Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Впрочем, сейчас мы увидим, что изучение полуторалинсйных отображений можно свести к изучению билинейных отображений. Опгвдвлвник 5, Пусть  — кольцо, Р— левый (соответственно правый) В-модуль и У вЂ” антиавтоморфизм кольца В. Через Ез обозначается правый (соответственно левый) В-модуль, аддитивная группа которого совпадает с аддитивной группой модуля Р, и внмшняя композиция задается правилом (Ь, у) — ~ Ьз'у (соответственно (Ь, у) — уЬм) (Ь Е В, у ~ г", У' = У-т).
В обозначениях определения 5 линейное отображение модуля Рз в правый (соответственно левый) В-модуль Н отождествляется с Я-линейным отображением и модуля Р в модуль Н, удовлетворяющим условию и(6у)=и(у) 6з (соответственно и(уЬ)=Ьзи(у)) (ЬЕВ, уйР). ВЗО полутОРАлинкйнык и кВАдРАтнчнык ФОРмы Гл. 1х, 1 1 Если рассматривать Х как каоморфпам кольца Во,противоположного В, ка кольцо В и Р— как правый (соответствеико левый) Во-модуль, то огобра кекпе и модули Г в модуль 1т' будет лолузккейкеек отображением г в Н относительно изоморфизма У (гл.
11, приложеиие 1, и' 1). Точно так же полуторалинейное справа (относительно У) отображение Ф произведения Е х Е в бимодуль 6, где Š— левый В-модуль, отождествляется с билинейным отображением произведения Е х Ез в 6. Если зто билинейное отображение вырождено справа (соответственно вырождено слева, невырождсно), то Ф называется вырожденным справа (соответственно вырожденным слева, нсвырожденним) .
3 а м е ч а н и е. Пусть А и  — кольца, У! — антиавтоморфизм кольца А, М вЂ” правый А-модуль, зт' — правый В-модуль и 6 — (А, В)-бимодулгь Отображение Ф проиаведения М х Ут' в 6 называется полуторалинейным слева относительно У, осли оно Я-билинейно и удовлетворяет условию Ф(ха, уЬ)=-аз'Ф(х, у)Ь (хьМ, уЕЛ', ачА, ЬЕВ).
(9) Такое отображение можно отождествить с билинейным отображением произведения Мв! х )т' в 6. Перенесение на отображения, полуторалинейные слева, всех Определений и свойств, рассмотренных для отображений, полуторалинейных справа, мы часто будем оставлять читателю, и когда мы будем говорить о полуторалинейных отображениях (без уточнения), речь будет идти об отображениях, полуторалинейных справа. Л. Отзпгоготсссльноспгь. Прямые сумма! билинейнызс и тсо гуупгорсглгснейныж отпоброэссвний В этом и' приняты обозначения: А и  — кольца, Š— левый А-модуль, à — правый (соответственно левый) В-модуль, 6— (А, В)-бимодуль и Ф вЂ” билинейное (соответственно полутора-чинейное относительно данного антиавтоморфизма У кольца В) отображение произведения Е х Р в 6.
Опгкдклкник 6. Два элемента х Е Е и у Е Р называются ортозональными относительно отображения Ф, если Ф (х, у) = О. Два ПОЛУТОРАЛИНЕИНЫЕ ФОРМЫ подмножества Е' с: Е и Р' ~ Р называются ортогональными, если любые два элемента х ~ Е' и у г Р' ортогональны. Множество элементов модуля Е (соответственно Р), ортогональных к некоторому подмодулю Х модуля Р(соответственно подмодулю М модуля Е), является подмодулем модуля Е (соответственно модуля Р); он называется полным ортогональным подмодулем (или просто ортогональным подмодулем) для подмодуля Ж (соответственно подмодуля М) и обозначается через Нз (соответственно Мз).
