Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Элемент а рА иааывается 1-гимметричееким (соответствевпо 1-анти гамме«кричееким), если а =- а (соответствевио а = — а). Пусть 1 х-~хТ вЂ” другой ипволютиввый аитиавтоморфиэм алгебры А такой, что хТ = х1 для всех х б 2. Покаэать, что существует обратимый элемеит а бА, 1-симметрический или 1-аптисимметрическпй, такой, что хТ = ах1 а-в для любого х Е А (см. $10, в' 1, теорема 1 и гл.
т' ) 11, и' 5, теорема 3). Доказать обратное утверждение. б) Покаэать, что существуют такой ипволютиввый автиавтоморфиэм х -~ хТ алгебры А и таком К-иэоморфпэм алгебры А иа текэориое кроиэведепие Р(фх дт„(2), что хт = х1 для всех х р 2, и после отождествлепия алгебры А с тевворвым проиэведевием посредством атого иаоморфиэма сужеиие отображепия х -ч- хТ ва Р аитиавтоморфиэм Р, а сужение отображения х -ч- х ва Ме (2) есть Т Х-«еКе (рассмотреть образы канонического баэиса алгебры М«(2) при стображеиии х- х1 и рассуждать, как в а)). в) Аптиавтоморфиэм 1 кааывается автпавтоморфиэмом кервего рода, если оп оставляет иивариаптвым каждый элемевт воля 2, и мкврого рода — в противоположном случае.
Пусть (А: 2) = тэ. Показать, что если аитиавтоморфиэм 1 второго рода, то миожество К (соответственно Т) 1-симметрических (соответствевко 1-аитисиммегрических элементов алгебры А является векторным простраиством размерности тэ пад подполем 2е поля 2, причем 2 — сепарабельиое квадратичное расширакие етого подполя; покааать также, что бааис д пад 2е будет базисом А кад 2 (рассмотреть 2г-линейное отображение х -в- х — хг алгебры А в себя). Кроме того, если характеристика иола К пе равна 2, то 2е-вростракство А является прямой суммой К и Де. г) Покаэать, что если актиавтоморфиэм 1 первого рода, то К есть векторное пространство раамерпости т (т+ 1) 12 или «к (т — 1)/2 кад 2 (распростравить 1 па алгебру А<ьп где Ь вЂ” кейтралиэующее. поле алгебры А, и применить а) и б)).
Кроме того, если характеристика поля К ве равна 2, то А является прямой суммой Х и )е. 6) Пусть А — алгебра кватеркиоиов иад полем К характеристики чь2, соответствующая паре (а, ()); для любого элемента х б А. положим )е' (х) = хх = хх; известно, что Д«' (х) Е К. а) «вкатим кватернивнвм называется всякий элемент алгебры А« актисимметрический относительно аитиавтоморфиэма х -~ х (упражнение ба)); покааать, что если кватеркиок в чистый, то кватервпои гвг-в чистый кри любом обратимом г б А.
б) Покаэать, что если существует такой кватервиоп к Ф О, что Л' (в) = О, то существует и чистый кватеркиок в' Ф О такой, что «е (в') = О. (Заметить (обоэпачекия па и' 2), что если элемент а по полупростые модули и колы!А тл. уттц 6 12 является в поле К квадратом, то существование кватерннона г ~ О, для которого )У (г) = О, равносильно существованию такого элемента у С К (и), что (! = Ф (у).) 7) а) Пусть  — тело, )у — его подтело. Покааать, что если .мультипликативнав группа Жь имеет в В* конечный индекс, то либо В конечно (и, следовательно, коммутативно), либо )т =- В. (В случае, когда Ж бесконечно, рассмотреть бесконечную последовательность (а„) различных его элементов и длн любого х с  — )У классы влементов х+ а„по шоб )Уь.) б) Показать, по всякий элемент х группы В*, имеющий лишь конечное число сопряженных в этой группе, принадлежит центру Я тела В (рассмотреть подтело, коммутант элемента х в В, и применить а)).
в) Вывести нз б), что осли некоторый многочлен ! б 2 (Х! имеет хотя бы один корень в  — 2, то он имеет в этом множестве бесконечно много корней. ф (2. Нормы м следы х. Норма и е.лед относительно модуля Определение !. Пусть К вЂ” коммутативное кольцо, А— л ебра над К, М вЂ” А-модуль; предположим, что М является свободным К-модулем конечной размерности *) относительно структуры, определяем на нем сужением на К кольца скаляров. Характеристическим многочленом (соответственно нормой, следом) произвольного элемента а Е А относительно А-модуля М казывается характеристический многочлен *э) (соответственно определитель, след (гл.
(! (, 3 4, и' 5)) эндоморфизма ам . 'х -~- ах К-модуля М; этот элемент кольца К (Х! (соответственно кольца К) *) напомним, что если модуль М над комиутативным кольцом К имеет конечный базис, то все его базисы над К имеют одно и то же число элементов, называемое раэлернохвью М над К (гл. 1!1, приложение 11, и' 11). С другой стороны, рассуждение, такое же, как в теореме 2 1 3, и' 5, показывает, что если модуль М имеет над К бесконечный базис В, то всякий его другой базис В' разномощен В; Сагб (В) также называют размерностью М над К, **) Определение характеристического многочлена матрицы иад некоторым телом, данное в гл.
