Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Так как и<ю = = 1 ® и, подалгебра, порожденная в Хь (У<ь>) множеством г<, 4 отождествляется с Л <3>к А, где А — подалгебра в Хл (У), порожденная множеством й. н пгимкнкния: и. полгпгостык скмкиствл эндомогеизмов 239 Пгкдложкник 3. Пусть й — некоторое множество эндоморфигмов пространства ӄŠ— расширение поля К.
а) Если множество 5~то полупросто, то й полупростс. б) Если й полупросто и Х сепарабельно над К, то 6<ю полу- просто. Из предыдущих замечаний ясно, что а) вытекает из следствия к предложению 2 $ 7, п' 2, а б) вытекает из следствия 4 к предложению 3 з 7, и' 2. Опркдклкыик 2. Множество й эндоморфиэмов пространства У ,называется абсолютно полупростым, если при любом расширении Ь поля К множество $~ю полупросто. Семейство эндоморфизмов пространства У называется абсолютно полупростым, если множество элементов этого семейства абсолютно полупросто; эядоморфизм и пространства У называется абсолютно полупрсстым, если множество (и) абсолютно полупросто, другими словами, андоморфизм шю полупрост для любого расширения Ь поля К.
Следующие условия, очевидно, эквивалентны: а) множество $ абсолютно полупросто; б) подалгебра А, порожденная в Жк (У) множеством й, абсолютно полупроста (з 7, и' 5, определение 2; это показывает, что в случае, когда 6 — алгебра над полем К, то определение 2 совпадает с определением 2 т 7, и' 5)," в) Агмодуль У абсолютно полупрост (см. з 7, и' 5, определение 2). Пгкдложкник 4. Для того чтобы множество $ эндоморфиэмов пространства У было абсолютно полупростым, необходимо и достаточно, чтобы сушествовало совершенное расширение Р полз К, для которого множество 5<р~ полупросто.
Тан как алгебра А конечного ранга пад К, то, ввиду предыдущих аамечаний, это вытекает из следствия предложения 7 и аамечания после предложения 5 з 7, и' 5. Пгкдложкник 5. Дла того чтобы эндоморфиэм и пространства У был абсолютно полупростым, необходимо и достатпочно, чтобы его минимальный многочлен имел в алгебраическом замыкании И поля К только простые корни. 240 ПОЛУПРОСтыи МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. Ч111, г Э В самом деле, при любом расширении В поля К минимальный многочлен ? эыдоморфизма и совпадает с минимальным многочленом эндоморфизма и1Ь) (гл. Ч? ?, т 5, и' 1, следствие 2 предложения 2); условие, что многочлен 7' не имеет кратных множителей, из ?2 [Х), означает, что все его корни в й простые, откуда следует, что при любом расширении Е поля К многочлен 7' не будет иметь в Е ?Х] кратных множителей.
Доказываемое утверждение вытекает тогда из предложения 1. Ткоэвмя 1. Пусть ?у — множесиию эндоморфизмов пространства ?г, попарно перестановочных между собой, А — подалгебра в л и (?г), порожденная множеством й. Следующие свойства эквивалент'ни: а) А — прямая композиция конечного числа сепарабельных расширений поля К; б) й абсолютно полупросто; в) всякий элементп множества ст абсолютно полупрост. Эквивалентность а) и б) вытекает из следствия предложений 6 и 7 б 7, и' 5. Из предложения 2 следует, что б) влечет в).
Обратно, предположим, что всякий элемент множества $ абсолютно полупрост; так как алгебра А конечномерна над К, то она порождается конечным числом элементов из (1<) <т) множества )у. Пусть ?? — алгебраическое замыкание поля К, В) (1 <1<т) — подалгебра в ?? ®ЛА, порожденная элементом (и)1О), алгебры В) абсолютно полупросты, так что их тензорное проиаведение Р над полем ?? полупросто (т 7, и' 5, следствие предлонзе-.
ния 7 и и' 6, следствие 4 теоремы 3). Так как алгебра ?? .®я А коммутативна и порождается объединением Вл то существует канонический гомоморфиам тензорного произведения Р на ?? Зл А (гл. ? П, т 3, и' 3); алгебра ?? 13)к А изоморфна тогда факторалгебре полупростой алгебры и, следовательно, полупроста (2 5, и' 3, предложение 10); ввиду предложения 4 отсюда следует, что в) влечет б). Слхдствик. Сумма и произведение двух абсолютно полупрсстых перестановочных эндоморфизмов абсолютно полупросты.