Пусть Н и Н' — два подмодуля модуля Е или модуля Р. Тогда Н с: (Н')' ((Н')г в дальнейшем обозначается через Нз'); если Н с Н', то Нг ~ Н' Отсюда следует, что Нз ~ (Нзг)о н Н' ~ (Нз)зг; положив Ного — (Ног)о — (Но)оо — ((Но)о)г получим Н' =- Нззз. Для того чтобы отобран."ение Ф было вырожденным (и' 1, определение 3), необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из подмодулей Ег и Рг был отличен от (О).
Очевидно, чтозначенне Ф (х, у) ве меняется, если к х (соответственно к у) прибавить любой элемент модуля Р' (соответственно Е'), и следовательно, посредством факторизации Ф определяет билинейное (или полутора- линейное) отображение на произведении (Е/Рг) х (Р/Ьч); это отображение, очевидно, не вырождено и называется невырожденным билинейным (илн полуторалинейным) отображением, ассоциированным с Ф. Пусть (Е;)мг — семейство левых А-модулей, (Р;)и, — семейство правых (соответственно левых) В-модулей, Ф; — билинейное (соответственно полуторалинейпое справа относительно з) отображение произведения Е; х Р; в 6.
Обозначим через Е (соответственно Р) прямую сумму модулей Е; (соответственно Р;). Тогда, очевидно, отображение Ф произведения Е х Р в 6, определенное формулой Ф((х~), (у;))=~л~~Ф;(хи у~) (х;6Е;, у~ЕР,), (10) 4 билинейное (соответственно полуторалинейное справа относительно,7) (сумма имеет смысл, так как все слагаемые, кроме конечного числа, равны нулю). Это отображение называется прямой суммой отображений Фы Ясно, что при г ~ь у модуль Е; ортого- 332 полУтОРАлинеиные и кВАдРАтичные РОРмы гл.
1х, пален к Р; относительно Ф. Обратно, пусть Ф вЂ” билинейное или полуторалннейное отображение произведения Е )с Р в 6; пусть, далее, модуль Š— прямая сумма подмодулей (Е;)еы, а модуль Р— прямая сумма подмодулей (Р;) Рзн причем для 1 ~ 1 подмодуль Е~ ортогонален к Р,; тогда Ф является прямой суммой своих сужений на произведения Е, А' Р~ (1 б 1). Отображение Ф не вырождено тогда и только тогда, когда не вырождено кап дое Ф;; при этих условиях подмодуль, ортогональный к Еь равен ~ Рг. 1Е1 4. Замена осгсовньсгс малец В этом и' приняты обозначения: А, В, А', В' — кольца, 6 и 6' — гомоморфизмы колец А в А' и В в В' соответственно, 6 — (А, В)-бимодуль, 6' — (А ', В')-бимодуль, и и — гомоморфизм абелевой группы бимодуля 6 в абелеву группу бимодуля 6', удовлетворяющий условию и(адЬ)=6(а)и(у)6'(6) (аЕА, уе6, ЬЕВ).
(11) Пусть Е (соответственно Р) — левый А-модуль (соответственно правый В-чгодуль). Напомним (гл. 111, приложение 11, и' Ю), что если рассматривать А ' (соответственно В') как правый А-модуль (соответственно левый В-модуль), то тенаорное произведение Е' = А (х>А Е (соответственно Р' = Р (3о В') наделено структурой левого А '-модуля (соответственно правого В'-модуля), которая определяется формулой а,'(а'®х)=(а,'а')(фх (а', а1'~А', хЕЕ) (12) (соответственно (у 8 6) Ь; = у К (66;) (6', 6; ~ В', у ~ Р)).
Пгедложение 1. Пусть Š— левый А -модуль, Р— правый В-модуль; положим Е' = А ' 8,1 Е и Р' =. Р ®в В'. Для всякого билинейного отображения Ф произведения Е Х Р в 6 суигестеует единственное билинейное отображение Ф' произведения Е' )( Р' в 6' такое, что равенство Ф'(а' ®х, у 66 6')=а'и(Ф(х, у)) 6' (13) выполняется для любых а' Е А ', Ь' ч В', х Е Е, у Е Р.
