Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 59
Текст из файла (страница 59)
У, 1 11, п' 5), А — алгебра ЛХэ (3) матриц порядка 2 вад Л. Пусть а — обрааующий группы Галуа поля Я иад К, и С вЂ” подкольцо с'с 0 в А, состоящее иэ матркц ( ~, где с Ь Я. ( 0 а(х),/' а) Показать, что существует такая группа Галуа С автоморфиамов алгебры А, что (в обозначениях иа упражнения 6) 7 (С) = К, (С:Сс)=п о(С)= 6) Покаэать, что С вЂ” простое лодкольцо в А, содержащее К, ио его коммутавт Сс в А является прямой композицией двух полей, иэоморфвых Я. Если Н вЂ” группа автоморфиэмов кольца А, оставляющих иввариантвымя элементы С, то 1 (Н) = СЯ. Кроме того, существует иэоморфкам ~р кольца С на 8, который оставляет яввариаятяыми элементы поля К и ве может быть продолжен до автоморфиэма алгебры А (см, упражнение 6).
10) Пусть К вЂ” поле, и — его автоморфиэм, отличный от тождественного, 1) — множество К (Х) формальных степенных рядов от одного перемеввого Х, наделенное такой структурой кекоммутатввного тела, что ХЬ = ).сХ для любого )с Ь К (гл, Гт, $5, упражвевие 10); чему равен центр 1)7 Пусть т — автоморфиэм поля К, перестааовочаый с о:", покаэать, что существует едивствеавый автоморфиэм тела с1, продолжающий т и оставляющий иивариаитиымХ, ПОЛУПРОСТЫЕ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. У111, 1 19. Получить отсюда пример автоморфизма кекоммутатнвного тела, оставляющего пнвариантнымн злементы центра, но ке внутреннего.
11] Пусть Р— тело конечного ранга иад своим центром К. Для того чтобы простая алгебра А = ЛХз (В) содержала подалгебру, изо'морфную ЛХг (К) и имеющую ту же единицу, что и А, необходимо я достаточно, чтобы г делило з (использовать следствие 2 теоремы 2н'2) 12) Пусть К вЂ” поле, Р— тело ранга тз над своим центром К. Для того чтобы н алгебре М, (К) существовало подтело с центром К, иаоиорфное Р, необходимо и достаточно, чтобы тз делило л (использовать существование группы Брауэра).
е13) Пусть Р, Š— тела, центры которых содержат К; предположни, что ранг (Е: К] = вт конечен и поле К является центром одного из тел Р, е, тогда алгебра В 3 е изоморфна .Ес (У), где У вЂ” векторное пространство конечной размерности Ь над телом С (1 7, п' 4, следствие 2 теоремы 2). а) Показать, что т кратно Ь (рассмотреть У и В 8 Е как векторные пространства над Р и воспользоваться теоремой 2 $5, и' 4).
б) Для того чтобы тело Е было К-нзоморфио подалгебрг некоторой алгебры вида сп (И), где И' — векторное пространство над телом Р, необходимо и достаточно, чтобы размерность пространства И' над Р была бесконечной или кратной вг!и (заметить, что И' есть (Р Я Е)-модуль ($ 7, упражнение 1)). в) Показать, что если ранг (Р: К] конечен и независим с (Е: К], то Р 8 Š— тело (испольаовать а)).
з14) Пусть Р— тело с центром 2, У вЂ” векторное пространство яад Р; отождествим В с телом гомотетий пространства У, содержащимся в кольце И зндоморфизмов абелевой группы )г. Пусть А = = Хп (У) и  — плотное подкольцо в А, содержащее 2. Пусть Š— подтело в Р, содержащее Я, Š— его коммутаят в Р.
Покааатгь что алгебра Р 82 Е иаоморфна некоторой плотной подалгебре в Хг(У) (использовать упражнение 19а) 1 1 и рассмотреть коимутант в Я произведения ВЕ). Частный случай когда Е— максимальное подполе тела В (доказать его существование). з15) Пусть  — простая алгебра конечного ранги над своим центром К, )У вЂ” расширение Галуа поля К конечной степени в, нейтрализующее для алгебры Е; положим А =- В и) — — В ® )у и отождествнм А с алгеброй,ЖМ (У) зндоморфизмов векторного пространства у над Ф, Пусть С вЂ” коммутант алгебры Р в кольце П зндвморфизмов абелевой группы У, С вЂ” простая алгебра с центром К, и )у является ее максимальшам коммутативным подкольцом.
