Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 70
Текст из файла (страница 70)
1, Ь 9, упражнение 3); 3' если е — единица по модулю Ь, то Ьг = Ь (заметить, что Ае =-,А); 4' ЬА = (О) (рассмотреть правый аввулятор идеала Ь в А, рассуждать, как в 1'), и в ааключение поиааать, что Ь = (0)). '13) Пусть А — алгебра над полем К такая, что всякая убывающая последовательность ее подалгебр стациоварва. Повааать воследовательно, что'. а) Алгебра А артинова, и ее (вильпотевтвый) радикал имеет над К конечную раамерность (упражнение 11). б) Пусть В1 (1 ~ 1 ( т) — простые компоненты алгебры А /31 (А) и каждая компонента В~ иаоморфна алгебре М„(Р;), где Рг — тело с центром 2ь Каждое тело Р~ имеет конечный ранг вад Яь (В противном случае тело Р; содержит либо трансцендентные элементы над 2г, либо содержит бесконечную строго воарастающую последовательность подполей конечной степени над йб в первом случае в Р; найдется бесконечная строго убывающая последовательность подтел, во втором случае рассмотреть коммутавты укаааввых подволей в Рь) ллгкнгы ввз нлинины З[В в) Если поле 2; имеет бесконечный ранг над К, то г; = 1 (в противном случае рассмотреть вильпотевтные подалгебры в Вь).
г) Поле Еь алгебраично вад К; пусть р — характеристическая экспонента поля К, Ьь — наибольшее сепарабельное расширение поля К, содержащееся в 2,; Ьь [] Я~ имеет конечную степень вад Е[ (см. гл. Ч, $8, упражнение 1). д) Всякая убываюьцая последовательность подполей поля ЕО содержащих К, стационарна.
В случае. конечного поля К привести примеры, в которых это условие выполнено и поле Еь имеет бесконечный ранг над К, и примеры, в которых это условие не выполвяетсв (см. гл. Ч, приложение 11, упражнение 5). е) Обратно, если все предыдущие условия выполвевм, то всякая убывающая последовательность подалгебр алгебры А. стациоварва. (Испольэуя предложение 2 $2, и' 1, свести докааательство к случаю, когда А — тело с центром 2; пусть [Па) — убывающая последовательность его подтел; можно считать, что тело П, порожденяое подтелом Ц, с центром 2а, ве зависит от а; заметать, что П = Е Зл Я, где Š— подполе поля 2 конечной степени над К, и Š— тело, центр которого содержит Я, имеющее конечный ранг над Я; покааать, что тогда тело Па порождается телом Е и пересечением )Ьа [] Я. Тогда докаэательство сводится к случаю, где А = 2 — поле, радикальное расширение поля К; для любого подполя Г поля 2, содержащего К, „а обоэначим через К (Ев ) пересечение подполей К (г"" ); ваяв векоторую убывающую последовательность (Е„) подполей Я, рассмотреть О последовательность подполей К (Еч ).) *14) а) Пусть А — артинова алгебра над полем К, в которой всякая воэрастающая последовательность подалгебр стациоварна.
Показать, что А имеет конечный ранг вад полем К. (Рассуждать, как в управьневии 13; заметить, что в чистом трансцендентном расширении К (Х) имеется бесконечная строго воарастающая последовательность подалгебр; испольэовать для этого предложение 6 гл, Ч11, т 1, и' 5.) б) Покааать, что в алгебре мвогочленов К [Х] всякая воарастающая последовательность подалгебр стационарна. (Заметить, что подалгебра А, порожденная в К [Х) единицей и мвогочленоьь 1 5 К [Х) степени ) О, является кольцом главных идеалов и К [Х] — А-модуль конечного типа; кспольэовать упражнение 5 гл.
Ч!1, 3 2.) ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ ЧН1 (Римские цифры относятся к библиографии, находящейся в конце этого очерка.) Мы уже внделп (Исторические очерки к гл. 1 и гл. 11 и 111), что первые некоммутативные алгебры появились в 1843 — 1844 гг. в работах Гамильтона (1) и Грассмана (111). При введении кватернионов Га»«ильтон уже имел вполне ясное понятие и о произвольных алгебрах конечного ранга над полем действительных чисел ((1), предисловие, стр 26 — 31) *). Несколько позже, развивая свою теорию, он пришел к мысли рассматривать, как он их назвал, «бпкзатервионы», то есть алгебру над полем комплексных чисел с той же таблицей умножения, что тело кватериионов; в связи с этим он заметил, что ато расширение приводит к появлению делителей нуля (1), стр.
