Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 51
Текст из файла (страница 51)
б) Показать, что С-модуль М Я )У полупрост тогда и только тогда, когда полупросто кольцо Ло 8 Р. (Свести доказательство к случаю М = А,; для доказательства необходимости условия, заметив, что контрмодуль тензорного проиаведения Л, 3 )У свободен, применить упражнение 4 1 4, и' 4; для доказательства достаточности . использовать упражнения 14б) и в), а также предложение 4, 4 4, и' 4.) 16) Пусть Р— тело с центром К, У вЂ” векторное пространство над телом Р, Л вЂ” простая алгебра конечного ранга вад полем К; тогда алгебра Лэ ® Р иэоморфна алгебре матриц М (Ео) над телом Ео (и' 4, следствие 2 теоремы 2). Показать, что тензорное произведение А (х) .сп (У) изоморфно алгебре Хи (И'), где уу — векторное пространство размерности г Мтп У над телом Е (см. упражнение 14г) в 1 4, и' 4, предложение 4).
*17) Пусть Л,  — тела, содержащие в центре поле К, М— векторное пространство над Л, )У вЂ” векторное прос~ранство над В, положим С = Л <х) В. а) Пусть х б М, у б К, х чь О, у чь О. Показать, что элемент хз у свободен в С-модуле М Я В (использовать упражнение 14а) и транзнтнвность аддитивной группы йл (М)(соответственно пв ()у)) на множестве элементов модули М (соответственво )У), отличных от О). б) Показать, что С-модуль М О)) )У свободен. (Пусть (т„)— бааис модуля М, (ау) — базис модуля)У; используя тот же метод, что в упражнении а), показать, что сумма С-модулей С (тс Я ку) прямая.) е18) Предположим, в обозначениях упражнения 14, что кольца А и В примитивны и их цоколи Я и Т соответственно отличны от О (см.
1 5, упражнения 5 и 9); пусть Е (соответственно Е) — коммутант некоторого минимального левого идеала алгебры Л (соответственно В). Пусть алгебра Е (5) Е простая. Показать, что С = А (ф В примитивное кольцо с цоколем Я 8 Т. (Пусть ж (соответственно в)— минимальный левый идеал алгебры Л (соответственно В), используя лемму 3 и' 4, показать, что ж (к) в — пзотиппый полупростой С-модуль конечной длины. Применить упражнение 14а) и упражнение 5е) 1 5.) е19) Пусть У вЂ” векторное пространство над телом Р и П— кольцо эвдоморфизмов абелевой группы У; отождествпм Р с телом гомотетий пространства У. а) Покааать, что подкольца Р иЛ = "сп (У) линейно раздельны в П над своим общим центром Я (см.
упражнение бг)). РАдикАл и пплупРОстОтА тензОРных пРОизВедений 23] б) Для того чтобы подалгебра ВА (изоморфная В Яз А) в П совпадала с Нл (Р), необходимо н достаточно, чтобы тело Р было конечного ранга над 2. (Для доказательства необходимости рассмот- реть сначала случай, когда У имеет размерность 1 над В, и приме- вить упражнение бд). Затем рассмотреть в Ьл (У) подалгебру В, состоящую из 2-вндоморфивмов и пространства У таких, что и (Юз) с ~ Вл, где з Ф 0 — некоторый элемент Г. Заметить, что Ю ( В и при ,ЕЗ (р) = РА справедливо равенство В = Р (В (] А),) 20) Пусть А — алгебра конечного ранга над К.
Показать, что А сепарабельна тогда и только тогда, когда алгебра А 8 Ао полу- проста, е21) Пусть Š— радииальное расширение поля К характеристики р ) О. Показать, что кольцо Е ([]> Е нетерово тогда и только тогда, когда степень [Е: К] конечна. Заметить, что элемент * Я 1 — 1 ® л, где * с Е, нильпотентен; последовательно доказать, что: а) Если не существует целого числа Ь такого, что Е С КР то.
для любого целого числа л ) О существует элемент з„ б Е 8 Е з а-1 такой, что зг = О, зг Ф О. б) пусть е = к (ев) и (а>)161 — р-базис поля е (гл. т, 1 9, упражнение 1в)). Положим Ь> — — а; ® 1, с> =. а> 8 1 — 1 Я а> и для любого отображения 9 множества 1 в з = [О, р — 1], равного нулю для всех индексов, кроме конечного числа, через Ьэ (соответствен- но с, ) обозначим произведение Цьт(1> (соответственно ][аэ(1>). Злемен- тм Ь, се, где ~р и ф пробегают множество у, образуют базис алге- (1> бры Е(з>Р Е над Е. Заметить, наконец, что алгебра Е ®,„Е изо- морфна (как алгебра над К) некоторой факторалгебре алгебры ЕЯх Е, и использовать упражнение 2б) гл.
