Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Тогда для любых х г У и»» б Р выполняется равенство у (»»х) = »»об (х), откуда и следует, что отображение у полулинейно относительно о. полупоостыв ИОдули и кольца гл. Рп1, 1 $0 б) В совпадает со своим биноммутантом в А; в) [А:В'1= [В:К1, 1А:В1= [В':К] и [А:К1= = [В: К1 [В': К]; г) В и В' линейно раздельны над своим общим центром ' ВПВ'. Пусть Я вЂ” простой А-модуль, й — кольцо эндоморфизмов абелевой группы Ю, Р с: ье — тело, коммутант модуля Ю; отождествим А с кольцом гомотетий Ав ~ 11 А-модуля Я. Центр тела Р совпадает с центром А, то есть равен К; поэтому ($7, и' 4, следствие 2 теоремы 2) алгебра Р 8» В проста. Канонический гомоморфнзм алгебры Р Я)» В в й (гл.
[П, 4 3, и' 3) является, следовательно, изоморфнзмом Р ®» В на подкольцо, порожденное в 1е объединением Р Ц В; это подкольцо представляет собой не что иное, как произведение РВ абелевых подгрупп Р и В в смысле $6, и' 4. Тогда [РВ 1 Р] = [Р ®» В: Р1 = [В: К) (гл. 111, $ 3, и' 3, теорема [). Коммутант произведения РВ в ы' является пересечением коммутанта А тела Р в Й и коммутанта кольца В в Й и совпадает, следовательно, с коммутантом В' кольца В в А. С другой стороны, размерность 61шв Я конечна (4 5, и' 4, теорема 2), и, применяя предложение (6 4 5, и' 6, к .РВ-модулю Я и простому подкольцу Р кольца РВ, убеждаемся, что кольцо В' просто и [А: В'1=[РВ: Р]=[В: К1. Следовательно, [А: К] = = 1А: В'1 [В': К1 = [В: К) [В' 1 К1.
Но, с другой стороны, [А: К] = [А: В) 1В: К], так что [А: В) = [В': К), поскольку ранг [В: К1 конечен. Бикоммутант РВ-модуля Я совпадает с РВ ($5, п' 4, следствие 2 теоремы 2); следовательно, если некоторый элемент кольца А перестановочен со всеми элементами иэ В', то он входит в РВ и перестановочен со всеми элементами из .Р; но тогда он перестановочен и со всеми элементами из В: это следует иэ того, что К вЂ” центр тела Р и из иаоморфностн РВ и Р (9» В Я $, и 2, предлол1ение 3); отсюда следует утверждение б).
Наконец, пусть С = В П В' — общий центр подколец В и В', поскольку К с: С, то В' имеет над С конечный ранг. Следовательно ($7, и' 4, следствие 2 теоремы 2), алгебра В 3с В' проста и ее канонический гомоморфнзм в А (гл. П1, $3, и 3) является иэоморфизмом на некоторую подалгебру в А, откуда следует утверждение г) (гл, 111„$3, и' 3, теорема 1).
поостыв подкольцл. изомогэизмы пгостых колвц 249 Слвдствив, Если центр кольца В равен К, то А = ВВ' и кольцо А изоморфно В В» В'. В самом деле, по теореме 2г) ВВ' изоморфно В ф» В', то есть [ВВ': В') = [В: К) = [А: В'1(+ оо, что доказывает равенство А = ВВ'. Пусть А — алгебра над полем К, М вЂ” А-модуль,  — подалгебра в А, содержащая ее единицу, В' — коммутант В в А; для любого Ь' Е В' гомотетия Ьгг модуля М принадлежит Хэ (М) и коммутирует со всеми элементами Хл (М) с Хв (М). Следовательно, имеется канонический гомоморфизм ц К-алгебры Хл (М) ®» В' в К-алгебру Жэ (М) такой, что ~р (и 8 Ь') = =- иЬм (гл.