У! 1, ! 5, п' 3, определение 4, легко распространнетсн на квадратные матрицы над произвольным коммутативным кольцом К и, следовательно, на произвольный эндоморфизм свободного К-модуля конечной размерности. 273 НОРМЫ И СЛЕДЫ обозначается Ром~к (а; Х) (соответственно Хм~к (а), Тгмгя (а)) или просто Ром (а; Х) (соответственно Р)м(а), Тгм (а)).
Из этого определения немедленно следует, что для любых элементов а, а' ~ А выполняются равенства Тгм (а + а') = Тгаг (а) + Тгм (а'), г(м (аа') =- )ам (а) )км (а'), (1) Тгм (а'а):= Тгм (аа') (2) (см. гл. Ш, ~ 4, и' 5, предложение 2). Пусть (тм(а)) — матрица эндоморфизма х — + ах относительно некоторого базиса К-модуля М, тогда Тгм (а) = ~ тн (а), Жм (а) =- йеь (тм (а)), (3) Ром(а; Х)=деб(бмХ вЂ” тп(а)), откуда, положив п=бпалМ к Ром(а; Х)=Х" +с„,Х"-'+ . + с„получим си-1 = — Тгаг (а), с, = ( — 1) Хм (а) (4) Для любого Л~К имеем равенства Тгм(Л)=пЛ, г(м(Л)=Ли, Ром(Л; Х)=(Х вЂ” Л)".
(5) Предложение 1. Пусть М = Мг ~ М, ~....:р М, = — (О)— композиционный ряд А-модуля М; предположим, что каждый из фактормодулей У; = М;,ИХ; является свободным К-модулем конечной размерности (1 <1.-л'). Для любого злемента а ~ А справедлива равенства Тгм (а) = ~ Тг„, (а), 'Мм (а) = Ц )))Рг (а), а В Рсм(а; Х)=[[Рога(а; Х). Пусть В; — базис модуля У, над К; тогда система представителей В, классов В; (юоа М;) является базисом дополнения К-модуля М, в К-модуле М,, (гл. и, $1, и' 6, предложение 4).
В качестве базиса модуля М над К возьмем объединение В = = В, Ц В,, ()... () Ва бааисов Во Пусть Хн — матрица эндоморфизма а1,. относительно базиса В;.. Так как модуль М;, являетсяподмодулемвА-модулеМиимеетбазисВ„Ц В„, ()... ... () В„то матрица эндоморфизма ам относительно базиса В !8 н. Бурбаки 274 ПОЛУПРОСТЫВ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. УП1, 3 Зт имеет вид Хгг Х„,,, ...
Х„, 0 Х„ь,г,... Х,„, о о ...х„ и предложение вытекает из формул (3) и формулы (16) гл. 111, $6, и'4, Пгвдложвник 2. Пусть А, А' — алгебры над коммутативн м кольцом К, М вЂ” А-модуль, М' — А'-модуль, М и М' свободны над К и имеют рагмерности и и и', Если рассматривать М < > М' как (А ® А')-модуль *), то длл а Е А, а' ~ А' Тгмэм (а З а') = Тгм (а) Тгм (а'), 7УМ~М (а З а') = (Лгм(а))"'(Лгм (а'))". Надо доказать следующую лемму: (6) Двмма 1.
Пусть г', Р" — свободные К-модули размерности и, и', и — эндоморфивм модуля У, и' — эндоморфивм модуля У'. Тогда Тг(и ® и') = Тг(и) Тг(и'), г)еь(и Я и') =(бес(и))"' (беЬ(и'))". (7) В самом деле, пусть Х, Х' — матрицы эндоморфизмов и н и' относительно некоторых базисов (е ) и (е,') модулей Г и )г" соответственно; тогда матрица эндоморфизма и Я и' относительно базиса (е, ® е,') модуля У ® г" будет тензорным произведением Х ® Х' (гл. 111, $1, и' 6); отсюда немедленно следует первая из формул (7).
Для доказательства второй формулы заметим, что можно записать равенство и ® и' = (и ® 1) (1 Я и') и, таким образом, свести доказательство к случаю, когда один из эндоморфизмов и, и' тождественный. Но если, например, и' = 1, то матрица Х 8 Х' имеет внд Х О ... О О Х ... О О О ...
Х *) Определенне, данное в 5 7, и' 1, для алгебр А н В над телом К, легко распространяется на алгебры А и В над произвольным коммутатпвпым кольцом, 275 нормы и слвды (состоящая из матриц таблица с и' строками и и' столбцами), и по формуле (16) гл. 111, $6, и' 4, г(е( (Х 8 Х') = (г)ег (Х))". 3 а м е ч а в и е.
Для аыражеыия характеристического иногочлева элемевта а Ор а' относительно М 8 лг' простой формулы вет (см. гл. У)!, 1 б, и' С, предложение 14). Но при а' = 1 имеем равенство Рс мэм. (а 8 1; Х) = (Ром (а; Х))э; это разеистзэ вытекает пз предыдущего рассуждевия. Пусть Л вЂ” коммутативное кольцо, содержащее К и имеющее ту же единицу, что и К. Модуль М<ю — — М 8 Ь над алгеброй А(ь) = А (л) Л является свободным Х-модулем; более точно, если (е;) — базис модуля М над К, то (е, ® 1) — базис М(ю над К (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
