Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Остается доказать, что коэффициенты этих многочленов лежат в К. Предположим сначала, что поле К бесконечно, и пусть () (Х>,..., Х ) = ~ 6,, т Х~>'... Х' — один из много- членов Тг>1, >(г>1 или некоторый коэффициент многочлена Рсгб, рассматриваемого как многочлен от Х. Как мы видели в начале этого пункта, коэффициенты линейного уравнения относительно Г„> (3!) при любой системе (х„..., х ) элементов из К лежат в поле К. С другой стороны, поскольку поле К бесконечно, то система уравнений (31) (где х>,..., х пробегают К"') имеет единстеенное решение гт,, = 6,, т (гл.
1У, $2, н'5, предложение 8); отсюда следует, что элементы 6„, принадлежат К (гл. 11. 4 5, и' 3, теорема 1). В общем случае пусть У вЂ” новая переменная, и рассмотрим алгебру А>ю㻠— — К (У) >3>к А; эта алгебра простая„н ее центр равен К (У) (6 7, и' 4, следствие 2 теоремы 2); элементы е; (1 <> <т) образуют базис алгебры Аопг» над К (У) (А отождествлена с гюдкольцом в А,л, »). В поле Л (У) подпола Е и К (У) линейно раздельны над К (гл.
У, 1 5, и' 4, предложение 11); подалгвбра, порожденная в Ь (У) полями Ь и К (У), имеет над К (У) конечный ранг и без делителей нуля, следовательно, является полем (гл. У, $2, и' 1, следствие предложения 1); так как это поле содержит Ь и У, то оно совпадает з НОРМЫ И СЛЕДЫ 287 с Ь (У), следовательно, Ь (У) отождествляется с теизорным проиаведением К (У) 3 Ь.
Тогда тензорное проиаведение А>ыг» =- = — 1 (У) ®к>г> А<к,г» отокгдествляется с К (У) 3» А>ь> (см, 1 10, и' 5), и поэтому поле Ь (У) — нейтрализующее для алгебры А,к>г». Кроме того, отождествляя М„(Ь (У)) с тензорным произведением К (У) 8».1аз (Х), мы получим, что й' = 1 ® й— изоморфизм алгебры А>гл,» на И„(1 Щ). Отсюда следует, что для всякого элемента у = ~ у;е; алгебры А<к>г» (у, б К (У)) выполняется равенство Тгб лип п>к(г> (у) = Тг (~> у>П') = = Тгд (у„..., у ), и такие же равенства справедливы для приведенной нормы и приведенного характеристического много- члена.
Так как поле К (У) бесконечно, то заключаем отсюда, что коэффициенты многочленов Тгд, Хгд и Рсгй лежат в Ь П К (У) = К, что и заканчивает доказательство. Замзтлм, что з первой части доказательства показано, что козффпцвеаты мпогочлепез Тг, »> и Рс язляютея мкегочлекамк от е," ца с целями козффвциептамл, завмсяшммм только от т. ПРедложение 12. Пусть А — алгебра над коммутативным кольцом К, конечной размерности над К. для того чтобы элемент х ~ А был обратим в А, необходимо и достаточно, чтобы норма .Хятк (х) была обратима в К.
Если х обратим, то Ха>к (х) Хл>к (х ') = Хлгк (1) = 1, то есть условие необходимо. Обратно, если норма Хе>к (х) обратима в К, то К-зндоморфизм у->-ху алгебры А биективен (гл. 111, э б, н' 5, теорема 2); существует, в частности, единственный элемент х' Е А такой, что хх' = 1. Тогда х (х'х — 1) =- О, и, по предыдущему, отсюда следует х'х = 1, то есть х' — обратный элемент к х. Следствие. Пусть А — простая алгебра конечного ранга над своим центром К.
Для того чтобы А была телолг, необходимо и достаточно, чтобы иэ условия х чь 0 в А следовало Хгбдг» (х) ~ О. Это вытекает иа предложения 12 и второй формулы (ЗО). У и р а ж и з и я я. О Пусть К вЂ” поле, имеющее яе мзпьше трех злемепгоз, А — алгебра пад К г базпсом, состоящим мз 1 и злзмеатез е„ег таких, что е1 = е>, е>ез =. ез, еге> = е1 = О. Показать, полвцгостые ИОдули и кОльцА Гл. У1П, $ !2 вто сУществУют элементы х б л такие, что тгл<п (х) Ф тглв<л (х) " Р<л!к (х) ~ Агав>к (х). 2) Пусть А — алгебра конечного ранга л над полем К, Рш л (х; Х) — минимальный многочлен элемента х б А вад К А/К ($„11, упражнение !). Имеем равенство Ршлв<н (х; Х) = Рш,! н (х; Х).
