Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 66
Текст из файла (страница 66)
15) Используя следствие предложения 12 1 12, а также упраж- ' нение 8 гл. 1Ч, 1 2,показать, что всякое конечяоо тело коммутативно. 16) Пусть А — алгебра над полем К. Спектром произвольного элемента а б А пазываетсв множество элементов й б К таких, что ). — а необратим в К. а) Пусть элемент а алгебраичеи иад К, и 1 (Х] — его минимальный мяогочлен над К. Показать, что спектром элемента о является множество корней многочлева Ь принадлежащих К (использовать тождество Безу). б) Пусть элемент о яе алгебраичен вад К и )и (1 ~(1~( к)— различные эаемепты полн К, ие принадлежащие спектру элемента а; показать, что элементы ()и — а)-' линейно иезависилгы над К (ааметить, что все этн элементы привадлежат одвой комиутативной подалгебре алгебры А). в) Пусть поле К бесконечно и Саго (К) ) (А: К).
Покааать, что элементы радикала алгебры А алгебраичиы вад К (использовать б)); вывести отсюда, что 2) (А) — пильидеал (см. 1 11, упражнение 1). й 13. о(ннейные представления .(. Лннейные представ,тенин алгебтт Опккдклкник 1. Пусть К вЂ” коммутативное кольцо, А— алгебра над К, Ь' — К-модуль. Линейным представлением алгебры А в Ь' называется К-гомоморфигм алгебры А в алгебру Хк (Е), переводящий единицу алгебры А в единицу Хк (Е).
Если модуль Е имеет над К конечный базис, то размерность Ь' над К называется размерностью или ппепенью представления. Пусть ц — линейное представление алгебры А в Е. Аддитивный закон в Ь' и отображение (х, и) -+- ц (х) и произведения А Х Ь' в Е определяют на Е структуру левого А-модуля; структура К-модуля на Ь', получающаяся нз этой структуры А-модуля с помощью канонического гомоморфнзма З -к. й.1 поля К в А, представляет собой не что иное, как исходную структуру К-модуля Е.
Определенный таким обрааом К-модуль Е называется модулем представления 9. Обратно, пусть А — алгебра над К, Š— левый А-модуль. О помощью канонического гомоморфизма поля К в А определим на Е структуру К-модуля. Тогда отображение х -+-хь будет К-гомоморфизмом алгебры А в алгебру Хк (Е), то есть линейным ЛИНКЙНЫК ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 295 представлением у алгебры А в К-модуль Е; при атом модуль представления 9 представляет собой не что иное, как данный А-модуль Е; д называется линейным представлением, ассоцииро- ванным с А-модулем Е.
Таким образом, изучать линейные представления алгебры А— это то же самое, что изучать А-модули. Переведем некоторые опре- деления относительно модулей на язык линейных представлений. Ядром линейного представления называется анпулятор его модуля. Представление называется точным, если его модуль точ- ный, другими словами, если его ядро равно нулю, Линейное представление называется простым или неприводи- мым, если его модуль прост. Линейное представление называется полупрсетым или вполне приводимым, если его модуль полу- прост. Пусть 9, 9' — линейные представления алгебры А соответ- ственно в Е и Е'.
9 и д' называются подобными или изоморфными, если их модули изоморфны, то есть существует такой К-изомор- физм ~р модуля Е на Е', что д' (х) = ~р о у (х) о ~р ' для любого хсА. Пусть у, д' — линейные представления алгебры А. 9' назы- вается подпредетавлением (соответственно у1акторпредетавлением) д, если модуль М' представления у' является подмодулем (соот- ' ветственно фактормодулем) модуля М представления у. Если у' просто и у полупросто, то говорят, что у содержит 9' и раз, если пзотипная компонента типа М' модуля М имеет длину и. Прямой суммой семейства линейных представлений называется линейное представление, ассоциированное с прямой суммой нх модулей.
