Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1, $ 8, и' 10, предложение 6); пусть р — такой идеал. (Е >3 Р)/р будет кольцом целостности тогда и только тогда, когда идеал р имеет вид ~ 6> (гл. 1, 4 8, и' 11, предложение 8), и в этом случае (Е 8 Р)/р иаоморфно 6;. Следовательно, предлолсение вытекает из предложения 1. Пгвдложвнив 4. Пусть Š— расширение Галуа конечной сл>епени поля К, à — его группа Г луа, Р— алгебра над полем Е. РассмотРим на Е 8 яр стРУктУРУ Е-алгебРы, полрчаюЩУюсл из структуры Е-алгебры Р. Е-линвйное отображения и> алгебры ПРИМЕНЕНИЯ; Е КОМПОЗИЦИИ РАСШИРЕНИЙ 235 Е Зл Р на пРоизведение Рг такое, что й (х З У) = (а (х) У)эгг лвллетсл изоморфизмом Е-олгвбр.
Пусть, кроме того, группа Г действует иа Е Зк К и на Рг согласно Формулам а (х З у) = = а( ) З У (хЕЕ~ УЕР~ ОЕГ) и а((а»)ч«г) = (а»с)ч«г (а, с Р, а Е Г). Тогда й» а = а» й для любого а с Г. Предположим сначала, что Р = Е; по следствию 2 предложения 2 всякая компоаиция расширений Е и Р изоморфна некоторой композиции вида (Е, 1, а), где а б Г; тогда предложение непосредственно вытекает из предложения 3. Перейдем к общему случаю; алгебру Р можно канонически отождествить с Е Зк Р; тогда Е Зл Р отождествляется с Е Зл (Е Зл Р) и, следовательно, с (Е Зл Е) Зл Р (гл. 111, приложение П, и'н' 4 и 9); элемент (х З х') З у, где х Е Е, х' Е Е, у б Р, отождествляется при этом с х З (х'у). Аналогично Рг отождествляется с (Е') Зл Р, причем элемент ((хэ)озг) З У последнего проиаведения отождествляется с элементом (хву)е«г н Р". Теперь достаточно применить первую часть доказательства.
3 а м е ч а н и е. Волее общим образом, если Р— Е-модуль, то аналогично овределяется нзоморфиэм и Е-модуля ЕЗлР на произведение рг, такой, что «э» а = а» м для любого а б р. У и р а ж н е н и я. 4) Пусть Š— расширение поля К, и ь)— алгебраически замкнутое расширение ноля Е. Показать, что следующие условия эквивалентны: 1» Š— радикальное расширение поля К; 2' при любом расширении Р поля К в Е З Р имеется только оден простой идеал; 3' прн любом расюнревин Р поля К любые две комвознцин расширений Е и Р наоморфвы; 4» в Е З «» имеется единственный простой вязал; б» любые две компоэицвн расширений Е и ««иэоморфвы. 2) Пусть К вЂ” поле, р — его характеристическая экспонента, ьэ — алгебраическн замкнутое расширение поля К, Е ~ () — расширение поля К, и К алгебраическое замыкание поля К в ().
а) Показать, что поля К и ьо линейно раздельны вац своим пересечением д«(рассмотреть первичное линейное соотношение с коэффициевтами иэ к между алементами эх некоторого базиса (ах) поля р»» Ь~ вад д«и применить к этому соотношению Л-автоморфлэм поля («). б) Вывести иэ а), что всякий К-автоморфиэм поля К, сукевне которого на Ь () К является тождественным отображением, может быть продолжен до Е автоморфизма поля (). 3) а) Пусть К поле, Е, Р— его расширения такие, что Е ллгебранчяо над К, и К алгебраически замкнуто в Р.
Показать, что 236 ПОЛУПРОСТЫН МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. Угйб 1 8 любые две компоаиции расширений Е и Г изоморфны (использовать упражнение 2б)). б) Пусть Е, Š— расширения поля К и К алгебраическп замкнуто в Е. Показать, что если компоаиции (Е, и, с) и (Е', и', с') таковы, что и (Е) и с (Е) (соответствеппо и' (Е) и и' (Г)) алгебранчески раздельны над К, то эти композиции изоморфны.
(Сначала, нспольауя предложение 11 гл. У, $5, и' 4, рассмотреть случай, когда Š— чистое расширение поля К; затем применить а) и утверждение 8 гл. У, 1 6.) 4) Пусть Е, Š— расширения полн К и Е (соответсгвенно Т)— наибольшее сепарабельное алгебраическое расширение поля К, содержащееся в Е (соответственно в Г). Предположии, что зсе компоаицпн расширений Е и Т изоморфны. Показать, что если композиции (Е, а, э) и (5', и', и') раскгирений Е и Е таковы, что и (Е)и с (Г) (соответственно и' (Е) и э' (Е)) алгебраически раздельны над К, то эти композиции изоморфвы (свестн доказательство к случаям, рассзготревным в упражнениях 1'и Зб)).
5) Пусть й — алгебраическое замыкание поля К, / п у — севарабельные неприводимые многочлены пз кольца К (Х), а — корень многочзена/в й, (3 — корень многочлена уз й. Положим Е = К (а), Г = К())). Пусть / = Яз... /„— разложение многочлеиа / на иеприводимые множители в Е (Х), у = угуз... у, — рааложевие мвогочлена л на неприводнмые множители в Е (Х). Показать, что г = г. Далее, пусть т (соответственно п) — степень / (соответственно л), т1 (соответствевно а/) — степень /1 (соответственно д ); тогда можно так переставить множители у, что тз/я1 = т/а для всех 1 < 1 < г (рассмотреть алгебру Е 8 Е). 6) Пусть А кольцо.
