Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 62
Текст из файла (страница 62)
1И, $2, и' 2, теорема 1). Тогда для любого а Тгм, (а®1)=Тгм(а), ))(м<,)(а®1)=-рлм(а), Ром<,(а 81; Х) =Ром(а; Х). Из формул (3) при В=К [Х) ораву же следует равенство Ром (а' Х) = Ь~хг<к(~)) (Х а) (9) откуда, заменяя Х на — 1!Х, получаем ))(м<к[х)) (1+ аХ) = 1+ (Тгм (а)) Х+... + ()Ум(а)) ХЯ. (10) Если К вЂ” поле, то в предыдущих формулах можно аамеиить Х (Х) ва воле рациональных дробей Х (Х). зто следует из того, что если ) — А-изоморфизм модули М на М', то матрица зндоморфизма ам относительно базиса В модуля М над К совпадает с матрицей зндоморфизмл ам относительно базиса 1 (В).
Обратное утверждение имеет место в частном случае: Пгвдложвнив 3. Пусть К вЂ” поле характеристики О, и М, М'— полупростые А-.модули конечной размерности над К. Если Тг (а) = Тц,г (а) для любого а б А, то М и М' — изоморфные А-модули. 18а Пусть А-модули М и М' изоморфны, Тогда для любого а ~ А выполняются равенства Тгм (а)=Тгм(а), р(м (а)=Хм(а), Ром (а; Х)=Рс, (а; Х)- 276 ПОЛУПГОСТЫК ИОДУЛП И КОЛЬПА ГЛ. Ч1Ы, $12 Пусть б — множество классов простых А-модулей (3 3, п' 2), и для любого ) ~ В пусть Фх (соответственно Нг) — изотнпная компонента типа Х модуля М (соответственно М'); так как М и г)т' имеют конечную раамерность над К, то ))гт (соответственно )Ут) будет прямой суммой конечного числа 111 (соответственно пт) А-модулей, изоморфных )., и пг = п~ =- О для всех Х, кроме элементов некоторого конечного подмножества Н с: Я.
Так как А-модули )е Е Н являются конечномерными векторными К-пространствами, то их контрмодули — конечного типа. Следовательно, для любых Х Е Н, а г А существует элемент с Е А такой, что сх = ах и сп =- О для всех р ~ ) таких, что )с Е Н (3 4,. и' 2, следствие 2 теоремы 4). Тогда по предложению 1 соотношение Тгм (с) = Тгм (с) записывается в виде (пг — пь) Тг„(а) = О. В частности, при а = $ это равенство дает (пх — пь) «1(шк (й) = О, и поскольку характеристика поля К равна О, то пд — — пе для всех Х Е Н, что и заканчивает доказательство. 2.
Норма м след в алгебре Опгвдвлвнив 2. Пусть К вЂ” коммутативное кольцо, А— алгебра над К, являющаяся свободным М-модулсм конечной размврности. Характеристическим многочленом (соответственно нормой, следом) произво.еьного элемента а ~ А относительно А и К называется характеристический многочлен (соответственно норма, след) элемента а относительно А-модуля А,.
Если не может возникнуть недоразумения, то в этих обозначениях вместо А, пишут А, а А и К опускают. 3 а ме чан не. Если Л вЂ” алгебра матриц лег (Н), то след Тг, (х) некоторой матрицы х чЛ не ровен, вообще говоря, следу Тг (х), онрсдояснному в гз. 111, т 4, о' 5 (см. ниже н' 3). Пусть А = А1 Х Аг х... х А„— произведение п алгебр конечной размерности над К.
По предложению $ и' $ для любого элемента а = (а„..., а„) алгебры А имеем равенства: Тглж (а) = ~ Тглук (ае), )ч(лгк (а) =- Ц Жл,./к (а,), 11 1 (и) Рслук(а; Х) = — Ц Рс,гул(а,; Х). 1=1 277 НОРМЫ И СЛЕДЫ Пусть А, А' — алгебры конечной размерности и, и' над К; пред- ложение 2 и' 1 показывает, что при а Е А, а' Е А' Тглэл (а® а') =Тгл(а) Тгл (а'), Хл~л (а З а ) =(г1л(а))"'(1'[л (а'))". (12) Наконец, пусть А — алгебра конечной размерности над К, и Ь вЂ” коммутативное кольцо, содержащее К и имеющее ту же единицу, что и К; отоявдествим канонически алгебру А с подкольцом в А<ы, тогда по формулам (8) для любого а Р А Тгл гь (а) = Тглгк (а), 1[л гь (а) = 5]льк (а), вы ' ~ы (13) Рсл 11,(а; Х)=-Рслд~(а; Х).