т', Ь 6. е22) Пусть Š— алгебраическое расширение поля К. Для того чтобы кольцо Е ® Е было нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы степень [Е: К] была конечной (используя рассуждение из упраж- нения 9б), свести доказательство к случаю, когда расширение Е ради- кальное, и применить упражнение 21). е23) Пусть А,  — алгебры над полем К, а) Пусть кольцо А Я В артиново. Показать, что кольца А н В артнновы. б) Предположим, что для любой архиповой алгебры В алгебра А ([]> В артинова. Показать, по размерность [А: К] конечна.
(Сна- чала, пользуясь упражнениями 9 н 21, рассмотреть случай, когда алгебра А полупростая. Затеи, используя а), установить, что Я (А)з/И(А)"+1 является модулем конечной длины над А/Я (А).) 24) а) Пусть А — алгебра над полем К, В = К [Х,[1 алгебра многочленов над К. Показать, что если алгебра А без дели- телей нуля, то и А (х) В не имеет делителей нуля. 232 полупгостык ЖОдули и кольпА Гл. Ргп, $ 3 б) Пусть з) тело конечного ранга над К, н К вЂ” чисто .трансцендентное рзсшнренне поля К; вывести нз а), что Ю 3 Е— тело. $8.
Применения: 1. Композиции расширений В этом параграфе осгпаются в силе соглашения, принятые в начале $7. Опгкдклкник 1. Пусть Е, Р— расширения поля К. Композицией (Ь, и, о) расширений Е и Р называется расширение Х поля К, наделенное дополнительной структурой, определяемой заданием пшких К-изоморфизмов и поля Е и е поля Р на подполя в Х, 'что и (Е) и о (Р) порождают Х. Согласно общим определениям (Теор. Мн., гл. Хт', 3 1) изоморфизм некоторой композиции (Ь, и, о) расширений Е и Р на компоаицию (Х,', и', о') расширений Е и Р есть К-изоморфизм у поля Х на Х' такой, что и' = <реи и о' = <усе.
Пусть (Х, и, о) — композиция расширений Е и Р; отображение (х, у) -т. и (х) и (у) произведения Е )~ Р в Х К-билинейно, и следовательно, существует единственное К-линейное отображение ю тензорного произведения Е ® Р в Х такое, что ю (х б) у) = = и (х) о (у) (гл. 111, з 1, и' 2); легко проверить, что ю будет изоморфизмом алгебры Е ® Р в Ь (гл. 111, З 3, и'1); гомоморфизм ю в этом параграфе для краткости будет обозначаться череа и.о.
Пгкдложкник 1. Пусть Е, Р— расширения поля К. а) Пусть (Ь, и, о) — композиция Е и Р, и р — ядро гомоморфизма и ьт Е ® Р -т. Б. Тогда (Е Я Р) lр — кольцо целосгпности. Пусть Ь' — поле дробей кольца (Е 8 Р)lр„и' и о' — сужения на Е и Р канонического гомоморфизма Е ® Р на (Е ® Р)lр; тогда композиция (Х', и', о') расширений Е и Р изоморфна (Х, и, е). б) Обратно, пусть ц — идеал кольца Е б1) Р такой, что (Е ® Р)!ц — кольцо целостности; тогда суи)ествует композиция (Х, и, о) расширений Е и Р (единственная с точностью до изоморфизма) такая, что идеал а является ядром гомоморфизма и о. Ясно, что если (Ь, и, е) — композиция расширений Е и Р, то образ произведения Е К Р при отображении ю = и о содержится в 1., то есть является кольцом целостности, изоморфным (Е ® Р)4р. Обратно, пусть ц — идеал в Е З Р и А = (Е З Р)/ц— ПРИМЕНВНИЯ: К КОМПОЗИЦИИ РЬСШИРЗННИ 233 кольцо целостности; пусть, далее, Х,' — поле дробей кольца А, и'и и' — сужения на и'(Е) и п' (Р) канонического гомоморфизма кольца Е 3 Г на А; и'и п' являются К-изоморфизмами,и и'(Е) и и' (Р) порождают кольцо А, а следовательно, и поле Х '.