1П, 3 3, и' 3). Пгвдложвнив 2. Пусть А — простое кольцо с центром К, и М ~ (О) — А-модуль конечной длины; пусть  — простое подкольцо в А, содержащее К, и В' — его коммутант в К. Если алгебра А имеет над К конечный ранг, то канонический гомоморфизм К-алгебры Хл (М) З» В' в К-алгебру Хв (М) бис»тизен.
Так как А — алгебра конечного ранга над К, то модуль М имеет над К конечную размерность. Кольцо А не имеет двусторонних идеалов, отличных от (О) и А, и отождествляется поэтому с кольцом гомотетий Ам, применив теорему 2а) к простой подалгебре А простой алгебры Х» (М) с центром К, получим, что алгебра Хл (М) проста и ее центр равен К. Алгебра В' проста по теореме 2а); следовательно, алгебра Хл (М) ®» В' проста ($ 7, п' 4, следствие 2 теоремы 2) и канонический гомбморфизм этой алгебры в Хв (М) инъективен; пусть С вЂ” простая подалгебра в Х» (М), обраае алгебры Жл (М) ®» В' при этом гомоморфизме. Для доказательства равенства С = Хв (М) найдем коммутант С' подалгебры С в Х» (М).
Коммутант Хл (М) в Х» (М) равен А (теорема 2б)); так как коммутант кольца В' в А есть В (теорема 2б)), то С' = В. Но С совпадает со своим бикоммутантом в простой алгебре Х» (М) (теорема 2б)), что и доказывает нужное равенство. Слкдствив 1. Пусть П вЂ” тело конечного ранга над своим центром К, [г ~ (О) — конечномерное векторное пространство над К, Канонический гомоморфизм К-алгебри Хо (У) ®» П в К-алгебру л» (У) биективен (см.
гл. 111, 5 3, и' 2, пример 11). 250 ПОЛУПРОСТЫИ МОДуЛи и КОЛЬЦА Гл. У111, 1 10 Это следствие является частным случаем предложения 2 при А =В,В=К,М= гг. Слвдствик 2. Пустпь А — просгпая а ебра конечного ранга т' над своим центром К. Отождеггпвим А и Ае с подалгебрами в Хк (А), состоящими соответственно иг левых и правых умножений алгебры А ($1, и' 2); каноничесниб гомоморфигм К-алгебры Аз 8 и А в К-алгебру Хн (А) (игоморфную алгебре матриц Мж (К)) биенвгивен. Так как Х» (М) является в условиях следствия кольцом правых умножений алгебры А ($1, и' 2, предложение 4), то утверждение получается как частный случай предложения 2 при М=А„В=К. З. Подпола проспзыгс тсолец Пгвдложвнив 3.
Пусть А — простое кольцо с центром К и ранг А над К конечен. Для любого подпола Ь кольца А, содержащего К, следующие условия эквивалентны: а) Ь совпадвегп со своим когыяутантом в А; б) Ь вЂ” максимальное коммутативное подколъцо в А; в) (А: К] = (Ь: К)з. Эквивалентность утверждений а) и б) очевидна.
Эквивалентность а) и в) следует иа теоремы 2в), и' 2. В кольце А не всегда существует подполе г„удовлетворяющее условиям предложения 9» достаточно рассмотреть кольцо матриц М„(1)) над алгебраичеекн аамкнутым полем, з ) 1. Слвдствив. Пусть А) — те го конечного ранга над своим центром К, и Ь вЂ” подполе в В, содержащее К. Для того чтобы Ь было маисимальным подполем в 1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось раеенсгпво (Р: К) =- (Ь: К)з. В 'самом деле, если А — коммутативное подкольцо в Ю, содер-.
жащее К, то А — подполе н Х) (гл. Ч, 4 2, и' 1, предложение 1). Следовательно, максимальные подполя в Х> совпадают с его максимальными коммутативными подкольцами. Таким образом, все максимальные подполя тела Р являются расширениями поля К одной и той же степени. В то же время зтя расширения не всегда изоморфяы (1 11, упражнение 4 и 1 12, упражнение 9). л поостыв подкольцл.