Пусть 6 — группа Галуа поля дг над К и о б С. Положив (Ь я з)о .= Ь ® зс для Ь 5 Р, з б Е, автоморфпзм о можно продолжить до автоморфизма алгебры А, оставляющего инваряаятными элементы Р; агу группу автоморфвзмов алгебры А также обозначим череа С. игонтьги иодкольца. иэоыовюиэыы простых коикц 265 а) В обозначениях упражнения 4 (при В = Я = Н) выполняются равенства Сс — — (1), С (6) =- С, ! (6) = В, В (6) = Н, н 6 является группой Галуа автоморфизыов алгебры А (упражнение 6). Пусть В~о~ где и б 6,— множество таких обратимых элементов и б С, что и есть автоморфиэм х -~ иэи г алгебры А; Нс —— Н3Ц (О) — векторное подпространство (левое и правое) в С раамерности 1 над полем Ж, и С является прямой суммой подпространств Но. Объединение Н* множеств Но (и Е 6) является подгруппой в группе С* обратимых элементов алгебры С и совпадает с группой элементов и 5 С* таках, что нЛ'и-' с,Н; пусть 0 (и), где и Е Н", есть элемент о Я 6 такой, что н есть автоморфизм г -~ ихе-г алгебры А; отображение 0 -~.
0 (н) является гомоморфиэмом группы Н* на 6, и его ядро есть мультипликативнан группа Н'», б) Обратно, пусть Не — группа, в которой Ке является истинной подгруппой; предположим, что существует гомоморфиэм о группы Н* на группу 6 с ядром Не, таной, что 0 (и) — автоморфпэм х ~ нэи-г группы /Уе. Показать, что тогда существует простая алгебра С с центром К, в которой поле Н является максимальным подполем, а Н* — группой обратиммх элементов таких, что иНо-' С. Л'. (Для любого и б 6 рассмотреть в Н* обратный образ Но автоморфиэма а при гомоморфиэме 0; показать, что на сумме Но множеств Но~ и (О) можно определить структуру векторного пространства раамерности 1 над полем Н, а затем на векторном пространстве С, прямой сумме Н, нукную структуру алгебры относительно К; для докааательства, что С просто, рассуждать, как в упражнении 4г).) *16) Пусть В, В' — простые алгебры с центром К к конечного ранга над К, обладающие общим нейтралнеующим расширением Галуа Л' поля К; пусть Н», Н'е — группы, соответствующие атнм алгебрам при построении, описанном в упражнении 15, о, 0' — соответствующие гомоморфиэмы групп Н*, Н'* соответственно на группу Галуа 6 поля /У.
Пусть В" — алгебра В 3 В', Нсе и о — соответствующие ей при том же построении группа и гомоморфиэм. Рассмотрим в группе Н* Х Н'* подгруппу э', состоящую иа пар (н, и') таких, что 0 (и) — -= 0' (и'), и опРеделим гомомоРфиэм ог гРУппы У на 6, положим 0~ (и, и'] = 0 (и) = 0' (и'), (и, и') Е э. С другой стороны, пусть Я вЂ” подгруппа в Н х Не, состонщая иа пар (Л, Л-'); показать, что группу Н"" можно канонически отождествить с э /Я, а гомоморфнзы 0" — с гомоморфиэмом группы э'/о' на 6, получаемым иэ (Ч путем факторизации.
(Если В 3 /У и В' Я Н отождествлены с алгебрамя эндоморфиэмов ии (У) и Хи (У'), то отождествить В' 8 Ф с ни (У® У'); показать затеи, что при всяком а Е 6 отображение (и, и') — и 8 и' группы Но Х Но в кольцо эндоыорфиемов абелевой группы У* является сюръекцией на Нос.) поль поостыв модкли н кольца гл. чзп, 5 И 5 11. Применения в. ХГоненные жела Твогкма 1 (Веддерберн).
Всякое конечное тело — поле. Пусть Х) — конечное тело с центром К, Ь вЂ” его максимальное подполе. Всякое другое максимальное подполе тела Х) имеет над К ту же степень, что и Ь ($10, п' 3, следствие предложения 3); следовательно, оно К-изоморфно Х, (гл. У, $ 11, и' 4, предложение 3) и имеет видхЬх ', где х ~ Х)в ($10, в'1, теорема 1). Так как всякий элемент тела П содержится в некотором максимальном подполе, то мультипликативная группа П* является объединением подгрупп хХвх ', сопряженных Х.*; кроме того, если х' = хс, гб Х,*, то х'Х* х' ' = хгХ* Г' х 1=хХ*х '. Поэтому число различных сопряженных подгрупп хХ~х ' нв превышает числа левых классов хХв группы П* по подгруппе Х.*.
Так как все эти сопряженные подгруппы имеют одно и то же число элементов, то отсюда следует, что В* может быть объединением подгрупп хХ*х т только в случае, когда они попарно не пересекаются. Однако их общим элементом является единица группы Х)*, и следовательно, должно выполняться равенство Х)* = Хг, то есть Х> = Х = К. 2. Хврантермзат(тгя пгел неапгернмоное ПРедлОжение 1. Пусть К вЂ” поле характеристики чь2. Всякое некоммутативное надтгло В ранга 4 над К, центр которого содержит К, является телом кватерн ионов над К (гл. 11, з 7, и' 8). Ранг тела П над своим центром является квадратом (з 7, и' 4, следствие 3 теоремы 2), следовательно, центр Х> равен К, Пусть Х вЂ” максимальное подполе тела П; по следствию предложения 3 5 10, и' 3, (Х,: К] = 2, и, поскольку характеристика поля К не равна 2, Х имеет вид К (и), где и' б К(гл. 11, з 7, и'7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