650). Подход Грассмана был несколько пным, и его «внешняя алгебра» долгое время оставалась в стороне от общей теории алгебр "*); однако в его изложении, которому еще пе хватает точности, нельзя не распознать первую идею алгебры (конечной размерности или нет) над полем действительных чисел, определенной системой образующих и соотношений (111Ц, Новые примеры алгебр были введены более или менее явным образо»« в 1850 †18 ггл если Кэпи, развивея свою теорию матриц (11с), еще не рассматривает квадратные матрицы как составляющие некоторую алгебру «) Понятие изоморфизма двух алгебр у Гамильтона не встречается, но уже с этого времени математики английской школы, и особенно де Морган н Кэпи, хорошо понимают, что изменение базиса не меняет существенно изучаемую алгебру (см., например, работу Кэпи (11а) об алгебрах ранга 2).
**) Причина этого, быть может, заключается в том, что Грассман, помимо «внешнего» умножения, вводит для поливекторов еще и умножения, названные пм «регрессивным» и «впутренним» (они ааменяют ему все, что касается двойственности). Примечательно, во всяком случае, что и около 1900 г.
в статье Студи — Картапа в «Энциклопедии» (Х1ЕЬ) внегпняя алгебра не рассматривается как одна из ассоциативных алгебр, а исследуется отдельно, и пе отмечено, что один нз типов алгебр ранга 4 (тип Ъ'111 на стр. 180 (Х1»'Ц) является не чем иным, как внешней алгеброй на пространстве размерности 2. 315 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВЕ Угы (эта точка зрения будет ясио выражена лишь двумя Пирсами к 1870 г.
(«'1а)), во по крайней мере ои обнаруживает в связи с этим существовавие системы матриц порядка 2, имеющей таблицу умпожеяия кватеряиоиов; это замечание можво рассматривать как первый пример линейного представлевия алгебры *). С другой стороны, в мемуаре, где Кали ввел абстрактное понятие конечной группы, ои мимоходом дает также определение алгебры такой группы, ничего, впрочем, из этого опредолевия не получая ((11Ь), стр.
129). До 1870 г. заметного прогресса в рассматриваемой области не было; ио к етому времени начались исследования общей структуры алгебр конечной размерности (над полем действительных или комплексвых чисел). Первые шаги в этом иаправлеиип сделал Б. Пирс; ои ввел понятия кильпотевтного элемепта, идемпотевтвого алемевта, доказал, что алгебра (с единицей или беэ), в которой хотя бы один элемент ве нильпотевтен, имеет отличный от нуля идемпотект, написал знаменитое разложеиие х= «хе+(х« — «хе)+(ех — «хе)+(х — хе+«хе) (е — цкемпотевт, х — произвольвый элемевт) и пришел к идее (еще несколько неопределенной) о рааложевии идемпотента в сумму попарно ортогоиальиых «примитпввых» идемпотентов (У).
Кроме того, согласво Клиффорду ((УИс), стр. 274)**), именно Пирсу следует приписать понятие теизориого произведения алгебр, которое сам Клиффорд прпмекял яеявно прп обобщении «бикватервиоиов» Гамильтона ((УПа)) и явно — несколько лет спустя, при изучении алгебр, носящих его имя ((У11Ь) и с)). Этк новые понятия использовались Пирсом для классификации алгебр маленькой размерности (яад полем комплексных чисел) — задача, которой около 1880 г. занимались также другие математики англо-америкавской школы с Кэли и Сильве- стром во главе.
Па этом пути быстро было обнаружено большое раавообра- «) Собственно говоря, Кали не доказывает существования этой системы матриц, ие выписывает эти матрицы явно и, видимо, ие замечает, что иекоторые из вих должны быть мнимыми (во всем мемуаре (1!с) он ии разу пе уточнил, являются ли «количества», встречающиеся в матрицах, действительными илп комплексными; тем ие менее на стр. 494 оп рассматривает все-такк комплексное число). Можво было бы подумать, что оставался всего лишь одна шаг до отождествлении «бпкватерниовов» Гамильтова и комплексных матриц порядка 2; в действительности же этот результат был сформулировав явно лишь в 1870 г.
Пирсом ((«), стр. 132). Общая идея регулярного представления алгебр была предложена К. С. Пирсом около 1879 г. («'1а); зту идею уже в 1867 г. предчувствовал Лагерр ((1Ч), стр. 233). «*) В. Пирс встретил Клиффорда в Лондоне в 1871 г:, и тот и другой пеодвократпо ссылаются на свои беседы, одпа из которых, несомненно, происходила яа заседании Ловдоиского математического общества, где Пирс сообщал о своих результатах (Ргос. Ьопб. Ма«Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
