Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Пусть А; (1 <!'<г) — простые компоненты алгебры Л; каждая алгебра А; изоморфна кольцу матриц ЗХ„, (с!!) над телом л)!; тогда существует г непрнводимых представлений 9! (1 < ! < г) алгебры А, попарно не подобных между собой и таких, что всякое неприводимое представление алгебры А подобно одному из 9;; кроме того, ядром 9! является сумма компонент А! с индексами 1 ~ ! (з 5, и' 3, предложение 11). В частности, регулярное представление алгебры Л и; раз содержит представление 9!, 1 < ! <г, С другой стороны, сопряженное пространство Л* отождествляется с прямой суммой сопряженных пространств А,*. Покажем, что С (й!) = А! (1 <! <г).
Очевидно, могкно ограничиться тем, что рассматривать 9! как линейное представление алгебры А !, 'тогда, по предыдущему, для любого линейного представления 9 алгебры А; выполняется равенство С (9) = С (9!); но если 9 — регулярное представление алгебры А;, то всякая линейная форма и' ~ А*! является его коэффициентом — это следует из того, что ояа может быть записана в виде х — т (х 1, и').
Предположим дополнительно, что полупростая алгебра А имеет конечный ранг над полем К; тогда, если (А!: К) = т„то 3ОО полупгостых> мОдули и НОльцА г>х. ун<, > $3 представление рл имеет конечный ранг т< Ъ<. Кроме того, А-модуль А; аннулируется алгебрами А> с индексами 7 ~ г и (А,": К) = т;, поэтому А,* изоморфен А-модулю А>, откуда следует, что регуляр-' ное и корегулярное представления алгебры А подобны (см. упра>кнение 1). А Расилирение основного полн линейного предсхпааленим Пусть А — алгебра над полем К, р — линейное представление алгебры А, Š— А-модуль, ассоциированный с О. Для любого (коммухативного) расширения Е поля К тензорное произведение ' Е<„> — — Е З» Е является модулем над алгеброй А<ь> =- А ®» О (З 7, и' 4); линейное представление алгебры А<ь>, ассоциированное с модулем Е<ь>, будем называть полученным из представлеь пня О расширением поля сналяров до Ь и обозначать через о<ь>. Если о — матричное представление, то о<с> — матричное представление той же самой степени, и для любого х ~ А матрица, соответствующая элементу х <ф 1 при представлении О<ь>, совпадает с матрицей, соответствующей элементу х при представлении <7.
Пгвдложвнив 3. Если представление О<ь> неприводимо (соответственно вполне приводимо), то представление О нвприводимо (соответственно вполне приводимо). Это немедленно следует из теоремы 2 4 7, и' 4. Пгкдлок<внив 4. Если Π— вполне приводимое представление конечной степени, и Š— сепарабельнсс расширение поля К, то представление О<с> вполне приводимо.
Очевидно, можно ограничиться случаем, когда представление у неприводимо. Тело г> — коммутанх модуля представления О— имеет тогда конечный ранг над К, так что алгебра В <3>» Е полу- проста (з 7,п' 6, следствие 4 теоремы 3) и, следовательно, модуль Е Со» Е полупрост (з 7,п' 4, теорема 2); отсюда и следует доказываемое утверждение. Линейное представление О алгебры А называется абсолютно полупростим, если при любом расширении Е поля К представление О<ь> полупросто; если представление О имеет конечную степень, 3О1 лиг!Кйньге пгедставлГнпя то для этого достаточно, чтобы было полупростым представление д <а>, где 17 — алгебраическое замыкание поля К (3 7, и' 5, предложения 5 и 7). Для того чтобы линейное представление конечной степени о было абсолютно полупростым, необходимо и достаточно, чтобы р было полупростым н центры коммутантов простых подмодулей модуля представления о были сепарабельны над К (3 7, и' 5, предложения 6 и 7).
Линейное представление о алгебры А называется абсолютно простым нли абсолютно неприводимым, если прн любом расширении Ь поля К представление о<<с непрнводимо. Пгздлон вниз 5. Для того чтобы линейное представление конечной степени й было абсолютно неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы о (А) = Х (Е).
Достаточность условия очевидна ($3, и' 1, пример 2). Обратно, пусть о (А) Ф Х (Е); рассматривая в пространстве Х (Е) над полем К дополнительное к о (А) подпространство, можно убедиться, что (о (А))<ю Ф (Ж (Е))<ы при любом расширении Ь поля К; но взяв в качестве Х алгебраически замкнутое расширение поля К, ввиду теоремы Бернсайда (з 4, и' 3, следствие 1 предложения 2) получим противоречие с тем, что представление о<ю просто. Слвдствмз. Для того опобы вполне приводимое линейное представление конечной степени о было абсолютно неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы номмутант модуля представления о совпадал с К.