Прямая сумма представлепий д, (1~(1(п) обозначается чеРез Уг + уг + + 9 Пусть 9 — линейное представление алгебры А в К-модуль Е, Ее — сопряженный к Е модуль. Отображение х -~ 'д (х) является представлением противоположной алгебры Ае в Е* и называется транспопированным представлением для д. Пусть А — алгебра над К. Линейное представление алгебры А, ассоциированное с А-модулем А„называется рееулярпьм пред- ставлением алгебры А. Корееулярным представлением алгебры А называется представление, транспонированное к регулярному представлениго алгебры Ае.
296 полупгостык мОдули и кОльцА ГЛ. УШ. Г $3 3 а м е ч а п и е. Пусть 6 — группа, К вЂ” коммутативное кольцо, Š— К-модуль. Линейным представлением группы 6 в Е нааывается гомоморфизм группы 6 в группу обратимых элементов' кольца Хл (Е). Пусть А = — К(о> — групповая алгебра группы 6 относительно кольца К (гл. 11, т 7, и' 9).
Существует единственный гомоморфизм К-модуля А в Хл (Е), продолжающий заданное линейное представление группы 6 в Е; этот гомоморфизм является гомоморфизмом алгебр и, следовательно, линейным представлением алгебры А в Е. Обратно, для любого линейного представления д алгебры А в Е сужение 9 па 6 является линейным представлением группы 6 в Е.
Следовательно, изучение линейных представлении группы 6 в Е является иной формой изучения линейных представлений алгебры А в Е, и понятия, относящиеся к представлениям алгебр, можно перенести на линейные представления групп. й. Матпричиые иредставлеимя Пусть К вЂ” коммутативное кольцо и и ° Π— целое число. Кольцо зндоморфиамов К-модуля К" канонически отождествляется с алгеброй М„(К) квадратных матриц порядка и над кольцом К. Если А — алгебра над К, то линейное представление А в К" является, следовательно, К-гомоморфизмом алгебры А в М (К) н, обратно, всякий К-гомоморфизм алгебры А в М„(К) является линейным представлением А в К", Поэтому линейные представления алгебры А в К" называются матричными пред-' ставлениями степени и алгебры А. Если Š— свободный К-модуль размерности и, то всякое линейное представление алгебры А в Е подобно некоторому матричному представлению степени и.
Два матричных представления х — ~ М1 (х) и х -~ Мг (х) подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и существует такая обратимая матрица Р Е М„(К), что Мг (х) =— = РМ, (х) Р ' для любого х ч А. далее до самого конца етого параграфа будет предполагаться, что К вЂ” поле. Пусть Š— А-модуль конечной размерности над К, д — ассоциированное с ним 'представление.
Пусть Е = Е„~ Е , ..:э Ео =- (0) — некоторый композиционный ряд А-моду- 297 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ля Е; положим д( = Фшл Е(, и( — — Фшк Е((Е(-з =  — 9(-з 1 <1 <р. Пусть (ез)зизиз такой базис модуля Е над К, что (ез, ез,..., ез() — базис е( над к, $ <('<р. поскольку существует изоморфизм модуля К" на Е, отображающий канонический базис модуля К" на (ез), представление д подобно матричному представлению вида /М (х) М (х) М (х) М (х) О . М22 (х) М2з (х) ° ° ° Мзр (х) О О Мзз (х) ° Мзр (х) О О О МРР(х) где Мз( (х) — матрица из пз строк и и( столбцов и все отображения х -~ Мы (х) К-линейны.
Отображения х — 1- М;; (х) являются матричными представлениями алгебры А, подобными линейным представлениям, ассоциированным с модулями Ез(Ез з Для того- ' чтобы данный композиционный ряд был рядом Жордана — Гельдера, необходимо и достаточно, чтобы все представления х -~- М;; (х) были неприводимыми. Тогда зги представления называются неприеодимими компонентами представления 9; ввиду теоремы Жордана — Гельдера (гл. 1, з 6, и' $4, теорема 8) неприводимые компоненты определяются однозначно с точностью до порядка и подобия. Если для всякого з в Ез существует подмодуль ' (над алгеброй А), обладающий дополнением Е; „то представление о подобно прямой сумме представлений х-ч- М;з (х) и, следовательно, подобно матричному представлению Мп (х) О ...О О Мзз (х)...О О О М„„(х) З. Коз(((фмз4меззпзьз тзредставгзеыым Пусть А — алгебра над полем К, о — линейное представление А в векторном пространстве Е над К.