Наконец, пусть (Х,,и, п) — еще одна композиция расширений Е и Р такая, что (( является ядром гомоморфизма и = и. и; существует такой изоморфиам ц кольца А на ш (Е 3 Р), что и и = ср о (и'и'); изоморфизм ц можно продолжить до К-изоморфизма ~р поля Х,' на поле дробей Х„с: Х, кольца ш (Е З Р) (гл. 1, 3 9, и' 4, предложение 4); так как и (Е) и п (Р) пороягдают Х, то Х,, =- Л, и следовательно, ~р — изоморфнзм компоаиции (Х', и', п') на (Хн и, и). Это заканчивает доказательство предложения 1. 3 а меч а и вя.
1) Иэ определений сразу же следует, что если идеалы а и З' кольца Ь'(х) Г равлвчпы в фапторпольца (д® Г)/Е и (й (к) Г)/З' являются кольцами целостности, то соответствующпе кемнаеицни расширенно пе вэоморфпы (хотп опп могут быть кэоморфпы пап расширения поля К). 2) Идеал р поммутатпвпого кольца А называется простым, если А/р — кольцо целостности. Позже мы увпдпм, что этп вдвалы играют большую роль в пзучэппп поммутатпвпых колец. Пгпдложвнив 2. Пусть И вЂ” алгебраически замкнутое расширение поля К, Е ~ И и Р— расширения поля К; предположим, что И имеет базис трансцендентности над Е, кардинальное число которого не меньше кардинального числа базиса трансцендентности поля Р над К.
Тогда всякая композиция расширений Е и Р изоморфна некоторой композиции вида (Пш, 1, ш), где и — К-изоморфизм поля Р на некоторое подполе в И, 6 — подполе, порожденное в И подполями Е и ш (Р), и 1 — тождественное отображение поля Е. В самом деле,' пусть  — базис трансцендентности поля Р над К, и (Х, и, о) — композиция расширений Е и Р. Всякий элемент из и (Р) алгебраичен над подполем М, порожденным в Х образами и (Е) и и (В); следовательно (гл. Ъ', 3 3, и' 2, предложение 6), поле Х алгебраично над М и имеет базис трансцендентности над и (Е), содержащийся в и (В).
По условию, наложенному на И, изоморфизм и-' поля и (Е) па Е продолжается до изоморфизма гр поля Х на некоторое подполе в И (гл. Ъ', з 6, и' 1, предложение 1) полгпгостыв модгли и кольца гл. тык 3 8 Положив ю = ц о и и 6 = ц (Ь), убеждаемся, что ц является изоморфизмом композиций (ь, и, о и (7„, 1, и>). Слвдствнв 1. Если расширение Р имеет конечную степень и над К, то существует не более и попарно неизоморфных композиций расширений Е и Р. В самом деле, имеется не более и К-изоморфиамов поля Р на подполя в й (гл. У, $ 7, и' 5, предложение 8).
Слвдствив 2. Пусть Š— нормальное расширение по я Х, и Р— расширение К, содержащееся в Е. Тогда всякая компомщия расширений Е и Р изоморфна некоторой композиции вида (Е, 1, о), где о — К-изоморфизм поля Р на некоторое подполе поля Е. В самом деле, пусть 12 — алгебраическое замыкание поля Е; всякий К-изоморфизм поля Р на некоторое подполе в й отображает Р на подполе в Е (гл.
У, $6, и' 3, предложение 7); так как поле Р алгебраично над К, то можно применить предложение 2. Пгвдложвнив 3. Пусть Е, Р— расширения поля К, одно из которых сепарабельно над К и одно имеет конечную степень над К. Пусть (Ь>, и;, о>) — попарно неизоморфные композиции расширений Е и Р такие, что всякая композиция расширений Е и Р изоморфна одной из них (1 <1 < т). Тогда гомоморфизм (и; и) > -ьа кольца Е 4Р Р в произведении колец 11 Хч биективен. >=.ч В самом деле (э 7, и'6, следствие 4 теоремы 3), кольцо Е ф Р полупросто и является, следовательно, прямой композицией полей 6; (э 6, и' 4, предложение 9); его идеалы поэтому являются прямыми суммами некоторых 6, (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