Сумма ияи проиаведение двух абсолютно полупростых эидоморфиамов, не перестановочных между собой, не обяаатеиьно абсовютно полупросты (упражнение 2). я птнмвнвния: и. полупэостыв свывйствл эндемотФизмов 241 Л.,"э(иагоиализиру»емые семейсгпва эидоморфиамов веитпори ого простпраггсиава Опэкдвлвнив 3. Множество 5 эндоморфиэмов пространства У называется диагональным относительно базиса(е«) пространства У, если матрицы всех и ~ «у относительно базиса (е«) диагональны. Множество й называетгя диагоналигируемым, если существует такой базис (е«), относительно которого множество 11 диагонально.
Семейство эндоморфизмов нааывается диагоналигируемым, если множество эндоморфизмов этого семейства диагонализируемо; эндоморфиам и называется диагонелизируемым е), если множество (и) диагоналиаируемо. Для того чтобы эндоморфнзм и был диагонализируемым, необходимо и достатпочно, чтобы все корни его минимального многочлена лежали в поле К и были простыми (гл. Ч11, $5, и' 4, предложение 10). Всякое диагонализируемое множество 1у состоит из попарно переставовочпых эвдоморфизмов и, следовательно, по теореме 1 и' 2 абсолютно полупросто. Пгкдложвнив 6. Пусть 1у — некоторое множество эндоморфиэмов пространства )г, А — пода иебра, порожденная в Хи (У) множеством 1у. Следующие свойства эквивалентны: а) А изоморфна некоторой алгебре вида К', б) множество й диагоналиэируемо; в) все элементы множества Д диагоналиэируемы и попарно перестановочны.
Прежде всего, а) влечет б): алгебра А полупроста, А-модуль У является прямой суммой простых А-модулей г'„ которые должны быть изоморфны простым компонентам алгебры А (рассматриваемым как А-модули; см. 4 5, и'3, предложение 11 н и' 4, теорема 2) и, следовательно, имеют размерность 1 над К. Ясно, что б) влечет в). Декан«ем, наконец, что в) влечет а): алгебра А конечномерна над К и порождается поэтому конечным числом элементов и» (1 <1 < т) множества й. Пусть В» — подалгебра, порожденная в А элементом и;; она изоморфна факторалгебре К [Х)ф»), где ~» — минимальный многочлен эндоморфнзма и». Из наших а) Это понятие мы определили уже в гл.
«'11, 1 5, и' 4, под ааавапием «эндоморфиам, приводимый и длагональпому виду«. .16 Н. Бтргааа 242 полтпгостыв модтли и кольца гл. тш, г э предположений следует тогда, что алгебра Вг изоморфна некоторой алгебре вида К" (гл. У11, $1, и' 2, предложение 4); это же справедливо и для тензорного проиаведения Р алгебр В, (гл. 111, З 3, и' 1). Так как алгебра А коммутативна и порождается объединением Вм то существует канонический гомоморфизм алгебры Р на А (гл. Ш, $3, и' 3), и следовательно, А будучи изоморфной факторалгебре алгебры вида К', сама имеет такой вид (гл.
1, $8, и' 10), Пгвдложвнив 7. Пусть 5 — некоторое множество эндоморфиэмов пространства т'. Следующие свойства вквивалентны: а) существует расширение Галуа )У конечной степени иоле К такое, что множество 5~к> диагоналигируемо; б) существует расширение Ь полл К такое, что множество 5 диагоналигир ремо; в) множество 5 абсолютно полупросто, и его элементы попарно перестановочны. Ясно, что а) влечет б).
Пусть условие б) выполнено и 11— алгебраическое замыкание поля К; тогда множество Р<о~ диагоналиэируемо, следовательно, полупросто, так что (предложение 4, и' 2) множество $ абсолютно полупросто. Наконец, предположим, что выполняется условие в); пусть А — подалгебра в 5л (Р), порожденная множеством $, и Й вЂ” алгебраическое замыкание поля К; так как А конечномерна над К, то она порождается конечным числом элементов и„(1 ./<т) множества 5 и эндоморфизмы и; абсолютно полупросты (п' 2, теорема 1). Корни мини-, мальных многочленов эндомоРфизмов ит (1 <7'<т) в поле И принадлежат одному и тому же расширению Галуа )У конечной степени поля К (гл.
У, т 6, и' 3, следствие 3 предложения 9 и $7, и' 6, предложение 10). Следовательно, эндоморфизмы (ит)<н~ диагонализируемы и для завершения доказательства достаточно применить предложение 6. й. Полупроетые и ннльпотентные компоненты зндоморфнзма Пгвдложкнив 8. Пусть поле К совершенно. Всякий эндоморфигм и пространства 1г единственным способом может быть представлен в виде и = и, + и„, где и, и и„— перестановочные эндоморфигмы просгпранства Р', и, (абсолютно) полупрост (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