Ввиду предложения 5 (гл. П, з 2, и' 5, следствие 1 предложения 5) условие необходимо. Обратно, если коммутант модуля М представления о равен К, то его бикоммутант равен ь' (Е), ' и поскольку М вЂ” полупростой модуль конечного типа, то д (А) =- = Ж (Е) ($ 4, и' 2, следствие 1 теоремы 1); следовательно, представление р абсолютно непрнводимо (предложение 5). Пусть д — абсолютно непрнводимое матричное представление степени и; тогда образом центра алгебры А является множество матриц вида )<Х„, где Х Е К. Следовательно, если алгебра А коммутативна, то все ее неприводимые представления имеют степень 1 (иными словами, являются ненулевыми гомомор<г<измамн алгеб- рыА вК).
302 полупэостын мОдули и кОльцА ГЛ. Ч111, 1 13 о. Норма и сыед относитггельпо тчгедспгав.гетспм Пусть А — алгебра над полем К, р — линейное представление алгебры А конечной степени и, Š— модуль представления Характеристическим мнозочленом (соответственно нормой, следом) произвольного элемента х й А относительно предстаелемия О называется характеристический миогочлен (соответственно норма, след) элемента х относительно модуля Е; этот элемент обозначается ' через Рср (х; Х) (соответственно гчр (х), Тг (х)). 3(ы предоставляем читателю перенесение на эти понятия свойств, установленных в 312, и'1. У п р а ж н е н и я.
1) Пусть Л вЂ” алгебра, определенная в упражнении 1 1 12. Показать, что ес регулярное ц корегулярвое представления не подобны н у корегулярного представления пмеютсн такие подпредставления, которые ие подобны нц одному подпредставлению и ни одному факторпредставлепию регулярного представления. Показать, что сугцествует невркводпмое представление алгебры А, не водобпое никакому подпредставлеяпю регулярного представления алгебры А. 2) Пусть А — алгебра, определенная в упражнении 13 1 5.
Показать, что не существует иелриводимого представления алгебры А, подобного некоторому подпредставлепию ее регулярного представ- левин. 3) Пусть Л вЂ” алгебра конечного ранга вад полем К п все ее нильпотеятные элементы лежат в ее центре. Показать, что всякое непризодимое представление алгебры А подобно веиоторому под-, представлению ее регулярного представления (см. 1 6, упражнение 23). 4) Пусть А — алгебра над нолем К, и А* — совряжепное векторное пространство к А; рассмотрим Л* как левый А-модуль.
Пусть б — множество классов простых Л-модулей, и для любого й б ю пусть оь — представление, ассоциированное с А-модулем Ь. а) Показать, что векторное подпространство У алгебры А является правым"идеалом в А тогда и только тогда, когда и — подпространство, ортогональное к некоторому подмодулю Г' модуля А*; подпространство у" З У' в А*, ортогональное к у, является тогда подмодулем в А", б) Покааать, что подпространство коэффициентов С (Оь) есть сумма простых подмодулей типа Л модуля А* и что подпространство в А, ортогональное к сумме всех С (роь), есть радикал алгебры А.
линейные ИРедставления в) Показать, что подпростраяство в' А*, ортогояальное к правому цоколю алгебры А (1 5, упражнение 9), является радикалом А-модуля А*. Вывести отсюда, что А-модуль Ае полупрост тогда и только тогда, когда полупроста алгебра А. *5) а) В обозначеянях и предположениях упражнения 21 6 6, пусть НХ вЂ” левый А-модуль кояечной длины и множество его падмодулей, отлячных от АХ, имеет яанбольший злемент Л', причем фактор- модуль МЙУ пвоморфен Ае.
Показать, что М пзоморфен фактор- модулю модуля Ае (заметить,',что еМ ~ (0), и вывести отсюда, что. если х б еЫ не лежит в Лг, то 4х ='М). б) Предположим дополнительно, что алгебра А икволютивча (1 2, упражнение 11) и разложена в прямую сумму нерааложимых .тевых идеалов Аею1 (1 < ь ~( г, 1 ~< 1 ~( у (й) для любого й), где еая — ортогональные ядемпотенты, идеалы Ага„, соответствующие одному зяачеяню х, попарно иаоморфвы, и каждый яз модулей х(ю ,'~~Ась г=г является язатипной компонентой фактормодуля А/И (А) (1 6, упражнения 19г) и 21а)). Показать, что существует такая перестановка к отрезка (1, г(, что каждый правый идеал гьл А содержит единственный минимальный правый идеал,изоморфпый (как А-модуль) ежььгА (заметить, что если е — идемпотент, то правый аннулятор идеала Аг равен (1 — е) А).
Вывести отсюда, что левый цоколь о алгебры А содержится в ее правом цоколе Т (показать, что правые идеалы еь,ф мпяимальны, установив для этого, что каждый из нях является аннулятором некоторого максимального левого идеала; см. 1 6, упражнение ЗЗ). В заключение вывести, что о = Т и что всякий левый идеал Аежю„ содержит единственный мянимальный левый идеал, язоморфяый (как А-модуль) Аеал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