изомогфизмы пгостых колвц 251 Лкмма 1. Пусть Р— тело с центром К, Р отлично от К и всякий его олемент алсебраичен над К. Тогда Р содержит сепарабельное коммутативное равширение поля К степени «1. Пусть г Е Р и г 4 К. Так как элемент г алгебраичен над К, .то подалгебра К (г) = К (г] тела Р, порожденная К и г, является алгебраическим расширением поля К конечной степени -1.
Если алемент г не радикален над К, то К (г) содержит сепарабельное расширение поля К степени «1 (гл. У, $8, и' 4, следствие предложения 7), Пусть г радикален над К; так как г ~ К, то характеристика р поля К > О и существует целое число е) О такое, что и = го' Е К, но ио ~ К. Пусть о — автоморфизм х -«ихи ' векторного К-пространства Р. Имеем ао = 1 (тождественный автоморфиам пространства Р), следовательно, (а — 1)о = О, а а — 1 ~ чь О, поскольку и Е К. Пусть г — наибольшее число для которого (а — 1)' ~ О, и у — элемент тела Р такой, что (а — 1)" (у) ~ О; положим а = (а — 1)'-г (у), Ь = (а — 1) (а), с = а-'Ь.
По определению г, а (Ь) = Ь и а (с) = Ь-'а (а) = Ь г (Ь + а) = 1 + с Ф Фс. Таким абрагом, коммутативное расширение К (с) поля К устойчиво относительно а и сужение автоморфиэма она К (с) отлично от тождественного автоморфиама. Следовательно (гл. У, $8, и' 4, предложение 8), наибольшее сепарабельное расширение поля К, содержащееся в К (с), имеет степень)1, чтоидокавываетлемму.
Пгвдложкнив 4. Пусть Р— тело конечного ранга над своим центром К. Тогда в Р имеется максимальное подполе, являюи(ееся сепарабельны расширением поля К. Положим (Р: К] = и' и будем докааывать предложение индукцией по и. При и = 1 оно тривиально. При и ) 1, по лемме 1, существует отличное от К сепарабельное коммутативное расширение Х с: Р поля К. Коммутант Х' подполя Х в Р является подтелом в Р, и его центр, по теореме 2б), равен Х. Имеем (Х': Х] ( ( пг, и, по предположению индукции, Х' содерясит максимальное подполе М, являющееся сепарабельным расширением поляХ.
Всякое подполе гела Р. содержащее М, содержит К, следовательно, содержится в Х' и равно М. Таким абрагом, М вЂ” максимальное подполе тела Р, Так как М сепарабельно над Х и Х сепарабельпо над К, то М сепарабельно над К (гл. УИ, $ 7, п' 4, предложение 7), ПОЛУПГОСТЫК МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ, УПК $19 4. Гругзпа ВрадэХга Пусть К вЂ” поле. Напомним (в 5, в' 4, следствие 2 предложения 12), что всякая простая алгебра А с центром К и конечного ранга над К ивоморфна 'кольцу матриц М, (Р) над некоторым телом Р с центром К и конечного ранга над К; кроме того, тело Х) К-ивоморфно телу, противоположному телу зндоморфизмов любого минимального идеала кольца А (в 5, и' 4, теорема 2).
Ош кдклкннк 1. Простые алгебры А и В с центром К конечного ранга над К назыеаются подобными, если суигестеуют тело. Р с центром К и целые числа г>0, з>0 талие, что А и В изоморфны соотплетстзенно ЗХ„(Р) и М, (Р). Таким образом, все кольца матриц Мо (Р) над телом Р с центром К и конечного ранга над К подобны Р. Две подобные простые алгебры с центром К, имеющие одинаковый конечный ранг над К, изоморфны; два подобных тела с центром К и конечного ранга над К изоморфны. Если А и  — простые алгебры с центром К конечного ранга над К, то алгебра А ® В проста ($ 7, в' 4, следствие 2 теоремы 2), ее центр равен К (т 1, п' 2, следствие предложения 3) и ее ранг над К конечен. Кроме того, Пгкдложкник 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