Двустороннкй идеал р кольца А называется ирсстмл, если для любых двусторонних идеалов Ь и с кольца А включение Ьг~ р влечет ЬС р или с~ р. а) Показать, что если нольцо А коммутативко, то зто определение совпадает с данным после предложения 1. б) Двусторонний идеал р кольца А является простым тогда и только тогда, когда для любых элементов Ь ч р, с 5 р существует элемент з 5 А такой, что Ьхс 5 р (рассмотреть двусторонние идеалы, порожденвъ1е элементами Ь и с).
с7) а) Пусть А — кольцо, а — его двусторонний идеал и А/а не содержит нильпотентных идеалов. Показать, что для любого двустороннего идеала Ь:) а и такого, что Ь Ф а, существует простой идеал (упражнение 6) р такой, что а ~ р и Ь (;г р . (Иидукцвей по а показать, что существуют две бесконечные последовательности (Ь„), (с„) элементов кольца А такие, что Ьс б Ь, Ь„ 6 а и Ь„е1 = Ь„с„Ьа. Показать, что максимальный элемент р множества двусторонних идеалов, содержащих а н не содержащих нп одного Ь„, является простым идеалом.) пгимкнкння: и. полупгостык скмкяствл эпдомогюизмов 237 б) Вывести из а), что наименьший иильрадикал б кольца А (Ь 6, увражкевие Зд)) является пересечевием его простых идеалов.
8) Двусторонний идеал а кольца А называется ирилюиивиил, если факторкольцо А/а примитивво (Ь 5, увражвеиие 5). а) Показать, что всякий примитивный идеал — простой (упражкевие 6). б) Пусть (ах) — семейство примитивных идеалов кольца А. Элеыевт з 6 А обратим тогда и только тогда, когда его образ в каждом из колец А/аь обратим (показать, что 'ири выполвеиии етого условия влемект з ке содержится ки в каком максимальном левам идеале). в) Пусть Ь вЂ” левый идеал кольца А, к Ь + ах = А для любого Х. Показать, что Ь =- А (в противном случае рассмотреть максимальный левый идеал ш, содержащий Ь и аввулятор А-модуля А/ю).
г) Пусть Š— такой А-модуль конечного типа, что ахЕ = Е для любого а. Показать, что Е = (0) (яспользуя в), провести индукцию по иавмеиьшему числу обрааующих модуля Е). д) Пусть Š— петеров А-модуль, и Р— пересечение водиодулей йЕ, ГдЕ З ПрОбЕГаЕт МНОжЕСтВО КОКЕЧКЫХ аранвзздЕВИй «Ь аь ° ° ° аью првмятиввых двусторовккх идеалов. Показать, что Г = — (О) (использовать г)). $9. Применения: П. Полупростые семейства эидоморфизмов векторного пространства В атом паралра4е через У обовначаетсл векторное пространство конечной размерности над полем К.
1. По.зупроетьее семейстпва эпдоморфтвэмов векюьорн ого простпринстпеа Пусть 6 — некоторое множество эндоморфизмов пространства У, и' А — подалгебра в ь ь (У), порожденная 6 (и единицей 1); так как Хь (У) конечномерно над К, то А — артиново кольце. Следующие свойства эквивалентны: а) алгебра А полупроста; б) А-модуль У полупрост; в) всякое надпространство в У, стабильное относительно всех эндоморфизмов и Е 3, обладает дополнением, устойчивым относительно всех и с $. В самом деле, эквивалентность б) и в) следует мз того, что надпространства У, устойчивые относительно всех эидоморфизмов и Е 6, являются подмодулями А-модуля У.
Ясно, что а) влечет б) полгпгостык модгли и кольца гл. чнц з в Я 5, в' 1, определение 1); с другой стороны, модуль У точен, и по предложению 3 з 5, и' 1, из б) следует, что А полупроста: в самом деле, У конечномерно над К, и следовательно, контр- модуль А-модуля У есть модуль конечного типа. Опгкдклкник 1. Мпожеппво << зндомору>измов пространства У называется пслупростым, если удовлетворяются указанные эквивалентные условия ), 1), в).
Семейство зндоморфиемов пространства У нааывается полу- простым, если множество эндоморфизмов этого семейства полу- просто; эндоморфизм и пространства У называется полупростым, если множество (а) полупросто. Пгкдложкник 1. Для того чтобы зндоморфизм и пространства У был полупрост, необходимо и достаточно, чтобы его минимальный згногочлен Т' не имел пра>нных множителей.
В самом деле, алгебра А, порожденная эндоморфизмом и, изоморфна К [Х)/ф (гл. У11, $5, и' 1), и доказываемое утверждение следует иа предложения 8 з 6, и' 3. Пгвдложкник 2. 17усть й — полупрсстое множество зндомор<ризмов пространства У, попарно перестансвсчных между собой. Тогда всякое подмножество $, полупрссто. Алгебра А, порожденная множеством й, коммутативна, полу- проста и имеет конечный ранг над полем К; поэтому предложение вытекает нз следствия 3 к предложению 9 $6, в' 4, 2.
Абсолготпно полупросгпе<е семейства эндомо1>фызмоо оенгпорного г>роозпрагготоа Пусть Е, — расширение поля К. Для любого зндоморфиама и пространства У через и<с> обозначим эндоморфизм векторного пространства У<к> — — Х Зл У, получающийся из и расширением поля скаляров (гл. 111, з 2, и' 2, теорема 1); для любого множества 5 эндоморфизмов пространства У обозначим через (у<к> м<ножество элементов и<ь>, где и пробегает <>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
