Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. VII-IX. Модули, кольца, формы (947361), страница 46
Текст из файла (страница 46)
б) Предположим дополнительно, что А вполне примарно и Я (А) ~ (О). Показать, что А/Я (А) — поле (заметпть, что прп х б А, у б А, е бЯ (А) (ху — ух) е = 0). е24) а) Показать, что в кольце ДУо (В) матриц над телоы П подкольцо Г треугольных матриц (аы) таких, что а» = 0 прп» (/, является максимальным ыильпотевтным подкольцом и всякое максимальное вильпотентное подкольцо имеет ввд сТс — ', где с — обратымый элемент в йгл (В) (см. 3 2, управ»пение 3). б) Показать, что в артиновом колы»е А пересечение максимальных нпльпотентных подколец совпадает с радикалом п любые два таких подкольца переводятся друг в друга некоторым внутренним автоморфыамом (ааметить, что всякое максимальное нильпотентыое подкольцо содержит И (А); заметив, что всякий злемевт кольца А, класс которого по що») Я (А) обратим, сам обраюпа, применить а)).
25) Покаавть, что если кольцо А одновременно артыново слева и ыетерово справа, то оно артипово справа (рассмотреть правые А-модули (%(А))Ь/(Я(А))1+» как (А/Я(А))-модули). РАДИКЬЛ 207 е26) а) Пусть А — кольцо,  — мультипликативный подвюяоид в А (подмножество, устойчивое относительно умножения)1 В яааывается яильпсжеьтным, если существует целое число го ) 0 такое, что гыз... гю = 0 для любой последовательности (а;) иа т злемеятов множества В.
Предположим, что моноид В порождается конечным числом иильпотеитных элементов кольца А, но не япльяотентеи. Показать, что существуют элемент Ь б Ю и конечная последовательность элементов с; Е Ь' такие, что мультипликативный монопд, порождея~ый элеыентами а/ =- Ьсм не нильпотептен. (Среди образующих моиопда В рассмотреть последовательность (Ь;)гжг< такую, что моноид В м порожденный элементами Ь„..., Ью „ипльпотентен, а моноид В,„, порожденный элементами Ьм ..., Ь,„, не япльпотеятен; ааметить, что множество элементов вида Ь с, где с б Вю „конеча но,) Вывести отсюда, что существует целое число Ь ~ 0 такое, что Ь'Ю чь (О), но Ььа~ — — 0 для любого индекса б) Пусть А — нетерово кольцо; покааать, что всякий его левый нпльидеал нильпотентеи.
(Заметить, что такой идеал имеет конечную систему обрааующих; рассмотреть мультипликативный моноид порожденный этими образующими, и применить упражнение а), используя левыв аннуляторы мультпплпкативных подмоноидоз аюноида В.) 21) П А — артиново кольцо, н пусть всякое кольцо В, содер жащее А и имеющее ту же единицу, что и А, является свободным левым А-модулем. Показать, что кольцо Л просто (см. Ь 5, и' 6, следствие предложения 13). (Для всякого двустороннего идеала а кольца Ат отличного от (0) и от А, иа проиаведеиии А Х а определить структуру кольца — аналогично тому, как это было сделано в упражнении 4 1 2.) 28) Пусть М вЂ” А-модуль без радпкала1 покааать, что кольцо гомотетий Ам беа радикала (использовать лемму 4 1 2, и' 3).
29) Пусть) А — кольцо и А/Я (А) полупросто. Показать, что Я(М) = Я (А) М для любого А-модуля М (заметять, что М/Я (А) ЬХ язляется (А/Я (А))-модулем). 30) а) Пусть А — кольцо беа радикала и всякоя множество его монсаенямэ левых идеалов обладает минимальным элементом. Показать, что А полупросто (использовать упражнение 8 $5 и упражнение 16 гл. 1, $8). б) Пусть У вЂ” векторное пространство бесконечной раамерности над телом В, А — подкольцо в кольце эндоыорфизмов Хп (У), порожденное единицей и эндоморфпамами конечного ранга. Показать, что всякий левый идеал кольца А содержит некоторый минимальный идеал.
31) Пусть А — алгебра над полем Х, а — ее двустороняий идеал, и В подалгебра, порожденная ее единицей п идеалом а. Покааать, нто радикал алгебры В содержится в радикале алгебры А (заметить, 208 ПОЛУПУОСТЫИ МОДУЛИ И КОЛЬЦА ГЛ. Утм, $ У что если М вЂ” простой А-модуль, то либо ав = (О) для всех г ь' М, либо ал б М для всех влемеитов л ~ О модуля М). 32) Пусть А — коммутативиая полупростая алгебра кокечвого ранга иад полем К, К1 (1 ( 1( г) — ее простые компоиевты, являющиеся расширеииями конечной степеви воля К. Пусть  — под алгебра в А, Е1 (1 (у (з) — ее простые компоненты. Показать, что в ивтервале 11, г] множества Х найдется з иепустых подмвожеств ЬЬ ие имеющих поварка обпщх елемевтов и таких, что компонента Е1 содержится в прямой композиции полей Кт для 1 б ЬЬ 1 (1 ( в.
Отображение ргп суженное иа Еь при любом 1 б Ь) будет иаоморфвгмом компоненты Ет па подполе Е в КО Доказать обратное утверждеиие. Вывести отсюда, что если все К1 сепарабельиы вад полем К, то алгебра А имеет лишь кояечиое число подалгебр (см. гл. т", 1 1О, и' 5, предложение 8). ЗЗ) а) Пусть А — артииово (слева) кольцо. Показать, что всякий правый идеал т ~ А содержит векоторый минимальный правый идеал (рассмотреть вересечевия т со степенями радикала и (А) и заметить, что правый идеал, апвулвруемый справа радикалом И(А), можво рассматривать как правый А!И(А)-модуль).