а) Показать, что Ршл<л (х; Х) делит Рс <<! (х; Х) и Рсл<л (х; Х) делит (Ршл!» (х; Х)). б) Прп любом расширении й поля К н любом х б Л выполняется равенство Рш,! (х® 1; Х) = Рш 1,. (х; Х). <ь>! в) Пусть (а!) ! -! „— баапс алгебры А иад К, У; (! ~ ! -~ и)— и переменных; влввлым миоввчлелви алгебры А относительно базиса (а!) нааывается минимальный многочлен элемента ~~1;а! алгебры <=! А<и<у, у„» над полем К(Ув,..., 1'и); этот ыногочлен обозначается Р ((а;); Х; У„..., У„) или просто Р(Х; У„..., У„).
Показать, что главный многочлен принадлежит К ]УО..., Ул] (см, гл. У11, приложение, и' 3, предложение 5). Пусть (и]) — второй базпсалгебрыА над К, и а! = ~~~~ )<<та'!! тогда Р ((а;); Х; Ув,... !.— ! ..., У ) = Р ((а!); Х; 1;,..., Ул), где У; = ~~~~ 2>„Уа. Для любого а=! х = ~ с<а! миогочлев Р ((а!); Х; Зв,..., Зл) не зависит от рас<=! сматриваемого базиса (а;) и называется гиовиыи ииогочлеиои злемента х вад К; он делит Рс «(х; Х) и кратен Ршл<л (х; Х). "3) Пусть А — простая алгебра конечного ранга над полем К, п 8 — ее центр. Предположим, что Я является свиарабвиьимм расширением поля К; положим ]Л: Е] = из, ]Я: К] = т и ]А: К] = = г = тлз. а) Показать, что для любого х Р Л степень многочлеиа Ршл!» (х; Х) не превосходит тл (используя третью формулу (30).
заметить, что ]Е (х): 2] ( л). б) Показать, что главный миогочлев алгебры А (относительно произвольного базиса А над К) ииеет над полем К (У,,..., У„) степень ти н неприводпм над этим полем. (Алгебра Л пзоморфна некоторой»атрнчной алгебре йгч (1>), где  — тело ранга ве над своим центром Я; ото<ода следует, что ов = и. Пусть Š— максимальное подполе в <>, сепарабельное над Е. Заметить, что Б (Ув,..., У„)— подполе в А<и<у, !.„» (см.
$7, упражнение 23), что у этого поля существу<от сепарабельные расширения степени о (см. гл. У, прп- нормы и слкды 289 ложекие 1, п' 1, предложение 2) и что всякое такое поле пзоморфно неко*орой подалгебре в Мч (Ь (Уп..., У„))). в) Пусть Я =- К. Показать, что главный многочлен любого элемента х ВЛ равен Рсгблгк (х; Х) (использовать б)). Кроме того, группа Галуа (пад полем К (У„ ..., У„)) главного многочлена алгебры Л (отиосительно произвольного базиса) есть симметрическая группа С„, (Рассматривая нейтрализующее поле алгебры А, свести доказательство к случаю А = М„ (К); рассуждая так же, как в б), показатто что коэффициенты главного' многочлена алгебрапчески неаависпмы над К.) 4) Пусть Л вЂ” абсолютно полупростая алгебра над полем К, ба (1 < 4 < т) — различные классы простых А-модулей. Покааагь, что главный кногочлен любого злемеита х б А (упражнение 2в)) равен произведению миогочлепов Рсиь,к (х; х) (1 ( 4 ( т).
5) Пусть А — алгебра конечного ранга над полем К и степень ее главного многочлена (относительно произвольного базиса Л) равна" вц главным гнедом алемента х б А называется козффициент прп -Хкг-г в главном многочлене элемента х; зтот козффициеит обозначается ТгЬлуя (х) или ТгЬ (х). а) Если элемент х б А кпльпотентен, то Тглгк (х) = О и для любого А-модуля М конечной размерности над К Тгыук (х) = О (см. упражнения 2а) и 2в)).
