х) ВГ»л М (у)л, и поэтому 'ГВ' = ВБ»л и (7»л = Л "с)В'. Доказательство формул для матрицы у» аналогично.
У п р а ж н е н н я. 1) Пусть А — поле, Š— векторяое пространство иад полем А, имеющее счетный бесконечный базис (е„)„ Определим билинейную форму Ф на пространстве Е, положив Ф (е;+ь е;) =- 1 для 1 > 1, Ф (еа, еу) = О для»' Ф / + 1 и ) ) 1. Показать, что ливейяое отображение е)Ф, ассоциированное справа с формои Ф, инъективно, а линейное отображение ес„ ассоциированное с формой Ф слеаа, не инъективяо. 2) Пусть Š— Е-модуль, являю1цийся прямой суммой модулей Я и Я!(2), н Е» — сопряженный модуль (пзоморфяый Е), Показать, что для билинейной формы (х, х') -ь(х, х') яа прояаведеяпя )О полутОРАлинийные и ИВАЛРАтичные ФОРмы Гл, 1х, 1 1 Е Х Ее линейное отображение, ассоциированное справа, инъективно, а линейное отображение, ассоциированное слева, не инъективпо. 3) Привести пример билинейной формы Ф на произведении двул векторных пространств, для которой отображение ЛФ бпектнвио, а отображение аФ инъекгивно, но не биективно (взять бескояечномерное пространство Е п сопряженное к нему ирострапсто Г; см, гл.
11, $5, упражнение 3). 4) Пусть А — кольцо с антиавтоморфизмом я, Š— правый А-модуль, С вЂ” (А, А)-бимодуль н Ф вЂ” отображение произведения Е Х Е в 6, полуторалинейное справа отпосительно я. Положим 1г' (х) = Ф (х, х). Доказать тождество 2Ф(х, у) (р~2~ — 2")гЯ) =Я(х — р2у) — ~>(х+р2у)+)о>(х+2у)— — )кг(х — 2у)+а +ру))' — () (х — ри))'+ +рЕ(х — Р) 2' — тх+-у) 2".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