б) Покааать, что левый (соответствекво правый) цоколь артинова кольца А является правым (соответствевио левмм) авиуляторои радикала И(А). Вывести отсюда, что всякий мииимальвый двусторовяий идеал кольца А содержится в пересечевии правого и левого цоколей кольца А. 8 7. Радикал и полупростота теивориых проивведеиий В атом параграфе К вЂ” поле; если А и  — алгебры над К, М вЂ” А-модуль, Лг — В-модуль, то через М ® )т' часто обозначоетпся тензорное произведение над полем К векторных пространств, полученных из М и Я сужением кольца скаляров до К; алгебра А 3лВ часто будет обозначаться через А 3 В.
Алгебры А и В будут отождествляться с подалгебрами в А ® В посредством изоморфизмое а -ь а З 1 и Ь -ь 1 8 Ь (гл. 111, $3, и' 3). л. Предеартстпе,пьнтле лымечатгмл Пусть А,  — алгебры иад полем К, С вЂ” алгебра А 3 В, М вЂ” А-модуль, Лг — В-модуль. Отображение (а, Ь, х, у) — ь (ах) 3 (Ьу) произведения А Х В х М х )т' в М ® 1т' К-полилииейио; поэтому (гл. П1, $ 1, и' 2) существует единственное билинейное ото- радикал и поллпростота ткнзорных произввдвнни 209 бражение (с, г) -~- сг произведения С к (М З Л') в М З Л' такое, что (а З 6) (. З у) =(аг) З (6у); (') легко проверить, что это отображение определяет на М З Ф структуру С-модуля; рассматривая М' З Л' как С-модуль, мы всегда будем подразумевать, что речь идет о только что определеяной структуре.
В частности, если М вЂ” А-модуль А„ то А З Лг канонически наделяется структурой С-модуля; впрочем, А З Л' канонически отождествляется с А Зк(В Звд(), то есть с (А ЗкВ) Зад~= = С За Л (гл. 1П, приложение 11, и'и' 4 и 9); более того, если а, а' Е А, 6 Е В, с Е Ю, то а' З у отождествляется с (а' З 1) З у, а (а З 6) (а' З у) — (аа') З (Ьу) с (аа'З 6) З у. Таким образом, С-модуль А 3 Л' отождествляется с С-модулем С Зв Ж, полУчающимсЯ нз ЛР РасшиРением кольца скалЯРов до С (гл. 111, приложение 11, и' 10).
Отображение у — э 1 З у модуля Лг в А З Л' ннъектнвно, так как А и Лà — векторные пространства над К (гл, 111, з 2, и' 2, теорема 1); тензорное произведение А З Л' наделяется структурой В-модуля, получаемой сужением до В кольца скаляров С, и указанное отображение является гомоморфнзмом В-модулей: если 6 Е В, у с Л', то (1 З Ь) (1 З у) = 1 З (6у).
Отождествим Лт с его образом в А З Х при отображении 1 -~- 1 З у. Тогда всякое векторное подпространство Л" в Л' (над полем К) отождествляется с некоторым векторным подпространством в А З Л'; с другой стоРоны, тензоРное пРоизведение А З Л' (= А ЗкЛг') отождествляется с некоторым подпространством в А З Л' (гл. 111, з 1, и' 3, следствие 3 предложения 7); после этих отождествлений выполняется равенство (А З Л ) () Л =- т, (2) В этом легко убедиться, разложив Л' в прямую сумму Л"' н его дополнительного подпространства (гл. 111, и' 3, следствие 1 предложения 7). Заметим, что прн Л = В, только что рассмотренная структура С-модуля на С =- А З В представляет собой не что иное, как структуру С-модуля С,. 14 н, втрсани полупгостые ИОдули и НОльцА Гл. Рш, г т 210 2.
Расганренгле сна.тиров гс Радгена.г Пгедложенив 1. Пусть А,  — алгебры над полем К, С =- А З В, Л' — В-модуль. Тогда Л' () Яс ( 4 З Лг) с= Ио (Лг). Благодаря отохгдествлениям, сделанным в п' 1, этот результат является частным случаем следующей леммы: Леммл 1.
Пусть В, С вЂ” кольца такие, что  — подкольцо в С, содержащее его единицу, и С вЂ” свободный правый В-модуль; пусть ~ — каноническое отображение у г 1 З у В-модуля гг' в тензорное произведение С Зв Лг, рассматриваемое как левый С-модуль. Тогда (4) 1 ' (Я с (С З в Лг)) с=. Из (Лг). Покажем сначала, что если модуль Л прост, то левая часть (4) сводится к О.
В самом деле, пусть у ~ Π— элемент Лг; так как он поРожДает В-моДУль Лг, то У' (У) поРождает С-модУль С За Лг. Но модуль СЗаЛ' не сводится к О, так как правый В-модуль С свободен (гл. 1П, приложение 11, и' 6, следствие предложения 5); следовательно (э 6, п' 2, предложение 1), элемент 1 (у) не содерхгится в радикале модуля С ЗаЛ', что доказывает наше утверждение. Предположим теперь, что Лг — произ- вольнъгйВ-модуль и элементусЛгтаков, что 1 З у с Яс (С ЗоЛ'); если и — В-гомоморфиэм модуля Л' в простой В-модуль Р, то 1 З и — С-гомомоРфизм модУлЯ С ЗвЛг в С Зв Р и, следовательно (э 6, и' 2, предложение 2), элемент 1 З и (у) .= = (1 З и) (1 З у) входит в радикал модуля С Зв Р, то есть, по предыдущему, и (у) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