Пусть Ее — сопряженное к Е векторное пространство. Для любых и Е Е, и' Е Ез через О (и, и') обозначим К-линейную форму х -з. (о (х) и, и') на 298 ПОЛУПРОСТЫВ МОДУЛИ И КОЛЬБА ГЛ. У<ы, < <3 алгебре А. Ясно, что отображение (и, и') — ~ б (и, и') произведения Е Х Ез в пространство А*, сопряженное к векторному К-пространству А, билинейно. Линейные формы б (и, и') (где и про.бегает Е, и' пробегает Е*) называются коэффициентами представления р. Есл~ пространство Е имеет пал я конечный базис (е;)< п (е,'-)<~<чи — сопряженный базис пространства Тее, то коэффициент т;; (х) матрицы зпдоморфизма О (х) относительно базиса (е<)' рзпеи б (ег, е<) (х).
Этим и объясняется терминология. Пгвдложкнив 1. д<ля любого и' ~ Ез отображение и -е б (и, и') явлзел<ся А-гомоморфизмом пространства Е в модуль Ае нерегулярного представления алгебры А. В самом деле, по определению корегуляряого представления, .для любых х, у ~ А имеем 'О (й (у) и, и') (х) = (О (х) (О (у) и), и') = (р (ху) и, <ь') = = б (и, и') (ху) = (уй (и, и')) (х), откуда б (О (у) и, и') = уб (и, и'). Слкдствив 1. Пусть и — неприводимое представление алгебры А, и т< (и, и') — отличный от нуля коэффициент представления о. Тогда подмодуль, порожденный элементом б (и, и') в А-модуле А", изольорфен модуяю представлен«я о. Это утверждение немедленно следует из предложения 1 п леммы 2 14, пчЗ. Слвдствив 2. Всякое неприводамое представление алгебры А подобно некоторому подпредставлению ее корегулярного пред.ставления.
Пусть о — линейное представление алгебры ' А, и С (О)— векторное надпространство в А*, лоро кденяое его коэффициентами. С помощью перенесения структуры легко убедиться, что для любых подобных представлений о н о' имеет место равенство С (й') = С (О). Пгвдложвник 2. Пусть О„..., ОА — попарно не подобные неприводимые линейные представления алгебры А. Тогда сумма С (Р<) + С (йг) + ° ..
+ С (Од) в пространстве А* прямая. 299 лпнзйные пгедстлвлГния В самом деле, предло!кение 1 и его следствие 1 показывают, что если Š— модуль представления й„то С (9!) является изотипным типа Е ! полупростым А-модулем; следовательно, предложение вытекает из предложения 9 з 3, и' 4. Слкдствик, Если два неприводимых представления алгебры А имеют одинаковый коэффициент, отличный от нуля, то они подобны. Пусть д! (1 < ! < Е) — линейное представление алгебры А в векторном пространстве Е;; известно, что пространство Е*, сопряженное к прямой сумме Е пространств Е!, отождествляется с прямой суммой пространств Е,", каждое из которых отождествляется с подпространством в Е*, ортогональным к Я Ег гчв! (гл. 11, з 4, и' 3, предложение 5); из определений немедленно следует, что если линейное представление 9 алгебры А является прямой суммой представлений й„то пространство С (9) является суммой (вообще говоря, не прямой) подпространств' С (9!). Пусть Л вЂ” полупростая алгебра над К; всякое ее линейное представление вполне приводимо (4 5, п' 1, определение 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