ПОЛУТОРАЛИНЕИНЫЕ ФОРМЫ Единственность отображения Ф следует из того, что Е' и Р' порождаются соответственно элементами а ' 8 хи у 3 Ь '. Для доказательства существования отображения Ф' рассмотрим отображение т: (а', х, у, Ь') — ~ а'и(Ф(х, у)) 6' произведения А ' Х Е Х Г Х В' в 6, Очевидно, это отобралсенне Я полилинейно и удовлетворяет условиям т(а', ах, у, 6') =т(а'Ь(а), х, у, Ь') т(а', х, уЬ, Ь') = — т(а', х, у, 6'(Ь) Ь') (аЕА, 6ЕВ, а'ЕА', Ь'ЕВ', хЕЕ, уЕр), Поэтому существует Я-билинейное отображение Ф ' произведения Е' х Ф' в 6', удовлетворяющее условию (13) (гл.
111, приложение 11, и' 1, предлоясение 2). Отсюда и из формулы (12), определяющей структуры модулей Е ' н Р', следует, что Ф' билинейно, что и заканчивает доказательство, Сохраняя предположения н обозначения предложения 1, изучим линейные отображения, ассоциированные с Ф и Ф' (и' 1, определение 2). Для этого построим прежде всего канонический гомоморфизм группы ЖА (Е, 6) в группу сл (Е', С'). Для любого о ~ ХА (Е, С) отображение (а', х) -~ а'и (о(х)) произведения А' х Е в 6' Я-билннейно и в силу (11) отображает элементы (а'й (а), х) и (а', ах) (а Е А) в один и тот же элемент бимодуля С'; следовательно (гл. 111, приложение 111, и'и' 1, 10), оно определяет А '-линейное в силу формулы (12) отображение й (Р) модуля Е ' =- А ' ЭА Е в 6', й ( о) (а ' 8 х) = а'и ( о (х)).
Кроме того, из формулы (12) следует, что отображение и -~ й ( э) группы :сл (Е, 6) в группу ХА (Е', 6') удовлетворяет условию /с (УЬ) = й (е) й'(Ь) для любого Ь Е В. Пусть 1 — каноническое отображение у -~ у 8 1 модуля Р в Р'. Тогда диагр лсма «е, «~А(К 6) (14) , сСФ' Я" ~ ~~, (Е' С') номмутативна (с(Ф'и с(Ф означают здесь линейные отображения, ассоциированные справа с билинейными отображениями Ф и Ф'). 334 полутоРАлинейные и квАдРАтичные ФоРмы гл. 1х, 1 1 В самом деле, для любых элементов х Е Е, у Е Р, а' Е А ' имеем с(е (1(у)) (а'ОО х) ==Ф'(а'Зх, у®1) =а и(Ф(х, у))=-а и(йь(у) (х)), то есть йе (1 (у)) (а ' ® х) = й (дусь (у)) (а ' ® х).
Аналогичное соотношение коммутировакия справедливо и для линейных отображений з,ь и гь, ассоциированных с Ф и Ф' слева. Пгедложение 2. Пусть з и 1 — антиавтоморфизмы колец В и В' соответственно, причем й'(Ь ) =-й'(Ь) для любого ЬЕВ. (15) Пусть, далее, Š— левый А-модуль, Р— левый В-модуль. Положим Е' .--- А ' <ол Е и г" ' = В ' буз р. для любого полутора- линейного (относительно У) отображения Ф произведения Е Х Е в 6 существует единственное полуторалинейное (относительно 1) отображение Ф' про зеедения Е' Х р' в 6', удовлетворяющее условию Ф' (а' ® х, у ® Ь') = а'и (Ф (х, у)) Ь'1 (16) для любых а ' б А ', Ь ' б В', х Е Е, у Е Г. Единственность отображения Ф ' следует из того, что модули Е' и р' порождаются соответственно тенаорными произведениями а' ® х и у бб 6'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
