Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 65
Текст из файла (страница 65)
об) Обозначения и предположения те же, что в упражнении 7. а) Пусть / (Х) =- Х" — а, где и ) 1, а Е //, а ~ О. Идеал А/ двусторонний тогда и только тогда, когда ао = а и хо = аха-' для всякого х б //. б) Предположим, что и не делится ва характеристику тела /), и центр /7 содержит примитивный корень и-й степени ю пз 1 такой, что юо = ю. Показать, что если неприводимый унитарыый много- член //(Х) является правым делителем миогочлена Хи — а, то его степень а делит и,и / является произведением и/е/ многочленов степени е/. (Пусть ль (Х) = д (ю"Х) и АЬ вЂ” пересечение идеалов Ааь (О ( й ( и — 1); заметив, что тогда выполняется равенство й (юХ) = = Ь (Х), откуда е(ек (й) ь и, доказать, что А/ совпадает с пересе- НОРМЫ И ОЛКДЫ 291 чевпем АЬ; затем воспольаоваться упражнением 7б).) Если, кроме того, элемент а б Р удовлетворяет условиям упражнения а), то факторкольцо А/А/ полупросто и все его простые компоненты имеют одну п ту же длину (рассмотреть в А/А/ левые идеалы Ась/А/ п воспользоваться упражнением 2в) 1 3).
в) С этого момента будем предполагать, что элементы а и ю удовлетворяют условиям упражнения а) и б) и, кроме того, число и простое. Тогда: а) если существует такой элемевт Ь б Р, что автоморфиам и совпадает с ввутрепииы автоморфпамом х-е- ЬхЬ-', и а = Ь", то фактор- кольцо С=А/А/ является прямой компоаицпей и тел, изоморфных Р; (1) если условия, указавпые в а), пе выполнены, но существует оа-1 и -З элемепт с б Р такой, что а = с сс ...
с с, то С является простым кольцом длины и; у) если пе существует такого элемента с б Р, что а = аа 1 сз = сс сс ... ссс, то С вЂ” тело (использовать 6)). Показать, что во всех этих случаях существует автоморфизм т .кольца С такой, что та М 1 при Ь ( и и т" = 1, причем едпвствепными ппвариантвымк элементами кольца С при автоморфвзме т будут элементы тела Р (отождествлеввого с его каноническим образом в С). В случаях р) и у) Р является в С исдтеаси Галуа (1 10, упражневие 5). Частный случай — когда Р— поле и когда и = — 2. г) Показать, что если и является внутренним автоморфизмоп х — с-1 хс тела Р, то а ==- с-"у, где у — элемент центра 3 тела Р, п кольцо С изоморфво тевзорпому произведению Р (х)х В, где В =.
= Я (Х)/(Ь), Ь (Х) = Х" — у. д) Показать, что если и ве является внутренним автоморфизмом тела Р, то цевтр кольца С является подполем в центре 3 тела Р, состоящим из элементов 2, иввариавтвых относительно и. Привести пример, где и = 2, и — иевиутренпий автоморфиам тела Р, и 2— центр кольца Р (см. 1 10, упражнение 1О; в качестве К взять поле Ке (У) формальных степевпых рядов иад некоторым полем). е9) Пусть Кэ — поле рациоиальпых дробей Я (Х), К вЂ” квадратичное расширепие Ко (1/ — 3), содержацее кубические корни из единицы / и /э, Р— циклическое расширение К (т'Х), и — образ зующий группы Галуа полн Р пад К.
Рассмотрим алгебру С, определенную в упражнении 8, прп и =. 3, а = 2. а) Показать, что С вЂ” тело рапга 9 пад своим цевтром К, (Чтобы убедиться, что 2 ве может быль представлено в виде 1тв/Х (х), гДе х р Р, нужно лишь показать, что не может выполняться соотпошевпе вида Рэ+ ХРээ+ ХзРЬ вЂ” 3Р1РзРэХ = 2Р1, гДе Ре (1 (11(4)— независимые в совокупвости мвогочлевы с коэффициентами из поля () (")ее — 3); для втого рассмотреть в мпогочлепах Р1 члены папменьшей степени.) 19а ПОЛУПРОСТЫН МОДУЛИ И КОЛЬЦА гЛ, Чгп 1 12 б) Показать, что единственный Ке-автоморфнзм поля К, отличный от тоя'дественного, не может быть продолжен до автоморфпзма тела С (свести доказательство к случаю, когда такой автоморфнзм т удовлетворяет условию т (Р) =- Р).
Вывести отсюда, что Ке не является подполем Галуа в С (1 10, упралшенпе 5) и не существует Кс-автоморфпзма тела С, имеющего порядок 2. в) Пусть з В.Р, зз = Х п г)ЕС, цз = 2, ць = )ьц (см. упражнение 8), Показать, что подполе К (Ь), где Ь=т)+ цт+ ь, является в С макспмальяым подполем, но не поднолем Галуа над К, и тогда подпола К (ь) и К (ь) — полл Галуа над К, з10) Пусть Р— тело конечного ранга пР пад своим центром К; обозначим через Р [Х [ кольцо многочленов над Р отпоснтельяо тождественного автоморфпзма тела Р (упражненпе 7); зто кольцо нзоыорфяо К [Х[ ®я Р.