Вывести отсюда, что если х бА лежит в радикале алгебры А, то Тумак(хр) = — О и ТгЬлгк(ху) =. О для любогор бЛ. б) Пусть бл (1 < й ( т) — рааличные классы простых А-модулей. Показать, что элемент х б А лежит в радикале алгебры А тогда п только тогда, когда Тгя К (ху) = О для всех у б А и 1 ( 4( т аг (для доказательства достаточности применить следствие 2 теоремы 1 44, и'2). *6) Пусть К вЂ” поле характеристики 2, Л вЂ” алгебра ранга 4 над К, определенная в упражнении 4б) $11 (а и () — произвольные элементы К). а) Показать, что мииималыпгй многочлен над К любого злемента х = хс гг х~и -;- хзи+ хгм алгебры А, не принадлежащего К, равен Хз+ хгХ+ хе+ хехг+()хат+и (х(+ хгхз —,' Рхз~).
кроме того, Рслгк (х; х) =- (Ршлдг (х; х))з. Вывести отсюда, что тг,тж (х) = О для всякого х бА. б) Показать, что если а чь О, то А — простая алгебра с центром К (псяользовать а) и упражнение 5а)). Если а = О, то радикал И (А) =- Ки+ Кг; если, кроме того, (3 =- Х+ )гз при иекотороы Х б К, то А/Я (А) является прямой композицией двух полей, пзоиорфных К, а в противоположном случае А/% (А) будет сепарабельным квадратичным расширением поля К.
19 н, Бурбаки ПОЛУПГОСтвтн Мпцупп И КОлЬЦЛ гл, уш,112 в) Привести пример, в котором К вЂ” радикальное расширение степени 4 некоторого поля Ко, А — тело и главный многочлен Л ыад Ко имеет степень 4 (см, упражнение Зб)). г) С помощью метода упражнения б) получить новым способом результаты об алгебрах кватерпионов ыад полем характеристики ю=2, сформулированные в упражнениях 4 и 6 гл. !!, 4 7. *7) Пусть /7 — тело, и — его автоморфизм. Многочленоми (от одыого переменного Х) над телом /7 отнооиеиельно и называются элементы / =- / (Х) = ~~~~~ееиХи алгебры формальных степенных рядов, определенной в упражнении 10 гл. !ч/, 4 5, в которых и„= 0 для всех и, кроме ковечвого числа; если / ~ О, то наибольший индекс и такой, что пи ~ О, называется акеиенью многочлена / н обозначается е)ей (/). Коэффициент ат, где т = е)еб (/), ваэываетсЯ стаРшим коэффициентом мпогочлеыа /; / называется унитарным, вслл его старший коэффициент равен 1.
Обозначим через П [Х, и) кольцо многочленов над телом // отыоснтельно автоморфизма и. Напомним, что Ха =- ааХ для любого а Е/). а) Пусть /, д — элементы А = /) [Х, и) в х Ф О. Показать, что существуют однозначно определенные элементы йп Ье (соответственно йз, йз) кольца А такие, что / = Ьоу+ й; (соответствеыно / = дай+ Ьз) и Ье = 0 или е)ей (Ье) ( е)ей (д) (соответственно Ьз =- 0 пли е)ей (йз) ( е(ей (У)).
б) Вывести из а), что всякий левый (соогветственно правый) идеал в А моногенен. Показать, что если степени элементов /, д больше 0 и А/+ Ая = АЬ, (А/) [) (Ад) = АЬ, то е)еп (/) + е(еп (у) = = е)ед (Ь) + е(ей (Ь) (рассмотреть А-модуль Ай/Ай). в) Всякое факторкольцо кольца А, отличное от А и от (0), артпново. Пусть / — уыытарыый многочлеи степени )О, и предположим, что а = А/ — двусторонний идеал в А; тогда а = /А; Для того чтобы А/а было телом, необходимо и достаточно, чтобы многочлен / был ноираоодим, то есть не разлагался в произведение отличыых от константы многочленов степеней (е[ей (/).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