Пгедложенне 4. Пусть К вЂ” поле, р — его характеристическая экспонента, Ь вЂ” алгебраическое расширение конечной степени поля К, г1 (1 <1< д) — раавичные К-иэоморфиэмы Е в алгебраическое гамыкание Й поля К, и р' — несепарабельный множитель степени поля Ь над К (гл. Ч, т 8, и' 4). Для любого х Е Е выполняются равенства Рсьц~(х; Х)=(Ц(Х вЂ” г;(х)))о, Ю в Тг1ак(х)=р ~ г (х), ]чвгк(х)=(Цг'(х))" . в=1 в=1 (14) (15) Пусть т — наименьшее целое число > О такое, что алемент хо сепарабелен над К; тогда, поскольку Е =- К (хо ) сепарабельно над К, поле Е является наибольшим сепарабельным расширением поля К, содержащимся в К (х); К (х) — радикальное расширение поля Е в силу равенства К (х) = Е (х) и радикальности элемента х Формулы (15) немедленно следуют иа (14) и (4), и достаточно доказать формулы (14). Пусть г (Х) — минимальный многочлен элемента х над К; так как г неприводим и Рсшк (х; Х) делит степень г (Х) (гл.
Ч11, $5, и' 3, следствие 1 предложения 8; ааметим, что Ь отождествляется с полем гомотетий векторного пространства Ь над К), то Рсшк (х; Х) = (г (Х))'; так как Рсшк (х; Х) имеет степень [Х: К], то 278 полупуостык мОдули и нольцА гл. У111, 1 1з над Е; наше утверждение следует тогда из предложения 5 гл. У, т 8, и' 3.
Пусть О, (1 <7 <а) — различные К-изоморфизмы поля Е на подполя в Я; будем предполагать, что каждый От продолжен до К-автоморфизма о1 поля Й; элементы О1(ха ) — различные сопряженные элементы к ха над К; справедливо равенство (17) ( Х ) ( П ( Х ( ) ) ) 1=1 В самом деле, пусть г, (Х) — многочлен нз правой части фор- мулы (17); г,(Х)=Ц(Хг — О;(ха )), следовательно, г,ЕК[Х) и Г1(х) =0; с другой стороны, [К (х): К[ = [К (х): Е[ [Е: К[ = р 3; (18) следовательно, г и г, имеют одинаковую степень, откуда и следует (17). Поэтому в Рс1 (х; Х) =(Ц (Х вЂ” О,(х)))1 (19) Пусть Ха — наибольшее сепарабельное расширение поля К, содержащееся в Х,; тогда Е~Х~ и (20) [~:К[=агр, где 1= [Е,а'.
Е); таким образом, из равенств (16), (18), (19) и (20) следует равенство Рсь1л (х; Х) = ( Ц (Х вЂ” О1 (х)) )1У'. (21) 1=1 Пусть та (1 < й < 1) — различные Е-изоморфизмы поля Еа на подполя в П; каждый из них единственным образом продолжается до Е-изоморфизма поля 7 (он также обозначается через ть) на подполе 17; совершенно очевидно, что К-изоморфизмы от о та , (1<7 <г, 1<Й(1) являются д = аг различными К-изоморфиэмами поля Х, на подполя в й.
Однако х радикален над Е, так что та (х) = х при 1<й<1; следовательно, От (ть (х)) =- о1 (х) при 1 <й< 1, и формула (14) является лишь иной записью формулы (21). 279 нотмы и слвды Из предложения 4 следует, что в случае, когда Ь является сепарабельным алгебраическим расширением поля К, понятия нормы и следа, определенные в этом параграфе, совпадают с теми, которые определены в гл. Ч, $10, п' 6. Заметим также, что если поле Ь не сепарабельно над К, то Тгьгк (х) = 0 для всех х Е Л. ПРкдложкнив 5. Пусть К вЂ” поле, А — алгебра конечной размерности и над К, х Е А, Р (х) = Рсл~к (х; Х) — характеристический гсногочлен элемента х.
Тогда беФ (Тглгк (х1+1)) == ( — 1)о1" тнз Млдс (Р' (х)) (1 <1<п, 1 <1'<и). (22) и Разложим многочлен Р (Х) = [[ (Х вЂ” ай) в алгебраическом й=1 замыкании 1г поля К и рассмотрим определитель Вандермонда Л = йеФ (а1й) (1 «'<и, 1 < 1(п); умножив матрицу (ай) на ее транспонированную, получим матрицу, у которой элемент с индексами (1, у) равен ~ а1+1; но по формуле (4) и' 1 и предй=г ложению 13 гл. Ч11, т 5, и' 5, этот элемент представляет собой не что иное, как Тгл~к (хг+э).