Пусть элемент х Е Р не принадлежит К и [ (х) = Х" + а,Ха-л + ... + о — его млнпмальныа многочлен над К. а) Показать, что унитарный многочлен нз кольца Р (Х) степени (и ке может делиться справа на все многочлены вида Х вЂ” 1хс — х, где г пробегает Ре (рассмотреть среди унитарных многочленов, обладающих этим свойством, многочлен наименьшей степени и показать, что его коэффициенты должны лежать в К). б) Пусть и (Х), э (Х), ю (Х) — унитарные мпогочлены нз кольца Р [Х) такие, что и (Х) .= и (Х) х (Х), н Х вЂ” х делит справа и (Х), но не делит справа и (Х), откуда следует ы (Х) = г (Х) (Х вЂ” х) + + й где с б Р".
показать, что х — 1хг г — правый делитель много- члена э (Х). в) Вывести нз а) и б), что существует и влементов й б Р (1ч г (я) тахпх, что [ (Х) = (Х вЂ” йхггг)... (Х вЂ” г хгв~) (заметить, что 7' (Х) делится справа на все многочлеяы Х вЂ” Схс-'). г) Вывести нз в), что Тгй~ я (х) (соответственно Мгйр . (х)) есть сумма (соответственно произведение) т элементов вида гхвл (использовать следствие предложения 7). 11) Пусть А — алгебра конечного ранга над полем К.
Предположим, что А наделена структурой совершенного порядка, удов.летворяющей аксиомам (МО) главы Ч1, $1, п' 1 н (АО) главы Ч[, 4 2, и' 1. Показать, что А -- поле. (Показать сначала, что А не имеет делителей О, то есть является телом, н имеет характеристику О. Затеи заметать, что если А некоммутатнвна, го в ней существуют яе входязцпе в ее центр 3 элементы х чь 0 такие, что Тгйл и (х) = 0; в заключение воспользоваться упражнением 10г).) е12) Пусть Р— тело кватерннонов над полем 9 рациональных чисел, соответствующее паре ( — 1, — 1). а) Для того чтобы расширение К поля Д было нейтрализуюпшм полем тела Р, необходимо п достаточно, чтобы — 1 была в ноле К суммой двух квадратов (см. упражнение 8в)).
НОРМЫ И СЛЕДЫ 293 б) Пусть циклическое расширение Л' степени 2" поля <2 — нейтрализующее поле для Р. Показать, что никакое его подполе, отлич. нос от Л', не будет нейтралнзующпм для В (заметить, что единственное подполе в л', имеющее степень 2з-' над <2, является пересечением Л' н максимального упорядоченного поля, содержащего <х). в) Пусть )< Еь 1, н р — простой делитель числа 2з + 1; пусть а л — наибольшее целое число такое, что 2" делит р — 1; показать, что я ) й (заметить, что 2в-' ш 1 (шо<) р)). Путь ю — примитивный корень степени р из единицы и Е =- (х (<о). Показать, что в поле Š— 1 является суммой двух квадратов.
(Это утверя<денис равносильно тому, что в поле Р =- Е ('у' — 1) длн некоторого х бР выполняется равенство )<)к е (х).) Для доказательства существования такого элемента х заметить, что ю и 1 -Р ыз являются нормами элементов ь поля Р, н выраанть — 1 как произведение корня ю и некоторых але< в < 2 — < г ментов 1 б ыз, используя для этого тождество 11 (1+ хз ) = ~хь. П 1 \1 1=Е ь=о г) Вывести ва в), что если циклическое расширение Л' степени 2" поля () содержится в поле Е, то <<< — нейтрализующее поле теаа Р. (В противном случае поле Е пе было бы нейтрализующим для Р, тан как [Е < )т') нечетно; см. 1 10, и' 5, следствие 1 предложения 7.) "13) Пусть К вЂ” поле характеристики Ф2, Р„Рэ — алгебры кватернионов над К, соответствующие парам (<«, ()<), (<<з, <)э).
Тензорное пронзведение Р, Зе Вз является телом тогда н только тогда, когда равенство п<х<+Р<х1 п<р<хз=пэУ<+рзуз пзрэуз влечет, что все х; и у; равны нулю. (Применяя упражнение 6 б 11, свести докааательство к случаю, когда Р, — тело, Используя упражнение Зв), показать, что Р, 3 Рз не является телом тогда н только тогда, когда в Р, существуют такие перестановочяые элементы х, у, что рэ — — — хз — азуз; если элементы х и у оба не принадлежат К, ааметить, что у с К (х), н записать х в виде х+ Д где х б Н, Г = — б) 14) Пусть Ко — поле характеристики Ф2, (Х,) и (Уз) — бесконечные последовательности переменных (я> 1), К вЂ” поле рациональных дробей Кс (Х„..., Х„...,, У<...., Уз,...).
Обозначим через Р„, и )~ 1, тело кватернионов над К, соответствующее паре (Х„, Гд). а) Показать, что бесконечное тензорное произведение В = Я) В„ (гл. 111, приложение 1, и' 2) является телом с центром К и всякое его подтело, порожденное конечным подмножеством, имеет конечный ранг над К (кспольаовать упражнение 8в)). б) Пусть и — внутренний автоморфизм тела Р; показать, что в йг существует такое конечноо подмножество Н, что для любого и с Н сужение автоморфиама и на Р„есть тождественный автоморфнзм; 994 ПОЛУПРОСТЫК МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. Чыг, 1 13 вывестп отсюда, что тело П обладает несчетным множеством певвутрениих К-автоморфизмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