Следовательно, Л*= де1 (Тглгк (хг+1)). С другой стороны, по второй формуле (4) и' 1 и по предложению 13 гл. Ч11, 1 5, и' 5, имеем равенство Ил~к (Р' (х)) == [[ Р' (ай); так как Р' (ай) = Ц (ай — ай), то й=1 ге.й ПР'( й)=( — 1)"'" '"'(П(ай — '))* й=1 й<й и таким образом, формула (22) следует из выражения для определителя Вандермонда (гл. Ш, 4 6, и' 4, формула (13)). Иввдложвниз 6. Пусть А — алгебра конечной размерности над полем К, и т — такой ее нильпотентный двусторонний идеал, что Р = А/ш — тело. Тогда [А: К1 = г Ю: К1, где г — целое число; обозначая через х — 1- х канонический гомоморфизм алгебры А на А /ш = Х), для любого х Е А будем иметь равенства: Тглгк (х) г Хг11г11 (х)р Хлук (х) = (1 лук (х)) (23) Р..„(ал Х) =(Р „, (х; Х))". 280 полтпгостык молили н кольц» гл.
тш, г ~2 Пусть н — наименьшее целое число такое, что ш" = (О); тогда А, э гв ~ ш' ~...:э ш" ':э ш" = (О) есть композиционный ряд А-модуля А,', далее, так как идеал а содержится в аннуляторе А-модуля У, = ш'-'/ш', то У; моягно рассматривать как левое векторное пространство над телом Р = — Аlш. Отсюда следует, прежде всего, что 1$';: К1 = г; 1Р: К1, где г — целое число, и, следовательно, 1А: К1 = ~ 1У~ ' К1 = 1=1 = г 1Р: К1, где г = ~~~~~ г;. Кроме того, А-модуль г"; можно $-1 отождествить с тензорным произведением Р бу» И'„ где И';— векторное пространство размерности г, над полем К, причем структура А-модуля на этом тензорном произведении определяется структурой А-модуля Р.
Но при каноническом отождествлении алгебры А с А ® К структура А-модуля Р бр И', ото;кдествляется с его структурой (А ® К)-модуля. Тогда из формул (6) и' 1 следуют равенства: Тг1 г (х) = Тгрэк;. (х ~ф 1) = г; Тгр (х), Р(гг (х) = Креи, (х (ф 1) = (Р(р (х)) ~, выполняющиеся для любого х ~ А; при этом, если х, у — элементы алгебры А, то, по определению, ху = ху в Р, и следовательно, Тгр(х) = Тгр(х) и 1(р(х) = г)р(х), что и заканчивает доказательство первых двух формул (23). Третья формула выводится аналогично из замечания к предложению 2 и' 1. Пгвдложенив 7.
Пусть К вЂ” коммутативное кольцо, А— коммутативнвя алгебра над К, имеющая над К конечный базис (а;)1а;~, 'г' — А-модуль, имеющий над А конечный базис (ез)~а;<„. Тогда (а,еД является базисом г', рассматриваемого как К-модуль. Если и — А-зндоморфизм модуля У, и ик — отобрав»ение и, рассматриваемое как К-гндоморфизм У, то Тг(ик) = Тгл~к (Тг(и)), бе~(ик) = р(л(к Яе~ (и)), (24) Рс(ик; Х)=Х»~»1ж~»1(Рс(и;. Х)). Первое утверждение проверяется непосредственно (рассуждением таким же, как в предложении 1 гл. 11, $5, и' 1; заметим, 2 ногмы н слкды 281 что в этом рассуждении не используется ни коммутативность алгебры А, ки конечность базисов). Третья формула (24) получается из второй, если применить ее к зндоморфизму Х вЂ” и А [Х[-модуля А [Х) !К!л У (гл. У11, приложение, и' 1).
Такиы образом, достаточно доказать две первые формулы (24). Мы докажем сначала следующую лемму: Лкмме 2. Пусть Х;, (1<1<к, 1<! <и) — и' переменных, Х вЂ” квадратная матрица (Хы) порядка и, Р (Х11,..., Х„„) 6 б Я [Хоы ..., Х „[ — определитель матрицыХ. С другой стороны, пусть А — коммутативное кольцо, М1! (1 <1 < и, 1 < 1 < и)— и' квадратных матриц порядка т над А, попарно перестанозочных между собой, и М вЂ” квадратная матрица порядка тп над кольиом А, имеющая вид квадратной таблицы ив матриц М11 Мы Мт Мг! М ..М ° Мт Мл2 ° ° ° Мпп гл. 11, $ 6, и' 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
